Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Метод Прандтля — аналитическое решение задачи о предельном давлении жёсткого штампа на грунтовое основание, лежащее в основе всех современных формул несущей способности фундаментов. Решение устанавливает связь между предельным давлением, прочностными характеристиками грунта (сцепление c и угол внутреннего трения φ) и геометрией фундамента. Ниже разобраны формулы коэффициентов Nc и Nq, таблица их значений, поправки на форму и глубину заложения, а также пример расчёта ленточного фундамента.
В 1920 году немецкий механик Людвиг Прандтль (Ludwig Prandtl, 1875–1953) решил задачу о вдавливании жёсткого штампа в полубесконечную невесомую среду с прочностными свойствами Кулона (сцепление c и угол трения φ). Решение получено методом теории пластичности и описывает зону разрушения, состоящую из трёх областей: активный клин под штампом, радиальная зона сдвига (логарифмическая спираль) и пассивный клин.
В 1924 году Рейсснер (Reissner) обобщил решение Прандтля с учётом пригрузки на уровне подошвы фундамента (давление вышележащего грунта q = γ·Df). Позднее Терцаги (1943), Майерхоф (1963), Хансен (1970) и Весич (1973) развили метод для инженерного применения, добавив член собственного веса грунта и поправочные коэффициенты.
Общая формула несущей способности для ленточного фундамента на горизонтальном основании с вертикальной центральной нагрузкой:
qu = c · Nc + q · Nq + 0,5 · γ · B · Nγ
где: c — удельное сцепление грунта, кПа; q — пригрузка на уровне подошвы: q = γ · Df, кПа; γ — удельный вес грунта ниже подошвы, кН/м3; B — ширина фундамента, м; Df — глубина заложения, м; Nc, Nq, Nγ — безразмерные коэффициенты несущей способности.
Первый член отражает вклад сцепления грунта, второй — влияние пригрузки (глубины заложения), третий — собственный вес грунта в зоне разрушения. Принцип суперпозиции трёх членов предложен Терцаги (1943) и приводит к консервативной оценке.
Коэффициенты Nc и Nq получены аналитически по решению Прандтля–Рейсснера и являются точными для ленточного фундамента на невесомом грунте:
Nq = eπ·tanφ · tan2(45° + φ/2)
Nc = (Nq − 1) · cotφ при φ > 0
Nc = π + 2 = 5,14 при φ = 0 (чисто глинистый грунт)
Коэффициент Nγ не имеет точного аналитического решения. Его значения различаются у разных авторов: Хансен предложил Nγ = 1,5·(Nq − 1)·tanφ, Весич — Nγ = 2·(Nq + 1)·tanφ. В практике проектирования выбор формулы определяется действующим нормативным документом.
Для фундаментов, отличающихся от бесконечной ленты с вертикальной центральной нагрузкой, формула дополняется множителями:
qu = c·Nc·sc·dc·ic + q·Nq·sq·dq·iq + 0,5·γ·B·Nγ·sγ·dγ·iγ
где s — коэффициенты формы (shape), d — коэффициенты глубины (depth), i — коэффициенты наклона нагрузки (inclination).
Дано: ленточный фундамент шириной B = 1,5 м, глубина заложения Df = 1,0 м. Грунт: суглинок, c = 20 кПа, φ = 20°, γ = 18 кН/м3. Нагрузка вертикальная, центральная.
Коэффициенты (по Прандтлю–Рейсснеру): Nc = 14,83; Nq = 6,40. Принимаем Nγ = 5,39 (по Весичу).
Пригрузка: q = 18 · 1,0 = 18 кПа.
qu = 20 · 14,83 + 18 · 6,40 + 0,5 · 18 · 1,5 · 5,39 = 296,6 + 115,2 + 72,8 = 484,6 кПа
При коэффициенте безопасности F = 3: qдоп = 484,6 / 3 = 161,5 кПа
Метод Прандтля — теоретический фундамент расчёта несущей способности грунтовых оснований. Точные формулы Прандтля–Рейсснера для коэффициентов Nc и Nq применяются во всех современных методах (Терцаги, Майерхоф, Хансен, Весич) и заложены в нормативные документы. Для инженерного расчёта формула дополняется коэффициентом Nγ и поправками на форму, глубину и наклон нагрузки. Выбор конкретных значений Nγ и поправочных коэффициентов определяется требованиями действующих норм.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.