Закон всемирного тяготения — фундаментальный закон классической механики, сформулированный Исааком Ньютоном в 1687 году в труде «Математические начала натуральной философии». Закон устанавливает, что все материальные тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Гравитационное взаимодействие определяет движение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, обеспечивает существование галактик и управляет крупномасштабной структурой Вселенной. Изучается в школьном курсе физики 9-10 классов, необходим для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, применяется в небесной механике, космонавтике и астрофизике.
Закон всемирного тяготения: Простыми словами и профессиональные примеры
Для лучшего понимания этого фундаментального закона, его суть можно свести к трём простым правилам:
-
Универсальность притяжения («Всё притягивается ко всему»):
Каждый объект во Вселенной, обладающий массой (будь то Солнце, Земля, или ручка на столе), притягивает к себе все остальные объекты. Сила притяжения между двумя людьми или между человеком и машиной существует, но она настолько мала по сравнению с силой притяжения Земли, что мы её не замечаем.
-
Зависимость от массы («Больше масса — сильнее тяга»):
Сила притяжения прямо пропорциональна массам тел. Именно поэтому вы очень сильно притягиваетесь к планете Земля (у нее огромная масса), но чувствуете невесомость, когда находитесь далеко от любого массивного тела.
-
Закон обратных квадратов («Дальше — намного слабее»):
Притяжение невероятно быстро ослабевает с расстоянием. Если вы увеличите расстояние между телами в 2 раза, сила притяжения уменьшится в 22 = 4 раза. Если увеличите в 3 раза, сила упадет в 32 = 9 раз. Благодаря этому, притяжение далёких звёзд не влияет на нашу повседневную жизнь.
Профессиональные и научные примеры
- **Приливы и отливы:** Это прямое следствие гравитационного притяжения Луны и Солнца, которое "тянет" водную оболочку Земли, создавая приливные горбы.
- **Орбитальная механика:** Закон Ньютона объясняет, почему спутники (искусственные и естественные) остаются на своих орбитах, постоянно "падая" на планету, но промахиваясь мимо неё.
- **Открытие Нептуна:** В 1846 году Нептун был открыт не благодаря наблюдениям, а с помощью расчётов! Астрономы заметили, что орбита Урана немного отклоняется, и вычислили, что за этим должно стоять ещё одно, неизвестное массивное тело, точно используя закон всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения: полная интерактивная таблица формул и применений
В таблице представлено более 100 формул и случаев применения закона всемирного тяготения Ньютона, включая основную формулировку закона, расчет силы тяжести на различных планетах, космические скорости, движение спутников по орбитам, ускорение свободного падения на разных высотах, энергетические характеристики гравитационного взаимодействия и практические расчеты для задач небесной механики. Используйте поиск или фильтры для быстрого нахождения нужной формулы.
| Название / Случай | Формула | Обозначения и пояснения | Категория |
|---|---|---|---|
| Закон всемирного тяготения (основная формула) | F = G × (m₁ × m₂) / r² | F - сила гравитационного притяжения (Н), G = 6,67430×10⁻¹¹ м³/(кг·с²) - гравитационная постоянная, m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел (кг), r - расстояние между центрами масс тел (м) | Основной закон |
| Формулировка закона Ньютона | Два тела притягиваются с силой ∝ m₁m₂/r² | Все материальные тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними | Основной закон |
| Гравитационная постоянная G (значение) | G = 6,67430×10⁻¹¹ м³/(кг·с²) | Фундаментальная физическая постоянная, определенная экспериментально Кавендишем в 1798 году, численно равна силе притяжения двух тел массой 1 кг на расстоянии 1 м | Основной закон |
| Условия применимости закона | r ≫ размеры тел или тела шарообразны | Закон справедлив для материальных точек или однородных шарообразных тел; для протяженных тел применяется принцип суперпозиции | Основной закон |
| Принцип суперпозиции для гравитации | F⃗_результ = F⃗₁ + F⃗₂ + ... + F⃗ₙ | Результирующая сила гравитационного взаимодействия равна векторной сумме сил притяжения от всех тел системы | Основной закон |
| Сила тяжести на поверхности Земли | F_тяж = m × g | g = 9,8 м/с² - ускорение свободного падения у поверхности Земли, m - масса тела (кг). Это частный случай закона всемирного тяготения | Сила тяжести |
| Ускорение свободного падения у поверхности планеты | g = G × M / R² | M - масса планеты (кг), R - радиус планеты (м). Для Земли: M = 5,97×10²⁴ кг, R = 6,371×10⁶ м | Сила тяжести |
| Ускорение свободного падения на высоте h | g_h = G × M / (R + h)² | h - высота над поверхностью планеты (м). С увеличением высоты ускорение уменьшается по квадратичному закону | Сила тяжести |
| Отношение ускорений на разных высотах | g_h / g_0 = [R / (R + h)]² | g_0 - ускорение у поверхности, g_h - на высоте h. Показывает, во сколько раз уменьшается ускорение с высотой | Сила тяжести |
| Вес тела в состоянии покоя | P = m × g | P - вес тела (Н), сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес вследствие притяжения к Земле | Сила тяжести |
| Связь веса и силы тяжести | P = F_тяж при a = 0 | При покое или равномерном движении вес численно равен силе тяжести, но приложен к опоре/подвесу, а не к телу | Сила тяжести |
| Ускорение свободного падения на Луне | g_Луна ≈ 1,6 м/с² | Примерно в 6 раз меньше земного. M_Луна = 7,35×10²² кг, R_Луна = 1,737×10⁶ м | Сила тяжести |
| Ускорение свободного падения на Марсе | g_Марс ≈ 3,7 м/с² | Примерно в 2,6 раза меньше земного. M_Марс = 6,39×10²³ кг, R_Марс = 3,390×10⁶ м | Сила тяжести |
| Ускорение свободного падения на Юпитере | g_Юпитер ≈ 24,8 м/с² | Примерно в 2,5 раза больше земного. M_Юпитер = 1,90×10²⁷ кг, R_Юпитер = 6,99×10⁷ м | Сила тяжести |
| Первая космическая скорость (общая формула) | v₁ = √(G×M / R) | Минимальная горизонтальная скорость для движения по круговой орбите у поверхности планеты. M - масса планеты, R - радиус | Космические скорости |
| Первая космическая скорость через g | v₁ = √(g×R) | Альтернативная форма записи через ускорение свободного падения. Для Земли v₁ ≈ 7,9 км/с | Космические скорости |
| Первая космическая скорость для Земли | v₁ ≈ 7,91 км/с = 7910 м/с | Численное значение для орбиты вблизи поверхности Земли. Достигнута впервые спутником СССР 4 октября 1957 года | Космические скорости |
| Вторая космическая скорость (общая формула) | v₂ = √(2G×M / R) | Минимальная скорость для преодоления гравитационного притяжения планеты (скорость убегания, параболическая скорость) | Космические скорости |
| Вторая космическая скорость через первую | v₂ = v₁ × √2 | Связь между первой и второй космическими скоростями. v₂ ≈ 1,41×v₁ | Космические скорости |
| Вторая космическая скорость для Земли | v₂ ≈ 11,2 км/с = 11200 м/с | Численное значение для старта с поверхности Земли. Впервые достигнута станцией "Луна-1" в 1959 году | Космические скорости |
| Третья космическая скорость (от Земли) | v₃ ≈ 16,6 км/с | Минимальная скорость для преодоления притяжения Солнца и выхода за пределы Солнечной системы при старте с Земли | Космические скорости |
| Орбитальная скорость Земли вокруг Солнца | v_орб ≈ 30 км/с | Первая космическая скорость относительно Солнца на расстоянии земной орбиты (1 а.е. = 149,6 млн км) | Космические скорости |
| Скорость спутника на круговой орбите | v = √(G×M / r) | r - радиус орбиты от центра планеты (м). При движении по орбите центростремительное ускорение обеспечивается силой тяготения | Спутники |
| Период обращения спутника | T = 2π × √(r³ / (G×M)) | Третий закон Кеплера для спутников. r - радиус орбиты, M - масса планеты. T не зависит от массы спутника | Спутники |
| Связь периода и скорости спутника | T = 2πr / v | Кинематическое соотношение для движения по окружности: длина орбиты делится на скорость | Спутники |
| Минимальный период обращения спутника | T_мин = 2π × √(R³ / (G×M)) | Достигается при движении по орбите на минимальной высоте (r = R). Для Земли T_мин ≈ 84,4 минуты | Спутники |
| Высота геостационарной орбиты | h = ∛(G×M×T² / 4π²) - R | T = 24 часа = 86400 с. Для Земли h ≈ 35786 км, r ≈ 42164 км от центра. Спутник висит над одной точкой экватора | Спутники |
| Центростремительное ускорение спутника | a_ц = v² / r = G×M / r² | Ускорение спутника на орбите равно гравитационному ускорению на данном расстоянии от центра планеты | Спутники |
| Угловая скорость спутника | ω = √(G×M / r³) | ω (рад/с) - угловая скорость вращения. Связана с линейной: v = ω×r | Спутники |
| Условие движения по круговой орбите | m×v² / r = G×M×m / r² | Второй закон Ньютона: центростремительная сила равна силе гравитационного притяжения | Спутники |
| Первый закон Кеплера | Орбита - эллипс с Солнцем в фокусе | Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце | Планеты |
| Второй закон Кеплера (закон площадей) | dS / dt = const | Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади (закон сохранения момента импульса) | Планеты |
| Третий закон Кеплера | T₁² / T₂² = a₁³ / a₂³ | Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. a - большая полуось | Планеты |
| Третий закон Кеплера через массу Солнца | T² = 4π² × a³ / (G×M_☉) | M_☉ = 1,989×10³⁰ кг - масса Солнца. Связывает период обращения с расстоянием до Солнца | Планеты |
| Отношение сил притяжения планет | F₁ / F₂ = (m₁/m₂) × (r₂/r₁)² | Сравнение сил, действующих на разные планеты от Солнца. Зависит от масс планет и расстояний до Солнца | Планеты |
| Сила притяжения между Землей и Солнцем | F ≈ 3,54×10²² Н | M_☉ = 1,989×10³⁰ кг, M_⊕ = 5,97×10²⁴ кг, r = 1,496×10¹¹ м (1 а.е.) | Планеты |
| Сила притяжения между Землей и Луной | F ≈ 1,98×10²⁰ Н | M_⊕ = 5,97×10²⁴ кг, M_☽ = 7,35×10²² кг, r = 3,844×10⁸ м (среднее расстояние) | Планеты |
| Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия | E_п = -G×m₁×m₂ / r | Отрицательная величина, означающая связанность системы. При r → ∞ потенциальная энергия стремится к нулю | Энергия |
| Потенциальная энергия тела на высоте h (малая h) | E_п = m×g×h | Приближенная формула для высот h ≪ R. Выводится разложением точной формулы в ряд | Энергия |
| Потенциальная энергия тела на поверхности планеты | E_п = -G×M×m / R | Энергия тела массой m в гравитационном поле планеты массой M с радиусом R | Энергия |
| Кинетическая энергия спутника на орбите | E_к = G×M×m / (2r) | Связана с потенциальной энергией: E_к = -E_п/2 (теорема вириала для гравитации) | Энергия |
| Полная механическая энергия спутника | E = E_к + E_п = -G×M×m / (2r) | Отрицательна для связанных орбит (эллипс, окружность). При E ≥ 0 орбита незамкнута (парабола, гипербола) | Энергия |
| Работа по подъему тела на высоту h | A = G×M×m×h / [R×(R+h)] | Точная формула для любых высот. При h ≪ R упрощается до A = m×g×h | Энергия |
| Энергия для преодоления притяжения | E_мин = G×M×m / R = m×v₂² / 2 | Минимальная кинетическая энергия для удаления тела на бесконечность (соответствует второй космической скорости) | Энергия |
| Определение массы планеты по движению спутника | M = 4π²r³ / (G×T²) | Метод определения массы небесного тела по параметрам орбиты его спутника (r - радиус орбиты, T - период) | Расчеты |
| Определение массы планеты через g и R | M = g×R² / G | Метод расчета массы планеты по известному ускорению свободного падения у поверхности и радиусу | Расчеты |
| Радиус орбиты через период | r = ∛(G×M×T² / 4π²) | Расчет радиуса орбиты спутника по его периоду обращения и массе центрального тела | Расчеты |
| Высота орбиты спутника | h = r - R | r - расстояние от центра планеты, R - радиус планеты, h - высота над поверхностью | Расчеты |
| Отношение ускорений на разных планетах | g₁ / g₂ = (M₁/M₂) × (R₂/R₁)² | Сравнение ускорений свободного падения на поверхностях двух планет с массами M₁, M₂ и радиусами R₁, R₂ | Расчеты |
| Определение средней плотности планеты | ρ = 3g / (4πGR) | Связь средней плотности планеты с ускорением свободного падения и радиусом | Расчеты |
| Расстояние между телами через силу | r = √(G×m₁×m₂ / F) | Определение расстояния между двумя телами по известной силе их гравитационного притяжения | Расчеты |
| Первая космическая скорость через плотность | v₁ = R×√(4πGρ / 3) | ρ - средняя плотность планеты. Показывает зависимость первой космической скорости от размера и плотности | Расчеты |
| Точка Лагранжа L1 (система Земля-Луна) | r_L1 ≈ 0,85 × r_Луна | Точка равновесия гравитационных сил Земли и Луны на линии, соединяющей их центры. Используется для размещения спутников | Расчеты |
| Приливная сила | ΔF ≈ 2G×M×m×d / r³ | Разность сил тяготения, действующих на ближнюю и дальнюю стороны тела. d - размер тела, r - расстояние до источника поля | Сила тяжести |
| Радиус сферы Хилла | r_H ≈ a × ∛(m / 3M) | Область доминирования гравитации малого тела (m) над большим (M). a - расстояние между ними. За пределами этой сферы спутники неустойчивы | Спутники |
| Радиус сферы действия планеты | r_сф ≈ a × (m_пл / M_☉)^(2/5) | Область вокруг планеты, где ее притяжение преобладает над притяжением Солнца. Используется в расчетах межпланетных перелетов | Планеты |
| Скорость убегания на произвольной высоте | v_уб(h) = √[2G×M / (R+h)] | Вторая космическая скорость уменьшается с высотой. На большой высоте требуется меньшая скорость для ухода от планеты | Космические скорости |
| Масса Земли | M_⊕ = 5,97×10²⁴ кг | Масса Земли, определенная из наблюдений за движением Луны и искусственных спутников | Планеты |
| Радиус Земли (средний) | R_⊕ = 6,371×10⁶ м = 6371 км | Средний радиус Земли (экваториальный R_экв = 6378 км, полярный R_пол = 6357 км) | Планеты |
| Масса Солнца | M_☉ = 1,989×10³⁰ кг | Масса Солнца, определенная из орбитального движения планет (третий закон Кеплера) | Планеты |
| Масса Луны | M_☽ = 7,35×10²² кг | Масса Луны (примерно в 81 раз меньше массы Земли) | Планеты |
| Радиус Луны | R_☽ = 1,737×10⁶ м = 1737 км | Средний радиус Луны (примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли) | Планеты |
| Астрономическая единица | 1 а.е. = 1,496×10¹¹ м = 149,6 млн км | Среднее расстояние от Земли до Солнца, используется для измерения расстояний в Солнечной системе | Планеты |
| Закон сохранения момента импульса для орбит | m×v_min×r_min = m×v_max×r_max | Для эллиптической орбиты: в перигее (ближайшая точка) скорость максимальна, в апогее (дальняя точка) - минимальна | Спутники |
| Энергия перехода с орбиты r₁ на орбиту r₂ | ΔE = G×M×m×(1/r₁ - 1/r₂) / 2 | Энергия, необходимая для перевода спутника с одной круговой орбиты на другую (маневр Гомана) | Энергия |
| Предел Роша для приливных сил | r_Roche ≈ 2,46 × R_пл × ∛(ρ_пл / ρ_спут) | Минимальное расстояние, на которое может приблизиться спутник к планете, не разрушаясь приливными силами. ρ - плотности тел | Расчеты |
| Вес тела на экваторе с учетом вращения Земли | P = m×(g - ω²×R) | ω = 7,3×10⁻⁵ рад/с - угловая скорость вращения Земли. Вес на экваторе на ~0,3% меньше, чем на полюсе | Сила тяжести |
| Гравитационный маневрх (гравитационная праща) | Δv_макс = 2×v_планеты | Максимальное изменение скорости космического аппарата при облете планеты (в системе отсчета Солнца) | Космические скорости |
Закон всемирного тяготения Ньютона: формулировка, формула и физический смысл
Закон всемирного тяготения представляет собой один из фундаментальных законов природы, открытый Исааком Ньютоном в результате анализа движения небесных тел и опубликованный в 1687 году в труде «Математические начала натуральной философии». Этот закон устанавливает количественное соотношение для гравитационного взаимодействия между материальными телами.
Формулировка закона всемирного тяготения
Классическая формулировка закона всемирного тяготения: все материальные тела взаимно притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Математически закон записывается формулой F = G × (m₁ × m₂) / r², где F — сила гравитационного притяжения в ньютонах (Н), G = 6,67430×10⁻¹¹ м³/(кг·с²) — гравитационная постоянная, m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел в килограммах (кг), r — расстояние между центрами масс тел в метрах (м).
Историческая справка: Ньютон открыл закон всемирного тяготения в 1667 году, анализируя законы Кеплера, описывающие движение планет вокруг Солнца. Согласно легенде, идея пришла к нему при наблюдении за падающим яблоком, хотя историческая достоверность этой истории не подтверждена. Тем не менее, Ньютон первым понял, что одна и та же сила заставляет яблоко падать на Землю и удерживает Луну на орбите.
Условия применимости закона всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения в представленной форме справедлив для следующих случаев: материальные точки (тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними); однородные шарообразные тела (доказано, что сферически-симметричное тело можно рассматривать как материальную точку с массой, сосредоточенной в центре); тела произвольной формы при r значительно больше размеров тел. Для протяженных тел сложной формы применяется принцип суперпозиции — тело мысленно разбивается на элементарные части, для каждой пары элементов применяется закон тяготения, результаты векторно суммируются.
Принцип суперпозиции гравитационных сил: Если на материальную точку действуют гравитационные силы от нескольких тел, результирующая сила равна векторной сумме сил притяжения от каждого тела: F⃗_результ = F⃗₁ + F⃗₂ + ... + F⃗ₙ. Этот принцип позволяет рассчитывать гравитационное взаимодействие в системах с множеством тел, например, в Солнечной системе.
Физический смысл закона всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения имеет глубокий физический смысл. Во-первых, гравитация является универсальным взаимодействием — все материальные тела во Вселенной притягиваются друг к другу, независимо от их химического состава, агрегатного состояния или физических свойств. Во-вторых, гравитационное взаимодействие всегда является притяжением — отталкивающей гравитации не существует в природе. В-третьих, сила гравитации действует на любых расстояниях, убывая обратно пропорционально квадрату расстояния, что делает ее дальнодействующей силой (хотя в рамках общей теории относительности гравитация распространяется со скоростью света, а не мгновенно).
Гравитационная постоянная G: значение, определение и физический смысл
Гравитационная постоянная (постоянная Ньютона) — фундаментальная физическая константа природы, являющаяся коэффициентом пропорциональности в законе всемирного тяготения. Обозначается символом G и входит в число основных мировых констант наряду со скоростью света c, постоянной Планка h и зарядом электрона e.
Численное значение гравитационной постоянной
В Международной системе единиц СИ гравитационная постоянная имеет значение: G = 6,67430(15) × 10⁻¹¹ м³/(кг·с²) или G = 6,67430 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Число в скобках (15) указывает на погрешность измерения в последних двух значащих цифрах. Это значение утверждено CODATA (Комитет по данным для науки и техники) с 2018 года на основании наиболее точных экспериментальных измерений.
Измерение гравитационной постоянной: Впервые величину G экспериментально определил английский физик Генри Кавендиш в 1797-1798 годах с помощью крутильных весов. Его установка состояла из горизонтального стержня с двумя малыми свинцовыми шарами на концах, подвешенного на тонкой проволоке. Большие свинцовые шары помещались рядом с малыми, вызывая закручивание проволоки под действием гравитационного притяжения. Измеряя угол закручивания, Кавендиш получил значение G = 6,754 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг², что с точностью до 1% совпадает с современным значением.
Физический смысл гравитационной постоянной
Физический смысл гравитационной постоянной: численно G равна силе, с которой притягиваются друг к другу два тела массой 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга. Эта сила составляет F = 6,67430 × 10⁻¹¹ Н, что чрезвычайно мало — примерно равно весу пылинки массой 7 микрограмм. Малость гравитационной постоянной объясняет, почему гравитационное взаимодействие между обычными телами практически не ощущается в повседневной жизни, и мы замечаем гравитацию только со стороны массивных небесных тел, таких как Земля.
Универсальность гравитационной постоянной
Как в классической теории тяготения Ньютона, так и в общей теории относительности Эйнштейна, гравитационная постоянная рассматривается как универсальная константа природы, не меняющаяся в пространстве и времени и не зависящая от физических и химических свойств гравитирующих тел. Экспериментальные наблюдения подтверждают постоянство G с высокой точностью. Существуют альтернативные теории гравитации, предполагающие изменение G со временем или зависимость от других параметров, но наблюдательные данные пока не подтверждают такие гипотезы.
Космические скорости: первая, вторая и третья космическая скорость для Земли
Космические скорости — характерные критические значения скорости космического объекта, определяющие тип его движения в гравитационном поле небесного тела. Различают первую, вторую, третью и четвертую космические скорости, каждая из которых соответствует определенному типу траектории движения.
Первая космическая скорость: движение по круговой орбите
Первая космическая скорость (круговая скорость, орбитальная скорость) — минимальная горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту на поверхности планеты (при отсутствии атмосферы), чтобы он начал движение по круговой орбите вокруг планеты, став ее искусственным спутником. Формула первой космической скорости: v₁ = √(G×M / R) = √(g×R), где M — масса планеты, R — радиус планеты, g — ускорение свободного падения у поверхности. Для Земли первая космическая скорость составляет v₁ ≈ 7,91 км/с = 7910 м/с.
Исторический факт: Первая космическая скорость была впервые достигнута 4 октября 1957 года, когда Советский Союз запустил первый в истории искусственный спутник Земли "Спутник-1". Ракета-носитель Р-7, разработанная под руководством Сергея Павловича Королева, вывела спутник массой 83,6 кг на эллиптическую орбиту с высотой в перигее 228 км и апогее 947 км. Это событие ознаменовало начало космической эры человечества.
Вторая космическая скорость: преодоление земного притяжения
Вторая космическая скорость (скорость убегания, параболическая скорость) — минимальная скорость, которую необходимо придать объекту для преодоления гравитационного притяжения планеты и выхода на параболическую или гиперболическую траекторию, позволяющую удалиться от планеты на бесконечно большое расстояние. Формула второй космической скорости: v₂ = √(2G×M / R) = v₁ × √2. Для Земли вторая космическая скорость составляет v₂ ≈ 11,2 км/с = 11200 м/с, что в √2 ≈ 1,41 раза больше первой космической скорости.
Третья космическая скорость: выход за пределы Солнечной системы
Третья космическая скорость — минимальная скорость, которую необходимо придать объекту при старте с поверхности Земли для преодоления притяжения не только Земли, но и Солнца, что позволяет покинуть пределы Солнечной системы. Для Земли третья космическая скорость составляет приблизительно v₃ ≈ 16,6 км/с при старте в направлении движения Земли по орбите. Эта скорость учитывает орбитальную скорость Земли вокруг Солнца (≈30 км/с) и необходимость достижения параболической скорости относительно Солнца (≈42,1 км/с).
Достижения космонавтики: Впервые вторая космическая скорость была достигнута 2 января 1959 года автоматической межпланетной станцией "Луна-1", которая прошла на расстоянии около 6000 км от поверхности Луны и стала первым искусственным спутником Солнца. Наибольшую скорость относительно Земли (16,26 км/с, близкую к третьей космической) развил космический аппарат "Новые горизонты", запущенный NASA 19 января 2006 года для исследования Плутона и объектов пояса Койпера.
Движение искусственных спутников Земли: период обращения и параметры орбиты
Искусственные спутники Земли движутся по орбитам под действием силы гравитационного притяжения, которая обеспечивает необходимое центростремительное ускорение для движения по криволинейной траектории. Параметры орбиты спутника определяются начальной скоростью и высотой, на которой был завершен активный участок полета.
Условие движения спутника по круговой орбите
Для движения спутника массой m по круговой орбите радиуса r вокруг планеты массой M необходимо выполнение условия: центростремительная сила равна силе гравитационного притяжения. По второму закону Ньютона: m×v² / r = G×M×m / r². Отсюда получаем скорость спутника на орбите: v = √(G×M / r). Эта формула показывает, что орбитальная скорость спутника не зависит от его массы, а определяется только массой планеты и радиусом орбиты.
Период обращения спутника и третий закон Кеплера
Период обращения спутника T (время одного полного оборота вокруг планеты) связан с радиусом орбиты третьим законом Кеплера: T = 2π × √(r³ / (G×M)) или в альтернативной форме T² = 4π² × r³ / (G×M). Эта зависимость показывает, что квадрат периода обращения пропорционален кубу радиуса орбиты. Минимальный период обращения достигается при движении по орбите вблизи поверхности планеты (r = R): для Земли T_мин ≈ 84,4 минуты.
Геостационарная орбита: Особый практический интерес представляет геостационарная орбита — круговая орбита в плоскости экватора с периодом обращения, равным периоду вращения Земли (T = 24 часа = 86400 с). Спутник на такой орбите постоянно находится над одной и той же точкой экватора, что идеально для спутников связи и метеорологических спутников. Расчет высоты геостационарной орбиты: r = ∛(G×M×T² / 4π²) ≈ 42164 км от центра Земли, что соответствует высоте h ≈ 35786 км над поверхностью. На геостационарной орбите находятся сотни спутников связи и телевещания.
Энергия спутника на орбите
Спутник на орбите обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. Кинетическая энергия: E_к = m×v² / 2 = G×M×m / (2r). Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия: E_п = -G×M×m / r (отрицательна, что указывает на связанность системы). Полная механическая энергия спутника: E = E_к + E_п = -G×M×m / (2r). Полная энергия также отрицательна для замкнутых орбит (окружность, эллипс), что соответствует устойчивому движению спутника. Интересное соотношение: кинетическая энергия составляет половину модуля потенциальной энергии (теорема вириала для гравитации).
Применение закона всемирного тяготения в науке и технике
Закон всемирного тяготения имеет фундаментальное значение для науки и широкое практическое применение в различных областях человеческой деятельности, от небесной механики и космонавтики до геофизики и метрологии.
Небесная механика и астрономия
Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики — раздела астрономии, изучающего движение небесных тел. На основе закона тяготения Ньютон вывел законы Кеплера, описывающие движение планет вокруг Солнца. Закон позволяет: рассчитывать орбиты планет, комет и астероидов; предсказывать положение небесных тел на любой момент времени; определять массы планет и звезд по движению их спутников; открывать новые планеты по возмущениям в движении известных (так были открыты Нептун в 1846 году и Плутон в 1930 году); изучать двойные звезды и экзопланеты.
Космонавтика и космические исследования
В космонавтике закон всемирного тяготения применяется для: расчета траекторий запуска искусственных спутников Земли и космических аппаратов; определения параметров орбит (высота, период обращения, скорость); планирования межпланетных перелетов с использованием гравитационных маневров (гравитационная праща) для экономии топлива; расчета точек Лагранжа — особых точек в системе двух тел, где гравитационные силы уравновешиваются; проектирования орбитальных группировок спутников навигации (GPS, ГЛОНАСС), связи и дистанционного зондирования Земли.
Гравитационные маневры: Гравитационный маневр (гравитационная праща) — метод изменения траектории и скорости космического аппарата за счет пролета вблизи планеты. Космический аппарат "захватывает" часть орбитального момента планеты, увеличивая свою скорость без затрат топлива. Максимальное изменение скорости относительно Солнца при оптимальной траектории составляет Δv_макс = 2×v_планеты. Этот метод широко используется при межпланетных миссиях: например, аппараты "Вояджер-1" и "Вояджер-2" использовали гравитационные маневры у Юпитера и Сатурна для достижения внешних планет и последующего выхода за пределы Солнечной системы.
Геофизика и изучение Земли
Закон всемирного тяготения применяется в геофизике для: измерения гравитационного поля Земли и определения его аномалий, связанных с неоднородностями в распределении масс в недрах планеты; поиска полезных ископаемых (гравиразведка) — месторождения руд, нефти и газа вызывают локальные изменения гравитационного поля; изучения строения земной коры и мантии; мониторинга движения подземных вод и изменений уровня грунтовых вод; исследования приливных явлений, вызванных притяжением Луны и Солнца.
Метрология и фундаментальная физика
В метрологии закон всемирного тяготения используется для: определения массы Земли и других планет по движению их спутников; прецизионных измерений гравитационной постоянной G; проверки принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс; тестирования альтернативных теорий гравитации и поиска возможных отклонений от закона Ньютона на различных масштабах расстояний. Современные эксперименты подтверждают закон всемирного тяготения на расстояниях от 55 микрометров до масштабов Солнечной системы с чрезвычайно высокой точностью.
Решение задач на закон всемирного тяготения для 9 и 10 класса
Задачи на закон всемирного тяготения являются важной частью школьного курса физики и встречаются в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Рассмотрим типичные виды задач и методы их решения.
Алгоритм решения задач на закон всемирного тяготения
Общий алгоритм решения задач:
- Внимательно прочитать условие задачи и выписать известные величины
- Определить, какой закон или формулу следует применить (закон всемирного тяготения, формулы космических скоростей, периода обращения спутника)
- Проверить применимость закона (расстояние между телами, форма тел)
- Записать формулу закона всемирного тяготения F = G×m₁×m₂ / r²
- Выразить искомую величину из формулы
- Подставить численные значения, используя СИ
- Выполнить вычисления и получить ответ
- Проверить размерность ответа и его физическую разумность
Типовые задачи на закон всемирного тяготения
Задача 1: Расчет силы притяжения между телами. Два шара массами m₁ = 100 кг и m₂ = 200 кг находятся на расстоянии r = 10 м друг от друга. Найти силу их гравитационного взаимодействия. Решение: F = G×m₁×m₂ / r² = 6,67×10⁻¹¹ × 100 × 200 / 10² = 1,33×10⁻⁸ Н. Ответ: F ≈ 1,33×10⁻⁸ Н.
Задача 2: Определение ускорения свободного падения на другой планете. Масса Марса M = 6,39×10²³ кг, радиус R = 3,39×10⁶ м. Найти ускорение свободного падения на поверхности Марса. Решение: g = G×M / R² = 6,67×10⁻¹¹ × 6,39×10²³ / (3,39×10⁶)² ≈ 3,7 м/с². Ответ: g ≈ 3,7 м/с².
Задача 3: Расчет первой космической скорости для Луны. Масса Луны M = 7,35×10²² кг, радиус R = 1,737×10⁶ м. Найти первую космическую скорость. Решение: v₁ = √(G×M / R) = √(6,67×10⁻¹¹ × 7,35×10²² / 1,737×10⁶) ≈ 1680 м/с ≈ 1,68 км/с. Ответ: v₁ ≈ 1,68 км/с.
Задача 4: Определение периода обращения спутника. Спутник движется по круговой орбите на высоте h = 600 км над поверхностью Земли. Найти период обращения. Решение: радиус орбиты r = R_⊕ + h = 6,371×10⁶ + 600×10³ = 6,971×10⁶ м. T = 2π×√(r³ / (G×M_⊕)) = 2π×√((6,971×10⁶)³ / (6,67×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴)) ≈ 5820 с ≈ 97 минут. Ответ: T ≈ 97 минут.
Типичные ошибки при решении задач: Забывают переводить величины в СИ (километры в метры, граммы в килограммы); путают радиус планеты R с расстоянием от центра r = R + h при расчетах на высоте h; неправильно применяют закон для несферических или близко расположенных тел; забывают, что гравитационная постоянная G имеет очень малое значение, поэтому силы притяжения между обычными телами ничтожны; при расчете космических скоростей используют неправильные формулы или путают первую и вторую космические скорости.
Часто задаваемые вопросы о законе всемирного тяготения
Заключение
Закон всемирного тяготения Ньютона является одним из величайших достижений человеческой мысли, объединившим земную и небесную механику в единую систему. Открытый в 1687 году, этот закон более трех столетий служит фундаментом для понимания гравитационного взаимодействия, движения планет, спутников и космических аппаратов. Формула F = G×m₁×m₂ / r² с удивительной точностью описывает притяжение между телами — от яблока, падающего на Землю, до галактик, взаимодействующих на космологических расстояниях. Гравитационная постоянная G = 6,67430×10⁻¹¹ м³/(кг·с²), определенная экспериментально Кавендишем, позволяет производить точные расчеты. Закон всемирного тяготения нашел широчайшее применение в космонавтике (расчет орбит спутников, космических скоростей, межпланетных траекторий), небесной механике (предсказание положения планет, открытие новых тел), геофизике (изучение строения Земли, гравиразведка) и многих других областях. Первая космическая скорость v₁ ≈ 7,9 км/с и вторая космическая скорость v₂ ≈ 11,2 км/с для Земли определяют возможности освоения космоса. Хотя в XX веке закон Ньютона был дополнен общей теорией относительности Эйнштейна, описывающей гравитацию как искривление пространства-времени, классический закон всемирного тяготения остается исключительно точным для большинства практических расчетов при скоростях много меньших скорости света и умеренных гравитационных полях. Глубокое понимание закона всемирного тяготения необходимо для изучения физики в 9-10 классах, успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, а также для дальнейшего освоения физики, астрономии и космических наук.
Отказ от ответственности: Данная статья носит образовательный и справочный характер. Все формулы, численные значения физических констант и определения соответствуют стандартной программе школьного курса физики для 9-10 классов и базируются на авторитетных научных источниках и классических учебниках. Информация предназначена для помощи в изучении физики, подготовке к экзаменам ОГЭ и ЕГЭ, а также для общего образования в области небесной механики и гравитационного взаимодействия. Автор не несет ответственности за возможные неточности в практическом применении формул, результаты решения конкретных задач или последствия использования информации в научных исследованиях или инженерных расчетах. Для углубленного изучения небесной механики, релятивистской теории гравитации и применения закона всемирного тяготения в профессиональной деятельности рекомендуется обращаться к специализированным учебникам для высших учебных заведений и консультироваться с преподавателями физики и астрономии. Численное значение гравитационной постоянной G = 6,67430(15)×10⁻¹¹ м³/(кг·с²) приведено согласно рекомендациям CODATA 2018 года.
Источники информации: Материал подготовлен на основе авторитетных научных и учебных источников: учебники физики для 9-10 классов общеобразовательных школ (А.В. Перышкин, Е.М. Гутник "Физика. 9 класс", Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский "Физика. 10 класс"), курсы общей физики для высших учебных заведений (Д.В. Сивухин "Общий курс физики. Том 1. Механика", 2005; И.В. Савельев "Курс общей физики. Том 1. Механика", 2003), материалы Заочной физико-технической школы Московского физико-технического института (ЗФТШ МФТИ), курсы физики Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ", методические пособия для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по физике, научные статьи по классической механике и небесной механике из журнала "Успехи физических наук". Первоисточник: Исаак Ньютон "Математические начала натуральной философии" (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687). Численные значения физических констант приведены согласно рекомендациям Комитета по данным для науки и техники CODATA 2018 (Committee on Data for Science and Technology). Данные о массах и радиусах планет взяты из справочника NASA Planetary Fact Sheet. Информация о космических миссиях и достижениях космонавтики основана на данных Роскосмоса и NASA. Материал актуален на ноябрь 2025 года и соответствует действующим Федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС) основного общего и среднего общего образования Российской Федерации.
