Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Круг Мора — графический метод определения напряжений на произвольно ориентированных площадках в точке нагруженного тела. Метод позволяет наглядно найти главные напряжения, максимальное касательное напряжение и направления главных площадок без решения систем уравнений. Ниже разобраны формулы, алгоритм построения для плоского и объёмного напряжённого состояния, а также практическое применение при расчёте прочности деталей и конструкций.
Круг напряжений Мора предложен немецким инженером Кристианом Отто Мором (Christian Otto Mohr, 1835–1918) в 1882 году. Мор работал профессором механики в Штутгартском и Дрезденском политехнических институтах. Он развил идею графического представления напряжений, первоначально предложенную Карлом Кульманом, и распространил её на двумерный и трёхмерный случаи.
Суть метода: зависимость между нормальным напряжением σ и касательным напряжением τ на площадках, проходящих через данную точку, описывается уравнением окружности в координатах σ–τ. Каждая точка этой окружности соответствует паре напряжений (σ, τ) на конкретной площадке.
Для плоского напряжённого состояния, заданного компонентами σx, σy и τxy, круг Мора определяется следующими параметрами:
Координаты центра: C = ((σx + σy) / 2 , 0)
Радиус: R = √[((σx − σy) / 2)2 + τxy2]
Главные напряжения: σ1,2 = (σx + σy) / 2 ± R
Максимальное касательное: τmax = R
Угол главных площадок: tan(2θp) = 2τxy / (σx − σy)
Главные площадки наклонены к исходным под углом θp. На этих площадках касательные напряжения равны нулю. Площадки максимального касательного напряжения повёрнуты на 45° относительно главных.
Рассмотрим построение для плоского напряжённого состояния (обратная задача) — определение главных напряжений по известным σx, σy, τxy.
При объёмном (трёхосном) напряжённом состоянии с тремя главными напряжениями σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 строятся три круга Мора. Каждый круг соответствует площадкам, параллельным одному из главных направлений:
Напряжения на площадках общего положения соответствуют точкам в заштрихованной области между тремя кругами. Максимальное касательное напряжение τmax определяется радиусом большого круга и действует на площадках, наклонённых под 45° к первому и третьему главным направлениям.
Круг Мора позволяет быстро определить главные напряжения и сравнить их с допускаемыми по выбранному критерию прочности. Например, критерий Мора–Кулона использует огибающую кругов Мора при различных видах нагружения для оценки предельного состояния хрупких материалов.
Несмотря на широкое распространение программ конечно-элементного анализа (ANSYS, Abaqus, NASTRAN), круг Мора остаётся инструментом контрольной проверки направлений и величин главных напряжений. Расхождение между кругом Мора и результатами МКЭ сигнализирует об ошибках в модели.
В геотехнике круг Мора используется совместно с огибающей прочности Мора–Кулона для оценки устойчивости откосов, фундаментов и тоннелей. Касательное напряжение на плоскости сдвига сравнивается с прочностью грунта, определяемой сцеплением c и углом внутреннего трения φ.
В прямой задаче круг строится по главным напряжениям, а напряжения на наклонной площадке определяются координатами точки на окружности под углом 2α от диаметра. В обратной задаче круг строится по произвольным компонентам, а главные напряжения находятся как точки пересечения круга с осью σ.
Круг Мора — фундаментальный инструмент механики деформируемого твёрдого тела, не утративший актуальности с 1882 года. Он позволяет графически определить главные напряжения, τmax и направления главных площадок при плоском и объёмном напряжённом состоянии. Метод применяется в расчётах прочности деталей машин, при проектировании строительных конструкций, в геотехнике и для контрольной верификации результатов конечно-элементного анализа.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.