Гипотеза Треска

02.04.2026
Инженерные термины и определения

Гипотеза Треска (третья теория прочности) — условие начала пластического течения, согласно которому текучесть наступает, когда максимальное касательное напряжение достигает предельного значения для данного материала. Критерий предложен французским инженером Анри Треска в 1864 году и остаётся одним из базовых инструментов расчёта на прочность пластичных металлов. Разберём формулы, область применения и сравнение с гипотезой Мизеса.

Что такое гипотеза Треска

Гипотеза наибольших касательных напряжений утверждает: материал переходит в пластическое состояние, когда наибольшее касательное напряжение в точке тела достигает того же значения, что и при одноосном растяжении в момент текучести. Иначе говоря, причиной текучести является сдвиг, а не нормальные напряжения.

Анри Треска (1814–1885) экспериментально установил этот факт, исследуя процессы прессования и пробивания металлов. Б. Сен-Венан использовал результаты Треска для построения первой математической теории пластичности в 1871 году. Поэтому критерий часто называют условием текучести Треска — Сен-Венана.

Условие текучести Треска: формулы

Общая запись через главные напряжения

Если главные напряжения упорядочены как σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, максимальное касательное напряжение равно:

τ_max = (σ₁ – σ₃) / 2

Условие текучести: τ_max ≤ σ_т / 2, или в эквивалентной форме:

σ₁ – σ₃ ≤ σ_т

Здесь σ_т — предел текучести при одноосном растяжении. Критерий не учитывает влияния промежуточного главного напряжения σ₂.

Эквивалентное напряжение (сопромат)

Для плоского напряжённого состояния, когда в сечении действуют нормальное σ и касательное τ, эквивалентное напряжение по третьей теории прочности:

σ_экв = √(σ² + 4τ²)

Условие прочности: σ_экв ≤ [σ], где [σ] — допускаемое напряжение.

Сравнение гипотезы Треска и критерия Мизеса

Четвёртая теория прочности (критерий Мизеса) основана на энергии формоизменения. На плоскости главных напряжений критерий Мизеса представляет собой эллипс, а условие Треска — вписанный в него шестиугольник. Шестиугольник Треска всегда находится внутри эллипса Мизеса.

Параметр	Треска	Мизес
Критерий	Максимальное касательное напряжение	Энергия формоизменения
Предел текучести при сдвиге	τ_т = 0,5·σ_т	τ_т = σ_т/√3 ≈ 0,577·σ_т
Поверхность текучести	Шестиугольная призма	Цилиндр (круг в π-плоскости)
Учёт σ₂	Не учитывает	Учитывает все три σ
Максимальное расхождение	До 15,5 % (при чистом сдвиге)
Консервативность	Более консервативен	Ближе к эксперименту

Экспериментальные данные для пластичных изотропных металлов (углеродистые стали, алюминиевые сплавы, медь) лучше согласуются с эллипсом Мизеса. Однако расхождение Треска с опытом не превышает 10–15 %, и критерий даёт результат с запасом, что важно для ответственных конструкций.

Область применения гипотезы Треска

Расчёт валов и осей на совместное действие изгиба и кручения — классическая задача сопромата с использованием формулы σ_экв = √(σ² + 4τ²).
Болтовые и резьбовые соединения — оценка прочности при затяжке, когда действуют осевое усилие и крутящий момент.
Тонкостенные сосуды давления — определение толщины стенки по критерию максимальных касательных напряжений.
Листовая штамповка — упрощённые оценки начала пластического течения при деформировании мягких сталей и цветных металлов.
Аналитические решения в теории пластичности — линейность условия Треска по главным напряжениям упрощает построение замкнутых решений.

Преимущества и ограничения критерия Треска

Преимущества

Простота — линейная зависимость от главных напряжений, удобная для ручных расчётов.
Консервативность — результат всегда с запасом прочности относительно Мизеса.
Физическая наглядность — непосредственно связан с механизмом сдвигового разрушения пластичных материалов.
Совместимость с кругами Мора — графическая интерпретация через диаметр наибольшего круга.

Ограничения

Не учитывает промежуточное главное напряжение σ₂, что вносит погрешность до 15 %.
Поверхность текучести имеет рёбра (негладкая), что создаёт сложности в численных методах (МКЭ).
Большинство современных программ МКЭ по умолчанию используют критерий Мизеса как более точный и гладкий.
Не применим к хрупким материалам (чугун, бетон, керамика) — для них используют критерии Мора-Кулона или максимальных нормальных напряжений.

Пример расчёта: вал при изгибе и кручении

Стальной вал (σ_т = 240 МПа) испытывает нормальное напряжение от изгиба σ = 120 МПа и касательное от кручения τ = 80 МПа. Определим запас прочности по Треска.

Эквивалентное напряжение: σ_экв = √(120² + 4·80²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 МПа.

Запас прочности: n = σ_т / σ_экв = 240 / 200 = 1,2. По критерию Мизеса: σ_экв = √(120² + 3·80²) = √(14400 + 19200) = √33600 ≈ 183 МПа, запас n = 1,31. Треска даёт более консервативную оценку.

Частые вопросы

Почему гипотеза Треска называется третьей теорией прочности?

В отечественной классификации теории прочности нумеруются исторически: первая — гипотеза наибольших нормальных напряжений (Галилей), вторая — наибольших линейных деформаций, третья — наибольших касательных напряжений (Треска), четвёртая — энергетическая (Мизес).

Когда Треска точнее Мизеса?

В состояниях, близких к одноосному растяжению или сжатию, оба критерия дают одинаковый результат. Треска не бывает точнее Мизеса для изотропных пластичных металлов, но даёт результат с гарантированным запасом, что предпочтительно при проектировании ответственных конструкций.

Какой предел текучести при сдвиге по Треска?

По критерию Треска: τ_т = σ_т / 2 = 0,5·σ_т. По Мизесу: τ_т = σ_т / √3 ≈ 0,577·σ_т. Экспериментальные данные для мягких сталей ближе к значению Мизеса.

Применяется ли гипотеза Треска в программах МКЭ?

Большинство коммерческих МКЭ-пакетов по умолчанию используют критерий Мизеса из-за гладкости поверхности текучести. Однако критерий Треска доступен как опция и применяется в задачах, где требуется консервативная оценка или аналитическая верификация.

Заключение

Гипотеза Треска — надёжный и простой инструмент оценки прочности пластичных металлов при сложном напряжённом состоянии. Условие σ₁ – σ₃ ≤ σ_т даёт консервативный результат с расхождением не более 15 % относительно энергетического критерия Мизеса. Для ручных расчётов валов, болтов и сосудов давления критерий Треска остаётся удобным и безопасным выбором. При численном моделировании предпочтение отдаётся Мизесу, но знание обоих подходов необходимо для грамотной интерпретации результатов.

Статья носит исключительно ознакомительный и справочный характер. Автор не несёт ответственности за последствия применения представленной информации без надлежащей профессиональной проверки. Для проектных решений необходимо руководствоваться действующими нормативными документами и привлекать квалифицированных специалистов.

Появились вопросы?

Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.

Задать вопрос

Подшипники SKF -15%!

Каталог 2025