Закон сохранения импульса — фундаментальный закон физики, который утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы остается постоянной при любых взаимодействиях. Импульс тела равен произведению массы на скорость и является векторной величиной. Закон применяется при анализе столкновений тел, реактивного движения, выстрелов и других явлений. В школьной программе изучается в 9 классе и является одним из ключевых разделов механики для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по физике.
Формулы импульса и закона сохранения импульса: интерактивная таблица
В таблице представлено более 80 формул по импульсу тела, импульсу силы, закону сохранения импульса и его применению. Используйте поиск или фильтры для быстрого нахождения нужной формулы.
| Название / Случай | Формула | Обозначения | Категория |
|---|---|---|---|
| Импульс тела (количество движения) | p = m × v | p - импульс, m - масса тела, v - скорость | Основные |
| Модуль импульса тела | |p| = m × |v| | |p| - модуль импульса, m - масса, |v| - модуль скорости | Основные |
| Единица измерения импульса | [p] = кг·м/с | Килограмм-метр в секунду | Основные |
| Импульс силы | F × Δt = Δp | F - сила, Δt - время действия, Δp - изменение импульса | Основные |
| Второй закон Ньютона в импульсной форме | F = Δp / Δt | F - результирующая сила, Δp - изменение импульса, Δt - время | Основные |
| Изменение импульса тела | Δp = p₂ - p₁ = m(v₂ - v₁) | Δp - изменение импульса, p₁, p₂ - начальный и конечный импульсы | Основные |
| Импульс системы тел | p_сист = p₁ + p₂ + ... + pₙ | p_сист - импульс системы, p₁, p₂, ..., pₙ - импульсы отдельных тел | Основные |
| Импульс материальной точки | p = m × v | Векторная величина, направленная по вектору скорости | Основные |
| Проекция импульса на ось | pₓ = m × vₓ | pₓ - проекция импульса на ось X, vₓ - проекция скорости | Основные |
| Скорость через импульс | v = p / m | v - скорость, p - импульс, m - масса | Основные |
| Масса через импульс и скорость | m = p / v | m - масса, p - импульс, v - скорость | Основные |
| Средняя сила через изменение импульса | F_ср = Δp / Δt | F_ср - средняя сила, Δp - изменение импульса, Δt - время действия | Основные |
| Закон сохранения импульса (общий) | p₁ + p₂ + ... + pₙ = const | Для замкнутой системы векторная сумма импульсов постоянна | Сохранение |
| Закон сохранения импульса для двух тел | m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂' | До взаимодействия: v₁, v₂; после: v₁', v₂' | Сохранение |
| Закон сохранения импульса (векторная форма) | Σpᵢ = Σpᵢ' | Сумма импульсов до = сумме импульсов после взаимодействия | Сохранение |
| Закон сохранения импульса в проекциях | Σpₓ = Σpₓ'; Σpᵧ = Σpᵧ' | Проекции импульса на оси координат сохраняются отдельно | Сохранение |
| Условие применимости закона | ΣF_внеш = 0 | Сумма внешних сил равна нулю (замкнутая система) | Сохранение |
| Закон сохранения для трех тел | m₁v₁ + m₂v₂ + m₃v₃ = const | m₁, m₂, m₃ - массы тел; v₁, v₂, v₃ - их скорости | Сохранение |
| Центр масс системы | v_ц.м = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂) | v_ц.м - скорость центра масс системы | Сохранение |
| Изменение импульса системы | Δp_сист = F_внеш × Δt | F_внеш - векторная сумма внешних сил | Сохранение |
| Закон сохранения в замкнутой системе | p_до = p_после | Импульс до взаимодействия равен импульсу после | Сохранение |
| Абсолютно неупругий удар (общая формула) | m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u | u - общая скорость после слипания тел | Столкновения |
| Скорость после неупругого удара | u = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂) | Тела движутся как единое целое после удара | Столкновения |
| Неупругий удар: одно тело покоится | m₁v₁ = (m₁ + m₂)u | v₂ = 0, первое тело ударяет покоящееся второе | Столкновения |
| Абсолютно упругий удар (импульс) | m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ | u₁, u₂ - скорости после упругого столкновения | Столкновения |
| Абсолютно упругий удар (энергия) | m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2 | Кинетическая энергия сохраняется | Столкновения |
| Упругий удар: скорость первого тела | u₁ = [(m₁-m₂)v₁ + 2m₂v₂] / (m₁+m₂) | Скорость первого тела после упругого удара | Столкновения |
| Упругий удар: скорость второго тела | u₂ = [(m₂-m₁)v₂ + 2m₁v₁] / (m₁+m₂) | Скорость второго тела после упругого удара | Столкновения |
| Упругий удар равных масс | u₁ = v₂; u₂ = v₁ | При m₁ = m₂ тела обмениваются скоростями | Столкновения |
| Упругий удар: второе тело покоится | u₁ = (m₁-m₂)v₁/(m₁+m₂); u₂ = 2m₁v₁/(m₁+m₂) | v₂ = 0, упругое столкновение с покоящимся телом | Столкновения |
| Коэффициент восстановления | k = (u₂ - u₁) / (v₁ - v₂) | k = 0 (неупругий), k = 1 (упругий), 0 < k < 1 (частично упругий) | Столкновения |
| Потеря энергии при неупругом ударе | ΔE = m₁m₂(v₁-v₂)² / [2(m₁+m₂)] | ΔE - энергия, перешедшая в тепло и деформацию | Столкновения |
| Центральный удар | Скорости вдоль линии центров | Векторы скоростей до и после удара на одной прямой | Столкновения |
| Отдача при выстреле | m_пушки × v_пушки = m_снаряда × v_снаряда | Импульсы пушки и снаряда равны по модулю | Столкновения |
| Скорость отдачи пушки | v_пушки = -m_снаряда × v_снаряда / m_пушки | Знак минус означает противоположное направление | Столкновения |
| Распад тела на части | 0 = m₁v₁ + m₂v₂ | Начальный импульс равен нулю (тело покоилось) | Столкновения |
| Формула Циолковского (основная) | v = u × ln(m₀/m) | v - скорость ракеты, u - скорость выброса газов, m₀ - начальная масса, m - конечная масса | Реактивное |
| Формула Циолковского (через массу топлива) | v = u × ln[(m_р + m_т)/m_р] | m_р - масса ракеты без топлива, m_т - масса топлива | Реактивное |
| Реактивная сила тяги | F = u × dm/dt | F - реактивная сила, u - скорость выброса газов, dm/dt - расход топлива | Реактивное |
| Реактивная сила через массовый расход | F = u × μ | μ - массовый расход топлива (кг/с) | Реактивное |
| Уравнение Мещерского | m × dv/dt = F + u × dm/dt | F - внешние силы, второе слагаемое - реактивная сила | Реактивное |
| Закон сохранения импульса для ракеты | m_р × v = m_г × u_г | m_р - масса ракеты, m_г - масса газов, u_г - скорость газов | Реактивное |
| Число Циолковского | Z = m₀/m = (m_р + m_т)/m_р | Z - число Циолковского, отношение масс | Реактивное |
| Удельный импульс тяги | I_уд = F / (μ × g) | I_уд - удельный импульс, g = 9,8 м/с² - ускорение свободного падения | Реактивное |
| Скорость ракеты с учетом гравитации | v = u × ln(m₀/m) - g × t | Второе слагаемое - потери скорости из-за гравитации | Реактивное |
| Характеристическая скорость | v_х = u × ln(m₀/m) | Максимальная скорость без учета внешних сил | Реактивное |
| Многоступенчатая ракета | v = u₁ln(m₀/m₁) + u₂ln(m₁/m₂) + ... | Сумма скоростей от каждой ступени | Реактивное |
| Кинетическая энергия через импульс | E_к = p² / (2m) | E_к - кинетическая энергия, p - импульс, m - масса | Энергия |
| Импульс через кинетическую энергию | p = √(2m × E_к) | Связь импульса и кинетической энергии | Энергия |
| Связь импульса и энергии | p = √(2mE_к) = m × √(2E_к/m) | Альтернативная форма записи | Энергия |
| Работа силы через импульс | A = Δ(p²/2m) | A - работа, изменение кинетической энергии | Энергия |
| Мощность через импульс | N = F × v = v × dp/dt | N - мощность, F - сила, v - скорость | Энергия |
| Изменение энергии при ударе | ΔE = E_к_до - E_к_после | ΔE - потери энергии при неупругом ударе | Энергия |
| Сохранение суммарной энергии | E_мех + E_внутр = const | E_мех - механическая энергия, E_внутр - внутренняя (тепловая) | Энергия |
| КПД реактивного двигателя | η = 2v/(v + u) | η - КПД, v - скорость ракеты, u - скорость газов | Энергия |
| Момент импульса | L = r × p = m × r × v | L - момент импульса, r - радиус-вектор | Специальные |
| Закон сохранения момента импульса | L₁ + L₂ + ... + Lₙ = const | Для замкнутой системы момент импульса сохраняется | Специальные |
| Релятивистский импульс | p = mv / √(1 - v²/c²) | c - скорость света, для скоростей близких к c | Специальные |
| Импульс фотона | p = E/c = h/λ | E - энергия фотона, h - постоянная Планка, λ - длина волны | Специальные |
| Давление света | P = F/S = (1+ρ)I/c | ρ - коэффициент отражения, I - интенсивность света | Специальные |
| Импульс в потоке жидкости | F = ρ × S × v² | ρ - плотность жидкости, S - площадь сечения, v - скорость потока | Специальные |
| Удар струи о стенку | F = (1+k) × ρ × S × v² | k = 0 (поглощение), k = 1 (отражение) | Специальные |
| Импульс в системе центра масс | p_ц.м = 0 | В системе центра масс суммарный импульс равен нулю | Специальные |
| Приведенная масса | μ = m₁m₂/(m₁+m₂) | μ - приведенная масса системы двух тел | Специальные |
| Закон изменения импульса системы | dp/dt = ΣF_внеш | Производная импульса равна сумме внешних сил | Специальные |
| Импульс при переменной массе | d(mv)/dt = F + v_отн × dm/dt | v_отн - относительная скорость отделяющихся частей | Специальные |
| Импульс в разных системах отсчета | p' = p - m × V | V - скорость движения новой системы отсчета | Специальные |
| Обобщенный импульс | P = ∂L/∂v | L - функция Лагранжа, формализм аналитической механики | Специальные |
| Связь с волновой функцией | p = -iℏ∂/∂x | ℏ - постоянная Планка, квантовая механика | Специальные |
Импульс тела: определение, формула и физический смысл
Импульс тела, или количество движения, представляет собой векторную физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость. Понятие импульса было введено в физику для упрощения описания движения тел и их взаимодействий.
Формула импульса тела
Основная формула для вычисления импульса: p = m × v, где p — импульс (измеряется в кг·м/с), m — масса тела в килограммах, v — скорость тела в метрах в секунду. Импульс является векторной величиной, направленной в ту же сторону, что и вектор скорости.
Пример расчета: Автомобиль массой 1500 кг движется со скоростью 20 м/с. Его импульс: p = 1500 × 20 = 30 000 кг·м/с. Если автомобиль остановится, его импульс станет равным нулю.
Физический смысл импульса
Импульс характеризует количество движения, которым обладает тело. Чем больше масса тела и чем выше его скорость, тем труднее остановить это тело. Именно поэтому импульс является важнейшей характеристикой движущихся объектов в механике.
Важное свойство: Импульс тела зависит от системы отсчета. В разных системах отсчета одно и то же тело может иметь различные значения импульса, так как скорость тела относительна.
Единица измерения импульса
В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряется в килограмм-метрах в секунду (кг·м/с). Эта единица отражает физический смысл величины: масса, умноженная на скорость.
Импульс силы: второй закон Ньютона в импульсной форме
Импульс силы — это произведение силы на время ее действия. Эта величина тесно связана со вторым законом Ньютона и показывает, как изменяется импульс тела под действием силы.
Формула импульса силы
Импульс силы определяется выражением: F × Δt = Δp, где F — сила, действующая на тело, Δt — время действия силы, Δp — изменение импульса тела. Из этой формулы следует второй закон Ньютона в импульсной форме: F = Δp / Δt.
Второй закон Ньютона: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех сил, действующих на тело. В классической форме этот закон записывается как F = ma, но импульсная форма более универсальна и применима к телам с переменной массой.
Практическое применение импульса силы
Импульс силы особенно важен при анализе кратковременных взаимодействий, таких как удары, столкновения, выстрелы. Например, при ударе мяча ракеткой на мяч действует большая сила в течение очень короткого времени, что приводит к значительному изменению импульса мяча.
Пример из спорта: Футбольный мяч массой 0,4 кг после удара приобретает скорость 25 м/с. Если удар длился 0,02 секунды, средняя сила удара: F = (0,4 × 25) / 0,02 = 500 Н.
Графическое представление
На графике зависимости силы от времени площадь под кривой численно равна импульсу силы. Это геометрическое толкование позволяет вычислять импульс силы даже в случаях, когда сила меняется со временем по сложному закону.
Закон сохранения импульса: формулировка и применение
Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов природы и утверждает, что в замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел остается постоянной при любых взаимодействиях между ними.
Формулировка закона сохранения импульса
Для замкнутой системы тел справедливо: p₁ + p₂ + ... + pₙ = const, или в развернутой форме для двух тел: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂', где величины со штрихом обозначают скорости после взаимодействия.
Условия применимости: Закон сохранения импульса выполняется только для замкнутых (изолированных) систем, в которых на тела не действуют внешние силы, или их векторная сумма равна нулю. Если время взаимодействия очень мало (удар, взрыв), система может считаться замкнутой даже при наличии слабых внешних сил.
Вывод закона сохранения импульса
Закон сохранения импульса можно вывести из второго и третьего законов Ньютона. Рассмотрим два взаимодействующих тела. По третьему закону Ньютона силы, с которыми они действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению: F₁₂ = -F₂₁. Применяя второй закон Ньютона в импульсной форме к каждому телу и складывая уравнения, получаем, что изменение суммарного импульса равно нулю.
Закон сохранения импульса в проекциях
Поскольку импульс — векторная величина, закон сохранения записывается отдельно для каждой координатной оси. Если проекция суммы внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется, даже если полный импульс не сохраняется.
Пример: Человек массой 70 кг стоит на лодке массой 140 кг. Если человек спрыгнет с лодки со скоростью 2 м/с, лодка начнет двигаться в противоположную сторону со скоростью: v = -(70 × 2) / 140 = -1 м/с.
Закон сохранения импульса 9 класс: задачи и примеры
В девятом классе закон сохранения импульса изучается как один из основных разделов динамики. Этот материал входит в программу подготовки к ОГЭ по физике и требует умения решать задачи различной сложности.
Типичные задачи на закон сохранения импульса
В школьном курсе физики рассматриваются следующие типы задач:
- Отдача при выстреле из ружья или пушки
- Столкновение двух тележек или шаров
- Прыжок человека с лодки или платформы
- Распад снаряда на осколки
- Реактивное движение простейших моделей
Алгоритм решения задач:
- Выбрать систему отсчета и изобразить векторы скоростей
- Определить, является ли система замкнутой
- Записать закон сохранения импульса в векторной форме
- Спроецировать векторное уравнение на оси координат
- Решить полученную систему алгебраических уравнений
Примеры из реальной жизни
Закон сохранения импульса проявляется во многих повседневных ситуациях: движение ракет и реактивных самолетов, игра в бильярд, отдача при выстреле, движение каракатиц и осьминогов в воде (они выталкивают воду и движутся в противоположном направлении).
Упругий и неупругий удар: закон сохранения импульса и энергии
При столкновении тел различают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар. Реальные столкновения обычно занимают промежуточное положение между этими крайними случаями.
Абсолютно неупругий удар
При абсолютно неупругом ударе тела после столкновения движутся вместе с одинаковой скоростью или покоятся. Закон сохранения импульса выполняется, но механическая энергия не сохраняется — часть ее переходит во внутреннюю энергию (нагрев, деформация).
Формула для скорости после неупругого удара: u = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂). Хорошей моделью абсолютно неупругого удара служат пластилиновые шарики, которые при столкновении слипаются.
Пример неупругого удара: Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,3 м/с, сталкивается с неподвижной платформой массой 30 т. После сцепки они движутся со скоростью: u = (20000 × 0,3) / (20000 + 30000) = 0,12 м/с.
Абсолютно упругий удар
При абсолютно упругом ударе выполняются одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Тела после удара расходятся, а их суммарная кинетическая энергия остается неизменной.
Для упругого удара справедливы две формулы: закон сохранения импульса m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ и закон сохранения энергии m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2. Решая эту систему, можно найти скорости тел после столкновения.
Частный случай: При упругом столкновении двух тел одинаковой массы, одно из которых покоится, тела обмениваются скоростями. Движущееся тело останавливается, а покоившееся приобретает скорость первого тела.
Коэффициент восстановления
Для характеристики реальных столкновений вводят коэффициент восстановления k, который показывает, какая доля кинетической энергии сохраняется при ударе. Для абсолютно упругого удара k = 1, для абсолютно неупругого k = 0, в реальных случаях 0 < k < 1.
Реактивное движение: формула Циолковского и применение
Реактивное движение — это движение тела, возникающее при отделении от него какой-либо части с определенной скоростью. Это явление широко используется в технике и наблюдается в природе.
Принцип реактивного движения
Реактивное движение основано на законе сохранения импульса. Когда от ракеты отделяются газы, движущиеся в одном направлении, сама ракета приобретает импульс в противоположном направлении. Чем больше скорость истечения газов и чем больше их масса, тем большую скорость приобретает ракета.
Формула Циолковского
Формула Циолковского определяет максимальную скорость, которую может развить ракета: v = u × ln(m₀/m), где v — скорость ракеты, u — скорость истечения газов относительно ракеты, m₀ — начальная масса ракеты с топливом, m — масса ракеты без топлива.
Константин Эдуардович Циолковский — выдающийся русский ученый, основоположник теоретической космонавтики. Он вывел эту формулу в 1897 году и показал, что для космических полетов необходимы многоступенчатые ракеты. Его работы заложили теоретический фундамент современной космонавтики.
Реактивная сила тяги
Реактивная сила, действующая на ракету, определяется формулой: F = u × dm/dt, где dm/dt — массовый расход топлива (масса газов, выбрасываемых в единицу времени). Эта формула показывает, что для увеличения тяги можно либо увеличить скорость истечения газов, либо расход топлива.
Примеры реактивного движения: ракеты-носители для вывода спутников на орбиту, реактивные самолеты, водометные катера, движение медуз и кальмаров в воде, распространение семян бешеного огурца.
Уравнение Мещерского
Для тела переменной массы (такого как ракета) справедливо уравнение Мещерского: m × dv/dt = F + u × dm/dt, где первое слагаемое — внешние силы, второе — реактивная сила. Это уравнение обобщает второй закон Ньютона на случай тел с переменной массой.
Связь импульса с кинетической энергией
Импульс и кинетическая энергия тесно связаны между собой, хотя являются различными характеристиками движения. Обе величины зависят от массы и скорости тела, но по-разному.
Формулы связи импульса и энергии
Кинетическую энергию можно выразить через импульс: E_к = p² / (2m), а импульс через кинетическую энергию: p = √(2mE_к). Эти формулы часто используются в задачах по механике и позволяют переходить от одних величин к другим.
Важное различие: Импульс — векторная величина, кинетическая энергия — скалярная. При столкновениях импульс всегда сохраняется (в замкнутой системе), а энергия сохраняется только при упругих столкновениях. При неупругих столкновениях часть энергии переходит в тепло.
Применение в задачах
При решении задач на столкновения часто используют совместно законы сохранения импульса и энергии. Закон сохранения импульса записывается как векторное уравнение, а закон сохранения энергии — как скалярное. Это дает систему уравнений для определения неизвестных величин.
Импульс тела закон сохранения импульса 10 класс: углубленное изучение
В десятом классе изучение закона сохранения импульса углубляется: рассматриваются более сложные задачи, вводятся понятия момента импульса, изучается связь законов сохранения с симметрией пространства и времени.
Момент импульса
Момент импульса (угловой момент) определяется формулой: L = r × p, где r — радиус-вектор от оси вращения до точки. Для замкнутой системы момент импульса сохраняется, что объясняет многие явления вращательного движения.
Теорема Нётер и законы сохранения
Согласно теореме Нётер, закон сохранения импульса связан с однородностью пространства (все точки пространства равноправны). Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а закон сохранения момента импульса — с изотропностью пространства.
Фундаментальное значение: Законы сохранения не выводятся из законов Ньютона, а являются более общими. Они выполняются не только в классической механике, но и в квантовой механике, теории относительности, физике элементарных частиц.
Часто задаваемые вопросы о законе сохранения импульса
Заключение
Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов природы, который находит применение во всех разделах физики — от классической механики до квантовой физики и теории относительности. Понимание импульса тела, импульса силы и их взаимосвязи необходимо для успешного изучения физики в школе, подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, а также для освоения технических дисциплин в вузах. Практическое применение этого закона охватывает широчайший спектр явлений — от космических полетов до повседневных ситуаций, делая его одним из важнейших инструментов научного познания мира.
Отказ от ответственности: Данная статья носит образовательный и справочный характер. Все формулы и определения соответствуют стандартной программе школьного курса физики для 9-10 классов. Информация предназначена для помощи в изучении физики и подготовке к экзаменам. Автор не несет ответственности за возможные ошибки в расчетах при практическом применении формул.
Источники информации: Учебники по физике для 9-10 классов (Перышкин А.В., Мякишев Г.Я., Касьянов В.А.), университетские курсы общей физики (Савельев И.В., Сивухин Д.В.), материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по физике, научные статьи по механике и теоретической физике. Информация актуальна на ноябрь 2025 года.
