Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Уравнения Ламе описывают распределение радиальных и кольцевых (окружных) напряжений в толстостенном цилиндре, нагруженном внутренним и наружным давлением. Разработанные французским математиком Габриэлем Ламе (1795–1870), эти формулы остаются основой расчёта труб высокого давления, гидроцилиндров, артиллерийских стволов и сосудов давления.
Цилиндр относят к толстостенным, если отношение наружного диаметра к толщине стенки D/t < 20 (или толщина стенки превышает 1/10 внутреннего диаметра). В этом случае напряжения существенно изменяются по толщине стенки, и формулы для тонкостенных оболочек неприменимы.
Уравнения Ламе получены из решения задачи теории упругости для осесимметричного напряжённого состояния при допущениях: материал однородный и изотропный, деформации упругие, цилиндр бесконечно длинный (плоская деформация) или с закрытыми торцами.
Общий вид уравнений Ламе для радиального и кольцевого напряжений на произвольном радиусе r:
σr = A - B/r2 — радиальное напряжение
σθ = A + B/r2 — кольцевое (окружное) напряжение
Константы A и B определяются из граничных условий: на внутренней поверхности (r = ri) радиальное напряжение равно внутреннему давлению со знаком минус (σr = -pi), на наружной (r = ro) — наружному давлению (σr = -po).
A = (pi·ri2 - po·ro2) / (ro2 - ri2)
B = ri2·ro2·(pi - po) / (ro2 - ri2)
Наиболее распространённый случай — цилиндр, нагруженный только внутренним давлением pi. Подставляя po = 0, получаем:
σr = pi·ri2/(ro2 - ri2) · (1 - ro2/r2)
σθ = pi·ri2/(ro2 - ri2) · (1 + ro2/r2)
Максимальное кольцевое напряжение возникает на внутренней поверхности (r = ri):
σθ max = pi · (ro2 + ri2) / (ro2 - ri2) = pi · (k2 + 1) / (k2 - 1)
где k = ro/ri — отношение наружного радиуса к внутреннему.
Радиальное напряжение на внутренней стенке равно σr = -pi (сжатие), а на наружной — нулю. Кольцевое напряжение всегда положительно (растяжение) и убывает от внутренней поверхности к наружной.
Для цилиндра с закрытыми торцами осевое напряжение постоянно по всей толщине стенки:
σz = pi·ri2 / (ro2 - ri2)
В таблице показано, как кольцевое и радиальное напряжения изменяются по толщине стенки для цилиндра с k = 2 (ro/ri = 2) при внутреннем давлении pi.
Кольцевое напряжение на внутренней поверхности в 2,5 раза выше, чем на наружной. Именно поэтому разрушение толстостенных цилиндров начинается изнутри.
Стальной гидроцилиндр с внутренним диаметром di = 100 мм и наружным do = 200 мм нагружен внутренним давлением pi = 80 МПа. Определим напряжения на внутренней и наружной поверхностях.
Параметры: ri = 50 мм, ro = 100 мм, k = ro/ri = 2. Отношение D/t = 200/50 = 4, что существенно меньше 20 — цилиндр толстостенный.
Максимальное кольцевое напряжение на внутренней стенке: σθ max = 80 · (4 + 1)/(4 - 1) = 80 · 5/3 = 133,3 МПа. Радиальное напряжение там же: σr = -80 МПа. На наружной поверхности: σθ = 80 · 2/3 = 53,3 МПа, σr = 0. Осевое напряжение: σz = 80/3 = 26,7 МПа.
Для оценки прочности применяют критерий Мизеса или Треска. Максимальное касательное напряжение: τmax = (σθ max - σr)/2 = (133,3 + 80)/2 = 106,7 МПа. Это значение сравнивают с допускаемым для выбранной марки стали.
Уравнения Ламе — классический инструмент расчёта напряжений в толстостенных цилиндрах. Зная внутреннее и наружное давление, радиусы и свойства материала, инженер определяет распределение радиальных, кольцевых и осевых напряжений по всей толщине стенки. Максимальные напряжения всегда возникают на внутренней поверхности, что определяет расположение зоны разрушения и обосновывает применение автофреттажа и многослойных конструкций для работы при высоких давлениях.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.