Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Уравнение трёх моментов — соотношение, связывающее изгибающие моменты на трёх последовательных опорах неразрезной балки с нагрузкой в смежных пролётах. Метод позволяет свести расчёт статически неопределимой многопролётной балки к решению системы линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей. Ниже разобраны формула Клапейрона, алгоритм составления системы уравнений, частные случаи и числовой пример для двухпролётной балки.
Метод расчёта неразрезных балок через опорные моменты был применён ещё в 1849 году при реконструкции моста через Сену в Аньере (Asnières-sur-Seine). Инженер Берто (Bertot) впервые опубликовал уравнение для таких балок в 1855 году. Идея основной системы с неизвестными моментами над опорами была высказана Клапейроном (Clapeyron) и опубликована в трудах Парижской Академии наук в 1857 году, поэтому уравнение носит его имя. Позднее Отто Мор обобщил метод на случай опор, расположенных на разной высоте (1860).
Физический смысл уравнения: взаимный угол поворота двух сечений балки, прилегающих к промежуточной опоре, в реальной конструкции равен нулю. Это условие совместности деформаций записывается через моменты на трёх соседних опорах.
Для неразрезной балки постоянного сечения (EI = const) уравнение записывается в виде:
Mi-1 · li + 2·Mi · (li + li+1) + Mi+1 · li+1 = -6 · (Ωi·ai / li + Ωi+1·bi+1 / li+1)
где: Mi-1, Mi, Mi+1 — изгибающие моменты на (i-1)-й, i-й и (i+1)-й опорах; li, li+1 — длины i-го и (i+1)-го пролётов; Ωi — площадь эпюры моментов i-го пролёта, рассматриваемого как простая балка; ai — расстояние от левой опоры до центра тяжести эпюры Ωi; bi+1 — расстояние от правой опоры до центра тяжести эпюры Ωi+1.
Количество уравнений равно числу промежуточных опор, то есть степени статической неопределимости балки. Система имеет трёхдиагональную матрицу, что существенно упрощает решение.
Если крайние опоры шарнирные, момент на них равен нулю: M0 = 0 и Mn = 0. Эти значения подставляются в уравнения как известные величины.
Заделка заменяется фиктивным пролётом длиной l0 = 0. Это добавляет дополнительное уравнение для определения момента в заделке.
Консоль в уравнение трёх моментов не включается. Она заменяется известным моментом от консольной нагрузки, приложенным к ближайшей опоре и включаемым в левую часть уравнения.
При разных моментах инерции в пролётах (Ii ≠ Ii+1) в уравнение вводятся отношения l/I для каждого пролёта. Опорные моменты зависят не от абсолютных значений жёсткости, а от соотношений жёсткостей смежных пролётов.
Рассмотрим балку на трёх шарнирных опорах с двумя равными пролётами l и равномерной нагрузкой q на всю длину.
Дано: M0 = 0, M2 = 0 (шарнирные опоры на концах), l1 = l2 = l, нагрузка q в обоих пролётах.
Эпюра моментов простой балки: парабола с максимумом ql2/8. Площадь: Ω = (2/3) · l · ql2/8 = ql3/12. Расстояние до центра тяжести: a = b = l/2.
Уравнение: 0 + 2·M1·(l + l) + 0 = -6·(ql3/12 · l/2 / l + ql3/12 · l/2 / l)
4·M1·l = -6 · 2 · ql3/24 = -ql3/2
Результат: M1 = -ql2/8
Знак минус означает, что над средней опорой растянуты верхние волокна балки. Максимальный пролётный момент в каждом пролёте составляет 9ql2/128.
Уравнение трёх моментов Клапейрона остаётся одним из наиболее эффективных аналитических методов расчёта неразрезных балок. Трёхдиагональная структура системы, простота учёта различных граничных условий и возможность обобщения на случай осадки опор делают метод незаменимым как в учебной практике, так и при проверочных расчётах строительных конструкций.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.