Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Формула Герца описывает распределение контактных напряжений, возникающих при сжатии двух упругих тел с криволинейными поверхностями. Теория, предложенная Генрихом Герцем в 1881 году, лежит в основе расчёта подшипников качения, зубчатых передач, фрикционных катков и контактных пар «колесо-рельс». Знание контактных напряжений позволяет прогнозировать усталостное разрушение, питтинг и износ рабочих поверхностей.
При контакте двух тел с криволинейными поверхностями теоретическая точка или линия касания под действием нагрузки превращается в малую площадку за счёт упругой деформации. В зоне этой площадки возникают высокие локальные напряжения — контактные напряжения Герца.
Теория Герца базируется на допущениях: материалы тел упругие и однородные, деформации малы, поверхности гладкие и без трения, размеры зоны контакта значительно меньше размеров тел. Ключевой параметр — приведённый модуль упругости:
1/E* = (1 - v12)/E1 + (1 - v22)/E2
где E1, E2 — модули упругости; v1, v2 — коэффициенты Пуассона контактирующих тел.
Для пары сталь-сталь (E = 210 ГПа, v = 0,3) приведённый модуль составляет E* ≈ 115 ГПа. Аналогично определяют приведённый радиус кривизны: 1/R* = 1/R1 + 1/R2.
При контакте двух сфер радиусами R1 и R2 под нормальной силой P площадка контакта имеет форму круга. Радиус контактного пятна и максимальное давление определяются по формулам Герца:
a = (3P·R* / 4E*)1/3 — радиус контактного пятна, м
p0 = 3P / (2πa2) — максимальное давление в центре, Па
Распределение давления по площадке имеет полуэллиптический профиль: p(r) = p0·√(1 - (r/a)2). Для контакта шар-плоскость R2 = ∞, поэтому R* = R1. Максимальное касательное напряжение возникает на глубине около 0,48a от поверхности и составляет примерно 0,31p0.
При контакте двух параллельных цилиндров площадка контакта представляет собой узкую прямоугольную полоску длиной L. Полуширина контакта и максимальное давление:
b = √(4P·R* / (πE*·L)) — полуширина контактной полоски, м
p0 = 2P / (πbL) — максимальное контактное давление, Па
В отличие от точечного контакта, здесь сила пропорциональна первой степени деформации. Максимальное касательное напряжение залегает на глубине 0,78b от поверхности. Именно эта формула применяется для расчёта роликовых подшипников и зубчатых колёс.
В шариковых подшипниках реализуется точечный контакт (шар-желоб), а в роликовых — линейный. Контактные напряжения Герца определяют долговечность подшипника: многократное циклическое нагружение приводит к усталостному выкрашиванию (питтингу) беговых дорожек. Типичные контактные давления в подшипниках достигают 1500–3500 МПа.
Контакт зубьев эвольвентных колёс аппроксимируется контактом двух цилиндров с радиусами, равными радиусам кривизны профилей в полюсе зацепления. Формула Герца адаптирована с учётом динамических коэффициентов и неравномерности нагрузки по ширине зубчатого венца.
Предел контактной выносливости зависит от твёрдости и вида термообработки. В таблице приведены базовые значения σHlim для зубчатых колёс из стали.
Допускаемое контактное напряжение: [σH] = σHlim · ZN · ZR · Zv / SH, где ZN — коэффициент долговечности, ZR — коэффициент шероховатости, Zv — коэффициент окружной скорости, SH — коэффициент запаса (1,1 для однородной структуры, 1,2 для поверхностного упрочнения).
Формула Герца — базовый инструмент расчёта контактной прочности в машиностроении. Она позволяет определить размер контактного пятна, максимальное давление и глубину опасных касательных напряжений для пар шар-шар, шар-плоскость и цилиндр-цилиндр. Зная допускаемые контактные напряжения для конкретной термообработки стали, инженер может оценить долговечность подшипников качения, зубчатых колёс и других нагруженных контактных пар.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.