Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Критерий Гурвица — алгебраический метод проверки устойчивости линейной системы автоматического управления по коэффициентам характеристического полинома. Система устойчива, если все главные угловые миноры определителя Гурвица положительны. Метод позволяет оценить устойчивость без нахождения корней полинома. Ниже разобраны формулировка критерия, построение матрицы Гурвица, условия для систем 2–4 порядка и пример расчёта.
Критерий сформулирован немецким математиком Адольфом Гурвицем (1859–1919) в 1895 году. Независимо от него в 1877 году английский математик Эдвард Раус (1831–1907) предложил эквивалентную табличную процедуру. Поэтому в англоязычной литературе метод называют критерием Рауса–Гурвица (Routh–Hurwitz criterion).
Критерий применяется к линейным стационарным системам (LTI). Он даёт необходимое и достаточное условие того, что все корни характеристического полинома замкнутой системы лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости (Re < 0), что и означает устойчивость.
Пусть характеристический полином системы n-го порядка имеет вид:
D(s) = a0sn + a1sn−1 + a2sn−2 + ... + an = 0
где a0 > 0 (если нет, умножаем полином на −1).
Все коэффициенты полинома должны быть положительными и ненулевыми: a0 > 0, a1 > 0, ..., an > 0. Отсутствие или отрицательность хотя бы одного коэффициента означает неустойчивость. Однако выполнение этого условия ещё не гарантирует устойчивость при n ≥ 3.
Из коэффициентов полинома строится матрица Гурвица размером n × n. Главная диагональ содержит коэффициенты a1, a2, ..., an. Выше диагонали — коэффициенты с нечётными индексами, ниже — с чётными. Коэффициенты с индексами вне диапазона (отрицательными или больше n) заменяются нулями.
Система устойчива тогда и только тогда, когда все главные угловые миноры Δ1, Δ2, ..., Δn матрицы Гурвица строго положительны.
Для систем 2-го порядка достаточно положительности всех коэффициентов. Начиная с 3-го порядка появляются дополнительные перекрёстные неравенства.
Рассмотрим систему с характеристическим полиномом 3-го порядка:
D(s) = s³ + 6s² + 11s + 6
Коэффициенты: a0 = 1, a1 = 6, a2 = 11, a3 = 6. Все положительны — необходимое условие выполнено.
Определители Гурвица:
Δ1 = a1 = 6 > 0
Δ2 = a1·a2 − a0·a3 = 6·11 − 1·6 = 66 − 6 = 60 > 0
Δ3 = a3·Δ2 = 6·60 = 360 > 0
Все миноры положительны — система устойчива. Проверка: корни полинома s = −1, −2, −3 — все в левой полуплоскости.
Критерий Рауса (Routh) использует табличную процедуру вместо вычисления определителей. Первые две строки таблицы заполняются коэффициентами полинома, а далее каждый элемент вычисляется по перекрёстной формуле. Число перемен знака в первом столбце таблицы Рауса равно числу корней в правой полуплоскости.
Оба метода математически эквивалентны: таблица Рауса — это более эффективный способ вычисления определителей Гурвица без прямого раскрытия матриц. Для полиномов высоких порядков метод Рауса требует меньше вычислений.
Критерий Гурвица — базовый алгебраический инструмент теории автоматического управления. Проверка положительности всех главных угловых миноров матрицы Гурвица даёт необходимое и достаточное условие устойчивости линейной стационарной системы. Для систем низких порядков условия сводятся к простым неравенствам между коэффициентами полинома. Совместно с эквивалентным табличным методом Рауса критерий остаётся фундаментальным инструментом анализа и синтеза систем управления.
Статья носит ознакомительный характер. Автор не несёт ответственности за последствия использования изложенной информации. Для проектных расчётов обращайтесь к действующим нормативным документам и специализированной литературе.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.