Число зубьев шестерни расчёт

Что такое число зубьев шестерни и колеса

В зубчатой паре принято разделять два элемента: шестерня (меньшее колесо, z1) и колесо (большее, z2). Число зубьев — целое натуральное число, определяющее, сколько раз зуб одного элемента входит в зацепление с зубьями другого за один оборот.

Число зубьев напрямую связано с делительным диаметром колеса через модуль m:

При фиксированном модуле увеличение числа зубьев пропорционально увеличивает диаметр колеса. Выбор z — это всегда компромисс между габаритами, нагрузочной способностью и технологичностью изготовления.

Передаточное отношение через числа зубьев

Передаточное отношение зубчатой передачи определяется отношением чисел зубьев:

Для стандартных одноступенчатых цилиндрических редукторов рекомендуемый диапазон u = 1...6,3 по ГОСТ 2185-66. При u > 6,3 целесообразно применять двухступенчатую схему. Это требование продиктовано тем, что при большом передаточном отношении в одной ступени либо шестерня оказывается слишком малой, либо колесо — чрезмерно крупным.

Минимальное число зубьев шестерни: z = 17

Значение z_min = 17 — фундаментальный параметр эвольвентного зацепления с исходным контуром по ГОСТ 13755-2015 (угол профиля α = 20°, коэффициент высоты головки зуба h*_a = 1,0, коэффициент радиального зазора c* = 0,25). Стандарт введён в действие с 1 января 2017 года взамен ГОСТ 13755-81 и является модифицированным по отношению к ISO 53:1998.

Откуда берётся эта цифра

При нарезании зубьев методом обкатки (зубофрезерование, зубодолбление) инструмент — рейка или долбяк — совершает относительное движение относительно заготовки. Если число зубьев нарезаемого колеса мало, головка инструмента вторгается в тело зуба ниже делительной окружности. Это явление называется подрезанием ножки зуба.

Из геометрии эвольвентного зацепления аналитически получается условие отсутствия подрезания:

При z < 17 подрезание неизбежно при стандартных параметрах нарезания без применения коррекции.

Что происходит при подрезании зуба

Подрезание ослабляет поперечное сечение зуба у основания. Последствия для работоспособности передачи:

Коррекция зубчатого колеса: как нарезать шестерню с z < 17

Если по конструктивным соображениям необходимо z1 < 17, применяют положительную коррекцию (смещение исходного контура). Инструмент при нарезании сдвигается радиально на величину x × m от стандартного положения относительно заготовки.

Коэффициент смещения x

При положительном смещении x > 0 головка инструмента не достигает опасного сечения ножки зуба — подрезание устраняется. Минимальный коэффициент смещения, при котором подрезание исчезает:

Смещение x = 0,3...1,0 широко применяется в практике для шестерён с z = 10...16. При этом зуб становится толще у основания — изгибная прочность возрастает, однако несколько изменяются геометрия зацепления и межосевое расстояние передачи.

Ограничения коррекции

Слишком большое положительное смещение приводит к заострению головки зуба. Ограничение по заострению: толщина зуба по окружности вершин должна быть не менее s_a ≥ 0,2 × m. Поэтому практически достижимый минимум z при коррекции — около z = 6...8 для специальных применений (приборостроение, авиационные и станочные приводы).

Выбор числа зубьев шестерни: практические рекомендации

Начальный выбор z1

Число зубьев шестерни z1 выбирают в зависимости от передаточного отношения и условий нагружения. Рекомендуемые диапазоны для цилиндрических эвольвентных передач по данным Решетова Д.Н. («Детали машин», 4-е изд., Машиностроение, 1989):

После выбора z1 число зубьев колеса рассчитывают как z2 = u × z1 с округлением до ближайшего целого числа. Фактическое передаточное отношение u_факт = z2 / z1 проверяют на соответствие: по ГОСТ 2185-66 допустимое отклонение от номинального составляет не более ±2,5% при u ≤ 4,5 и не более ±4% при u > 4,5.

Влияние числа зубьев на коэффициент перекрытия

Коэффициент торцевого перекрытия ε_α характеризует плавность работы передачи. С увеличением числа зубьев ε_α растёт. Для прямозубых цилиндрических передач необходимо выдерживать ε_α ≥ 1,2. При z1 = 17 и u = 4 коэффициент перекрытия составляет порядка 1,55 — передача работает плавно. При z1 = 10 без коррекции ε_α снижается, а с учётом подрезания уменьшается ещё сильнее.

Взаимно простые числа зубьев и равномерный износ

В нагруженных передачах рекомендуется, чтобы числа z1 и z2 не имели общих делителей — были взаимно простыми. Тогда каждый зуб шестерни поочерёдно контактирует со всеми зубьями колеса, и износ распределяется равномерно. Например, при z1 = 17 и z2 = 51 наибольший общий делитель равен 17 — неблагоприятное сочетание. Предпочтительнее z2 = 52 или z2 = 53.

Число зубьев в конических и червячных передачах

Конические передачи

Расчёт геометрии прямозубых конических передач регламентирован ГОСТ 19624-74, конических передач с круговыми зубьями — ГОСТ 19326-73. Терминология и обозначения для всех типов конических передач установлены в ГОСТ 19325-73.

Условие отсутствия подрезания для конических колёс строже, чем для цилиндрических: модуль переменен по длине зуба, а расчётный эквивалентный радиус меньше фактического. По рекомендациям Решетова Д.Н. для ортогональных конических шестерён принимают z1 ≥ 17. При углах делительного конуса δ₁ > 45° выполняют проверочную оценку условия подрезания с учётом поправки на конусность.

Червячные передачи

В червячной передаче ведущим элементом является червяк с числом заходов z1 = 1, 2 или 4 (значение z1 = 3 стандартом не предусмотрено). Основные параметры цилиндрических червячных редукторов — межосевые расстояния и ряды передаточных чисел — установлены ГОСТ 2144-76.

Число зубьев червячного колеса определяют как z2 = z1 × u. По ГОСТ 2144-76 стандартный диапазон передаточных чисел u = 8...80 при z1 = 1, 2 или 4, что соответствует диапазону z2 = 30...80. Для силовых червячных передач минимальное число зубьев колеса принимают z2_min = 28 из условия достаточной длины контактной линии и плавности зацепления (Решетов Д.Н., «Детали машин», 4-е изд.). Для кинематических передач допускается z2 = 17. Наиболее предпочтительный диапазон для силовых передач — z2 = 30...90.

Частые вопросы (FAQ)