Что такое закон Вульфа–Брэгга

04.06.2026
Инженерные термины и определения

Закон Вульфа–Брэгга — фундаментальное соотношение, описывающее условие возникновения дифракционных максимумов при рассеянии рентгеновских лучей на кристаллической решётке. Закон Вульфа–Брэгга связывает длину волны излучения, межплоскостное расстояние и угол падения, при котором отражённые от параллельных атомных плоскостей волны интерферируют конструктивно. Закон независимо сформулирован в 1913 году русским кристаллографом Юрием Викторовичем Вульфом и английскими физиками Уильямом Генри Брэггом и Уильямом Лоренсом Брэггом.

Что такое закон Вульфа–Брэгга: формулировка и формула

Закон описывает геометрические условия, при которых рентгеновские лучи, рассеянные на различных атомных плоскостях кристалла, складываются в фазе и образуют дифракционный максимум. Физически это эквивалентно отражению от семейства параллельных плоскостей.

Основная формула закона Вульфа–Брэгга

2d·sinθ = n·λ

где d — межплоскостное расстояние (расстояние между соседними атомными плоскостями); θ — угол скольжения между падающим лучом и плоскостью; n — целое положительное число (порядок дифракции); λ — длина волны рентгеновского излучения.

Угол 2θ называют углом дифракции и именно его регистрирует детектор дифрактометра. Зная λ и измерив θ, по формуле Вульфа–Брэгга вычисляют межплоскостные расстояния и определяют структуру кристалла.

Принцип работы закона Вульфа–Брэгга

Атомы кристалла рассеивают электромагнитные волны во всех направлениях. Однако только в строго определённых направлениях рассеянные волны от разных плоскостей оказываются в фазе и усиливают друг друга.

Геометрический вывод

Разность хода между лучами, отражёнными от двух соседних плоскостей, равна 2d·sinθ. Конструктивная интерференция возникает, когда эта разность кратна целому числу длин волн.

Условия применимости

Длина волны излучения соизмерима с межплоскостными расстояниями (λ от 0,5 до 2,5 Å).
Кристалл достаточно совершенен — размер областей когерентного рассеяния не менее 10 нм.
Излучение монохроматическое (для большинства методов).
Регистрируется упругое рассеяние без изменения длины волны.

Связь с индексами Миллера

Для кубических кристаллов межплоскостное расстояние семейства плоскостей с индексами Миллера (hkl) рассчитывается по формуле:

d_hkl = a / √(h² + k² + l²)

где a — параметр кубической решётки; h, k, l — индексы Миллера.

Виды дифракционных методов

На основе закона Вульфа–Брэгга разработано несколько экспериментальных схем рентгеноструктурного анализа.

Метод	Образец	Излучение	Назначение
Лауэ	Монокристалл, неподвижный	Полихромат.	Симметрия кристалла, ориентация
Брэгга–Брентано	Поликристалл, плоский	Монохромат.	Фазовый анализ
Дебая–Шеррера	Порошок в капилляре	Монохромат.	Параметры решётки, фазы
Вращающегося монокристалла	Монокристалл, вращается	Монохромат.	Полная структура

Характерные длины волн рентгеновских трубок

Материал анода	Линия Kα₁, Å	Энергия фотона, кэВ
Хром (Cr)	2,2897	5,41
Железо (Fe)	1,9360	6,40
Кобальт (Co)	1,7889	6,93
Медь (Cu)	1,5406	8,05
Молибден (Mo)	0,7093	17,48

Типичные межплоскостные расстояния

NaCl, плоскость (200): d = 2,821 Å.
α-Fe (ОЦК), плоскость (110): d = 2,027 Å.
Cu (ГЦК), плоскость (111): d = 2,087 Å.
Si (алмазная решётка), плоскость (111): d = 3,135 Å.
Графит, плоскость (002): d = 3,354 Å.

Применение закона Вульфа–Брэгга

Рентгеновская дифракция стала универсальным инструментом исследования атомного строения вещества и одним из самых востребованных аналитических методов.

Материаловедение и металлургия

Фазовый анализ сталей и сплавов — идентификация феррита, аустенита, мартенсита, карбидов.
Определение параметров кристаллической решётки с точностью до 0,001 Å.
Измерение остаточных напряжений по смещению дифракционных пиков.
Анализ текстуры прокатанных и кованых изделий.
Определение размеров областей когерентного рассеяния по формуле Шеррера.

Структурная химия и биология

Метод рентгеноструктурного анализа монокристаллов позволил расшифровать структуру ДНК (Уотсон, Крик, Франклин, 1953), белков, лекарственных веществ и катализаторов. Современные дифрактометры дают разрешение лучше 1 Å для большинства молекулярных кристаллов.

Полупроводниковая промышленность

Контроль качества кремниевых и арсенидгаллиевых пластин, измерение толщины и состава эпитаксиальных слоёв методом высокоразрешающей дифракции.

Преимущества и ограничения метода

Преимущества	Ограничения
Неразрушающий контроль образца	Требуется кристаллическая структура
Высокая точность параметров решётки	Слабый сигнал от аморфных веществ
Универсальность для металлов, керамики, минералов	Затруднён анализ лёгких элементов (H, Li)
Количественный фазовый анализ	Перекрытие пиков в многофазных образцах

Оборудование для рентгеновской дифракции

Современные приборы реализуют закон Вульфа–Брэгга с высокой точностью и автоматизацией измерений.

Порошковые дифрактометры Брэгга–Брентано — основной инструмент фазового анализа.
Монокристальные дифрактометры с CCD-детектором — определение полной структуры.
Высокоразрешающие дифрактометры с двухкристальным монохроматором — для эпитаксии и тонких плёнок.
Синхротронные источники — на 6–10 порядков ярче трубок, исследование наноструктур и in-situ экспериментов.
Рентгеновские трубки с медным или молибденовым анодом — стандартные лабораторные источники.

Методика рентгеновского контроля регламентируется ГОСТ Р 57946-2017 (рентгеноструктурный анализ), ГОСТ Р 8.698-2010 (рентгеновская дифрактометрия) и международными нормативами серии ASTM E915.

Частые вопросы

Как формулируется закон Вульфа–Брэгга?

Дифракционный максимум возникает, когда удвоенное произведение межплоскостного расстояния d на синус угла скольжения θ равно целому числу длин волн n·λ: 2d·sinθ = nλ.

Что такое угол Брэгга?

Это угол θ между направлением падающего рентгеновского луча и атомной плоскостью кристалла. Регистрируемый детектором угол 2θ — между падающим и отражённым лучами — равен удвоенному углу Брэгга.

Что такое межплоскостное расстояние?

Это расстояние между параллельными атомными плоскостями одного семейства (hkl). Для кубической решётки d_hkl = a/√(h²+k²+l²). Типичные значения — от 1 до 10 Å.

Где применяется рентгеноструктурный анализ?

В материаловедении, металлургии, фармацевтике, минералогии, биологии, полупроводниковой промышленности — для фазового анализа, определения структуры, контроля текстуры, измерения остаточных напряжений и размеров кристаллитов.

Кто открыл закон Вульфа–Брэгга?

Закон независимо вывели русский кристаллограф Ю.В. Вульф и английские физики У.Г. Брэгг и его сын У.Л. Брэгг в 1913 году. За работы по рентгеноструктурному анализу Брэгги получили Нобелевскую премию по физике в 1915 году.

Закон Вульфа–Брэгга — основа всей рентгеновской дифрактометрии: формула 2d·sinθ = nλ связывает измеримый угол отражения с межплоскостным расстоянием кристалла. Закон Вульфа–Брэгга позволяет идентифицировать фазы материалов, определять параметры решётки, измерять остаточные напряжения и расшифровывать структуру сложных молекул. Понимание этого соотношения необходимо инженерам-материаловедам, металлургам, химикам и специалистам по контролю качества.

Статья носит ознакомительный характер. Автор не несёт ответственности за решения, принятые на основе изложенной информации. Для аналитических и проектных задач используйте действующие нормативные документы и техническую документацию производителей дифракционного оборудования.

Появились вопросы?

Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.

Задать вопрос

Подшипники SKF -15%!

Bosh Rexroth