Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Критерий Михайлова — частотный критерий устойчивости линейных стационарных систем автоматического управления. Метод основан на анализе годографа характеристического полинома замкнутой системы на комплексной плоскости. Критерий позволяет определить устойчивость без вычисления корней характеристического уравнения — по форме кривой, описываемой вектором D(jω) при изменении частоты от нуля до бесконечности.
Критерий сформулирован советским учёным А. В. Михайловым в 1936 году и опубликован в журнале «Автоматика и телемеханика» в 1938 году. Метод является геометрической интерпретацией принципа аргумента из теории функций комплексного переменного.
Пусть характеристический полином замкнутой системы n-го порядка имеет вид D(s) = ansn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0. Подставив s = jω, получим комплексную функцию:
D(jω) = X(ω) + jY(ω)
где X(ω) — вещественная функция Михайлова (содержит члены с чётными степенями ω), Y(ω) — мнимая функция Михайлова (содержит члены с нечётными степенями ω).
При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора D(jω) описывает на комплексной плоскости кривую — годограф Михайлова (кривую Михайлова).
Критерий формулируется двумя эквивалентными способами.
Замкнутая линейная система n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞, начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно проходит n квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в нуль.
Математически: Δarg D(jω)|ω: 0→∞ = n·π/2
Система устойчива тогда и только тогда, когда корни уравнений X(ω) = 0 и Y(ω) = 0 — все действительные и чередующиеся (перемежающиеся). Общее число корней равно n, и при ω = 0 выполняются условия: X(0) > 0 и Y(0) = 0.
Для упрощения можно ограничиться поиском особых точек — пересечений годографа с осями координат. Эти точки соответствуют корням X(ω) = 0 (пересечение с мнимой осью) и Y(ω) = 0 (пересечение с вещественной осью). Количество таких пересечений равно n.
Если годограф Михайлова проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости. Это означает, что существует значение ω0, при котором D(jω0) = 0, то есть характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней ±jω0. Физически — в системе возникают незатухающие колебания с частотой ω0.
Критерий Михайлова удобен для наглядного суждения об устойчивости и определения запаса устойчивости по близости годографа к началу координат. Критерий Найквиста чаще используется на практике, поскольку оперирует передаточной функцией разомкнутой системы, которую легче измерить экспериментально.
Критерий Михайлова — наглядный частотный метод анализа устойчивости, предложенный А. В. Михайловым в 1938 году. Его ключевое правило: годограф характеристического полинома D(jω) должен последовательно пройти n квадрантов против часовой стрелки. Метод дополняет алгебраические критерии (Гурвица, Рауса) и частотный критерий Найквиста, давая визуальное представление о близости системы к границе устойчивости.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.