| Матрица | Обозначение | Физический смысл | Размерность |
|---|---|---|---|
| Матрица растяжения-сжатия | [A] | Связь деформаций срединной плоскости с усилиями при растяжении и сжатии | 3×3, Н/м |
| Матрица связи | [B] | Взаимосвязь изгибных деформаций с усилиями в плоскости и плоскостных деформаций с изгибающими моментами | 3×3, Н |
| Матрица изгиба | [D] | Связь кривизн с изгибающими и крутящими моментами при изгибе | 3×3, Н·м |
| Общая матрица жёсткости | [ABD] | Полное описание упругих свойств многослойного композита | 6×6 |
| Тип ламината | Матрица [A] | Матрица [B] | Матрица [D] |
|---|---|---|---|
| Симметричный | Полная, все компоненты ≠ 0 | Нулевая матрица [B] = 0 | Полная, все компоненты ≠ 0 |
| Несимметричный | Полная матрица | Полная, возникает связь изгиба-растяжения | Полная матрица |
| Сбалансированный | A₁₆ = A₂₆ = 0 | Зависит от симметрии | Зависит от укладки слоёв |
| Квазиизотропный | A₁₁ = A₂₂, A₁₆ = A₂₆ = 0 | [B] = 0 для симметричных укладок | Зависит от последовательности слоёв |
| Область применения | Условия применимости | Ограничения |
|---|---|---|
| Тонкостенные конструкции | Отношение толщины к характерному размеру менее 1:10 (рекомендуется 1:20) | Не учитывает поперечные сдвиговые деформации |
| Многослойные панели | Идеальная связь между слоями, малые прогибы | Не учитывает расслоения и межслойные напряжения |
| Расчёт напряжений | Линейная теория упругости, однородные слои | Погрешность возрастает вблизи кромок и отверстий |
| Толстые пластины | Требуется переход к уточнённым теориям (Рейсснера-Миндлина) | Классическая теория даёт завышенную жёсткость |
Основы классической теории пластин
Классическая теория пластин представляет собой фундаментальный аппарат для расчёта тонкостенных конструкций, широко применяемый при проектировании изделий из композитных материалов. Методика базируется на гипотезах Кирхгофа-Лява, которые предполагают, что нормали к срединной плоскости остаются прямыми и перпендикулярными к деформированной поверхности, а деформации по толщине пластины пренебрежимо малы.
Для многослойных композитов классическая теория ламинатов является развитием базовых принципов механики пластин. Каждый слой композита рассматривается как ортотропная пластина с собственной системой координат, ориентированной вдоль направления армирования. Взаимодействие слоёв определяется условием совместности деформаций на границах раздела.
Матрицы жёсткости слоистого композита
Матрица растяжения-сжатия [A]
Матрица растяжения-сжатия устанавливает взаимосвязь между усилиями, действующими в срединной плоскости ламината, и деформациями этой плоскости. Компоненты матрицы вычисляются путём суммирования произведений приведённых жёсткостей каждого слоя на его толщину. Для симметричной укладки слоёв матрица полностью определяет поведение композита при плоском напряжённом состоянии.
Матрица изгиба [D]
Матрица изгибной жёсткости связывает кривизны срединной поверхности с изгибающими и крутящими моментами. Её элементы зависят от распределения жёскостей слоёв относительно нейтральной плоскости композита. Чем дальше расположен высокомодульный слой от центра тяжести сечения, тем больший вклад он вносит в изгибную жёсткость конструкции.
Матрица связи [B]
Матрица связи появляется в несимметричных ламинатах и описывает эффект взаимодействия между изгибом и растяжением. При наличии ненулевых компонентов этой матрицы приложение растягивающего усилия вызывает не только деформацию растяжения, но и изгиб пластины. Для симметричных композитов матрица становится нулевой, что существенно упрощает расчёт.
Формирование матрицы ABD
Общая матрица жёсткости ламината объединяет все три матрицы в единую структуру размером шесть на шесть. Верхний левый блок содержит матрицу растяжения, нижний правый — матрицу изгиба, а внедиагональные блоки образованы матрицей связи. Построение матрицы осуществляется последовательным интегрированием приведённых жёсткостей по толщине каждого слоя.
Для вычисления компонентов матрицы необходимо знать упругие константы материала каждого слоя, его толщину и угол ориентации армирующих волокон относительно глобальной системы координат. Приведённые жёсткости слоя сначала определяются в собственной системе координат, затем трансформируются в глобальную систему с учётом угла укладки.
Расчётные соотношения и примеры
Основное уравнение классической теории ламинатов связывает векторы усилий и моментов с векторами деформаций и кривизн через матрицу жёсткости. После определения матрицы можно решать прямую задачу — находить деформации при известных нагрузках, либо обратную — определять необходимую укладку слоёв для заданных требований жёсткости.
На практике часто применяется обратная матрица податливости, которая непосредственно даёт деформации через нагрузки. Инженерные константы композита, такие как эффективные модули упругости и коэффициенты Пуассона, вычисляются из компонентов матрицы податливости. Эти характеристики удобны для оценки поведения конструкции на начальных этапах проектирования.
Практическое применение методики
Проектирование слоистых панелей
При разработке композитных панелей инженеры используют матричный подход для оптимизации последовательности укладки слоёв. Варьируя ориентацию волокон в различных слоях, можно достичь требуемого баланса между жёсткостью в разных направлениях и массой конструкции. Симметричные укладки предпочтительны для исключения паразитных изгибов при нагружении.
Анализ напряжённого состояния
После определения общих деформаций ламината выполняется расчёт напряжений в каждом отдельном слое. Напряжения находятся путём умножения матрицы жёсткости слоя на локальные деформации. Полученные значения сравниваются с предельными характеристиками материала для проверки прочности конструкции.
Численная реализация
Современные программные комплексы конечно-элементного анализа включают встроенные модули для работы с композитами на основе классической теории ламинатов. Пользователь задаёт свойства материалов, последовательность слоёв и граничные условия, а система автоматически формирует матрицы жёсткости и выполняет расчёт. Такой подход позволяет анализировать конструкции сложной геометрии с минимальными временными затратами.
