Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Правило Симпсона — метод численного интегрирования, аппроксимирующий подынтегральную функцию параболическими дугами вместо прямых линий. Благодаря погрешности порядка O(h&sup4;) правило Симпсона значительно точнее метода трапеций и широко применяется в инженерных расчётах: определение площадей нестандартных сечений, объёмов ёмкостей и работы при переменной силе.
Правило Симпсона названо в честь английского математика Томаса Симпсона (1710–1761), описавшего метод в работе Mathematical Dissertations (1743), хотя сам Симпсон опирался на идеи Ньютона. Предшественник метода — формула Кеплера (1615), применявшаяся для расчёта объёмов винных бочек (Keplersche Fassregel). В немецкоязычной литературе метод часто называют правилом Кеплера.
Метод относится к семейству замкнутых формул Ньютона–Котса и аппроксимирует кривую на каждой паре отрезков параболой (для правила 1/3) или кубическим полиномом (для правила 3/8), вычисляя площадь под этой кривой аналитически. Главное преимущество — высокая точность при минимальном числе точек.
Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных частей (n — чётное число), шаг h = (b − a) / n. Составная формула Симпсона 1/3:
I ≈ (h/3) · [y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + … + 4yn−1 + yn]
Коэффициенты при ординатах чередуются: 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1. Формула точна для полиномов степени до 3 включительно.
Для случая, когда n кратно трём, применяется правило 3/8, основанное на кубической интерполяции:
I ≈ (3h/8) · [y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + 2y6 + … + yn]
Коэффициенты: 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, …, 3, 3, 1. Погрешность также O(h&sup4;), но правило 3/8 примерно вдвое точнее правила 1/3 при одинаковом шаге.
Правило Симпсона даёт на два порядка более высокую точность (O(h&sup4;) против O(h²)) при тех же вычислительных затратах, что и метод трапеций. Это объясняется тем, что параболическая аппроксимация значительно лучше передаёт форму гладких кривых.
Погрешность составной формулы Симпсона 1/3:
|E| ≤ (b − a)&sup5; / (180 · n&sup4;) · max|f(4)(x)|
Для формулы 3/8: |E| ≤ (b − a)&sup5; / (6480 · n&sup4;) · max|f(4)(x)|. Погрешность пропорциональна четвёртой производной функции — для плавных кривых (малая четвёртая производная) метод особенно эффективен.
Пусть ширина сечения балки измерена через каждые 50 мм (h = 50 мм) и получены 5 значений (n = 4, чётное): y0 = 0, y1 = 120, y2 = 160, y3 = 130, y4 = 0 мм. По правилу Симпсона 1/3: S = (50/3)·(0 + 4·120 + 2·160 + 4·130 + 0) = (50/3)·1320 = 22 000 мм². Для сравнения, метод трапеций даёт S = 50/2·(0 + 2·120 + 2·160 + 2·130 + 0) = 20 500 мм² — на 7% меньше. Разница особенно существенна при криволинейных контурах, где параболическая аппроксимация значительно точнее линейной.
Правило Симпсона — эффективный и точный метод численного интегрирования с погрешностью O(h&sup4;). Формулы 1/3 и 3/8 позволяют вычислять площади, объёмы и другие интегральные характеристики по табличным данным без необходимости знания аналитического выражения функции. Простота применения и высокая точность делают правило Симпсона стандартным инструментом в инженерных расчётах — от строительной механики до морской архитектуры. Метод реализован в большинстве инженерных программ и языков программирования, включая функцию scipy.integrate.simpson в Python и встроенные функции квадратуры в MATLAB.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.