Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Теорема Штейнера (теорема параллельных осей) позволяет вычислить момент инерции сечения относительно любой оси, если известен момент инерции относительно параллельной центральной оси. Формула J = J_c + A·d² — основной инструмент расчёта составных сечений балок, колонн и ригелей. Ниже разберём алгоритм, таблицу моментов инерции и пример для таврового сечения.
Теорему сформулировали швейцарский математик Якоб Штейнер и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс. Поэтому в литературе встречается название «теорема Гюйгенса — Штейнера». Суть её проста: при переносе оси на расстояние d от центра тяжести сечения момент инерции увеличивается на добавку A · d².
J = J_c + A · d²
где J_c — момент инерции относительно собственной центральной оси (см⁴); A — площадь сечения (см²); d — расстояние между параллельными осями (см).
Из формулы следует важное свойство: момент инерции относительно центральной оси всегда минимален. При любом переносе оси в сторону значение J только растёт. Это следствие того, что добавка A · d² всегда положительна.
Теорема действует только для параллельных осей, причём одна из них обязательно должна проходить через центр тяжести сечения. Нельзя переносить момент инерции между двумя произвольными осями напрямую — сначала нужно перейти к центральной оси, а затем от неё к новой.
Для применения теоремы Штейнера к составному сечению необходимо знать моменты инерции элементарных фигур относительно их собственных центральных осей.
Для стандартных прокатных профилей (двутавры, швеллеры, уголки) моменты инерции берут из сортамента по соответствующим ГОСТам.
Составное сечение — это сечение из нескольких простых фигур или прокатных профилей. Расчёт выполняется в пять шагов.
Дано: тавр из двух прямоугольников — полка (b₁ = 20 см, h₁ = 2 см) и стенка (b₂ = 2 см, h₂ = 18 см). Найти момент инерции J_x относительно горизонтальной центральной оси составного сечения.
Шаг 1. Площади: A₁ = 20 × 2 = 40 см², A₂ = 2 × 18 = 36 см². Общая площадь A = 76 см².
Шаг 2. Центры элементов (от низа стенки): y₁ = 18 + 1 = 19 см; y₂ = 18/2 = 9 см. Центр тяжести тавра: y_c = (40 × 19 + 36 × 9) / 76 = (760 + 324) / 76 = 14,26 см.
Шаг 3. Расстояния: d₁ = 19 − 14,26 = 4,74 см; d₂ = 14,26 − 9 = 5,26 см.
Шаг 4. Собственные моменты: J_c1 = 20 × 2³ / 12 = 13,3 см⁴; J_c2 = 2 × 18³ / 12 = 972 см⁴.
Шаг 5. По теореме Штейнера: J₁ = 13,3 + 40 × 4,74² = 13,3 + 898,7 = 912,0 см⁴; J₂ = 972 + 36 × 5,26² = 972 + 996,0 = 1968,0 см⁴.
Итого: J_x = 912,0 + 1968,0 = 2880 см⁴.
Обратите внимание: добавка Штейнера для полки (898,7 см⁴) в 67 раз превышает её собственный момент инерции (13,3 см⁴). Это наглядно показывает, почему удалённые от нейтральной оси полки так сильно повышают жёсткость сечения.
Двутавровый профиль эффективнее квадрата при изгибе именно по причине, заложенной в теореме Штейнера. При равной площади сечения двутавр размещает основной материал в полках, удалённых от нейтральной оси, — добавка A · d² оказывается значительно больше собственного момента инерции полок.
Теорема Штейнера — фундаментальный инструмент расчёта составных сечений. Формула J = J_c + A·d² показывает, что удаление материала от нейтральной оси резко увеличивает момент инерции. Алгоритм расчёта для любого составного профиля сводится к пяти шагам: разбиение, определение общего центра тяжести, вычисление расстояний, применение теоремы к каждому элементу и суммирование. Для стандартных профилей собственные моменты инерции берут из сортамента, что значительно ускоряет расчёт.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.