Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Формула Буссинеска — классическое решение теории упругости для расчёта вертикальных напряжений в грунтовом основании от сосредоточенной нагрузки на поверхности. Опубликована французским математиком Жозефом Буссинеском в 1885 году, она остаётся основой метода послойного суммирования при определении осадок фундаментов по СП 22.13330. Ниже разобраны формула, допущения, метод угловых точек и практический пример расчёта.
Формула определяет вертикальное напряжение σz в любой точке однородного изотропного упругого полупространства от сосредоточенной вертикальной силы P, приложенной к поверхности:
σz = (3P / 2πz²) · [1 / (1 + (r/z)²)]5/2 = (P / z²) · IB
где P — сосредоточенная сила, кН; z — глубина точки от поверхности, м; r — горизонтальное расстояние от оси нагрузки, м; IB — коэффициент влияния Буссинеска.
Коэффициент влияния зависит только от отношения r/z:
IB = (3 / 2π) · [1 / (1 + (r/z)²)]5/2
Непосредственно под точкой приложения силы (r = 0) коэффициент максимален: IB = 3/(2π) ≈ 0,4775. Это означает, что σz = 0,4775·P/z².
Реальные грунты не полностью соответствуют этим допущениям. Однако при напряжениях ниже предела пропорциональности (что обеспечивается запасом по несущей способности) решение даёт приемлемую точность для инженерных расчётов.
Для определения напряжений под углом равномерно загруженного прямоугольника b × l с давлением p формулу Буссинеска интегрируют по площади. Результат записывается через коэффициент α:
σzp = α · p
Коэффициент α зависит от относительных параметров m = b/z и n = l/z. Значения α табулированы (таблица 5.8 СП 22.13330.2016).
Для нахождения напряжения под произвольной точкой (не только под углом прямоугольника) применяют метод угловых точек. Загруженную площадку разбивают на прямоугольники так, чтобы искомая точка оказалась в углу каждого из них. Напряжения от отдельных прямоугольников складывают (или вычитают) с использованием принципа суперпозиции.
Для определения напряжения под центром фундамента его делят на 4 равных прямоугольника, а результат умножают на 4.
Согласно СП 22.13330.2016 (актуализированная редакция СНиП 2.02.01-83*), осадку фундамента вычисляют методом послойного суммирования. Основание разбивают на элементарные слои толщиной hi, для каждого определяют среднее дополнительное напряжение σzp,i, и суммируют деформации:
s = β · Σ (σzp,i · hi / Ei)
где β = 0,8 — безразмерный коэффициент; Ei — модуль деформации i-го слоя; суммирование ведётся от подошвы фундамента до нижней границы сжимаемой толщи Hc.
Нижняя граница сжимаемой толщи принимается на глубине, где дополнительное напряжение σzp составляет 0,5σzg (напряжение от собственного веса грунта), а для слабых грунтов — 0,2σzg.
Сосредоточенная сила P = 500 кН приложена к поверхности грунта. Определить вертикальное напряжение на глубине z = 4 м непосредственно под нагрузкой (r = 0) и на расстоянии r = 3 м от оси.
Под нагрузкой (r = 0): σz = 0,4775 · 500 / 4² = 0,4775 · 500 / 16 = 14,9 кПа
На расстоянии r = 3 м: r/z = 3/4 = 0,75. IB = (3/2π) · [1/(1 + 0,75²)]5/2 = 0,4775 · [1/1,5625]5/2 = 0,4775 · 0,3277 = 0,1565. σz = 500 · 0,1565 / 16 = 4,9 кПа
Напряжение уменьшилось примерно в 3 раза при смещении от оси на 0,75z. Это наглядно показывает быстрое затухание напряжений с удалением от оси нагрузки.
Формула Буссинеска σz = (P/z²)·IB — фундаментальный инструмент геотехники для расчёта распределения напряжений в грунтовом основании. В сочетании с методом угловых точек и табличными коэффициентами α по СП 22.13330 она позволяет определять напряжения под фундаментами произвольной формы. Метод послойного суммирования, основанный на этом решении, остаётся нормативным способом расчёта осадок фундаментов в российской практике.
Статья носит ознакомительный характер. Автор не несёт ответственности за последствия использования изложенной информации. Для проектных расчётов обращайтесь к действующим нормативным документам и квалифицированным специалистам.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.