Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Теорема Котельникова (Найквиста–Шеннона) — фундаментальный принцип цифровой обработки сигналов: для точного восстановления аналогового сигнала частота дискретизации должна превышать удвоенную максимальную частоту сигнала (fs > 2·fmax). Теорема определяет выбор частоты опроса датчиков, разрядности АЦП и периода сканирования ПЛК в системах промышленной автоматизации (АСУТП).
В 1933 году советский учёный Владимир Александрович Котельников представил доклад на Первом Всесоюзном съезде по вопросам связи, в котором математически доказал: непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть полностью восстановлен по своим дискретным отсчётам, если частота дискретизации превышает удвоенную верхнюю частоту спектра. В 1999 году Фонд Эдуарда Рейна присудил Котельникову премию за первую точную математическую формулировку теоремы.
Независимо к аналогичным результатам пришли Э.Т. Уиттекер (1915), Г. Найквист (1928) и К. Шеннон (1949). В международной литературе теорему называют Nyquist–Shannon sampling theorem.
fs > 2 · fmax
где fs — частота дискретизации (частота опроса), Гц; fmax — максимальная частота в спектре сигнала, Гц. Величина fN = fs/2 называется частотой Найквиста.
Алиасинг (наложение спектров) — искажение, возникающее, когда частота дискретизации недостаточна. Высокочастотные составляющие сигнала «отражаются» в область низких частот и воспринимаются как ложные компоненты, неотличимые от реальных. В системах АСУТП алиасинг может приводить к ошибочным показаниям датчиков, ложным срабатываниям защит и некорректной работе регуляторов.
Для борьбы с алиасингом перед АЦП устанавливают аналоговый фильтр нижних частот (антиалиасинговый фильтр), ограничивающий спектр входного сигнала частотой не выше fs/2.
На практике частоту дискретизации выбирают с запасом: fs = (5–10) · fmax для задач управления и fs = (2,56–3) · fmax для задач мониторинга и спектрального анализа (например, вибродиагностики). Теоретический минимум 2·fmax в реальных системах недостаточен из-за неидеальности фильтров и конечной разрядности АЦП.
Аналого-цифровые преобразователи в модулях ввода промышленных ПЛК имеют разрядность от 12 до 16 бит и работают с типовыми аналоговыми сигналами 4–20 мА и 0–10 В. Время преобразования одного канала варьируется от единиц микросекунд (SAR-архитектура) до десятков миллисекунд (сигма-дельта). При многоканальном мультиплексировании суммарная частота дискретизации делится между каналами.
Время цикла ПЛК (scan time) определяет минимальный интервал между последовательными считываниями входов. Для типовых контроллеров Siemens S7-1200/1500, Allen-Bradley CompactLogix и аналогов время цикла составляет 1–100 мс. При выборе периода опроса датчика необходимо учитывать как требования теоремы Котельникова, так и время цикла контроллера.
Теорема Котельникова fs > 2·fmax — базовое условие корректной оцифровки аналоговых сигналов в любой цифровой системе, от АСУТП до цифрового аудио. При проектировании систем промышленной автоматизации выбор частоты опроса датчиков, разрядности АЦП и периода сканирования ПЛК должен учитывать как теоретический минимум по теореме, так и практический запас (5–10 раз) для обеспечения достоверности измерений и устойчивости контуров регулирования.
Статья носит ознакомительный характер. Автор не несёт ответственности за последствия использования изложенной информации. Для проектирования АСУТП обращайтесь к действующим нормативным документам и квалифицированным специалистам.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.