Формула Ранкина для колонн

Явление потери устойчивости

Потеря устойчивости — это явление, при котором сжатый стержень (колонна) внезапно отклоняется от прямолинейной формы и изгибается под действием продольной сжимающей нагрузки, даже если эта нагрузка не превышает предела прочности материала. Это классический пример бифуркационной потери устойчивости, при которой малые возмущения могут привести к значительным боковым деформациям.

Для длинных и тонких стержней потеря устойчивости обычно происходит при нагрузках значительно меньших, чем те, которые вызвали бы разрушение материала из-за превышения предела прочности. Напротив, короткие и массивные стойки обычно разрушаются из-за превышения предела прочности материала до того, как произойдет потеря устойчивости.

Между этими двумя крайними случаями существует обширная область промежуточных значений гибкости стержней, где разрушение происходит от комбинации двух механизмов: частичной потери устойчивости и превышения предела прочности материала. Именно для этой области формула Ранкина предоставляет наиболее точные результаты.

Ограничения формулы Эйлера

Формула Эйлера для определения критической нагрузки потери устойчивости была выведена на основе теории упругости и имеет вид:

где:
P_cr — критическая сила, Н;
E — модуль упругости материала, Па;
I — минимальный момент инерции поперечного сечения, м⁴;
K — коэффициент, зависящий от условий закрепления концов;
L — длина колонны, м.

Основное ограничение формулы Эйлера заключается в том, что она основана на предположении о линейно-упругом поведении материала вплоть до момента потери устойчивости. Это предположение справедливо только для достаточно длинных и тонких стержней, имеющих большую гибкость λ = KL/r (где r = √(I/A) — радиус инерции поперечного сечения).

Для стержней средней и малой гибкости напряжения в стержне в момент потери устойчивости могут превышать предел пропорциональности материала, то есть рассматриваемый материал уже не подчиняется закону Гука. В этом случае формула Эйлера даёт завышенные значения критической нагрузки, что делает её применение потенциально опасным.

Подход Ранкина

Уильям Ранкин предложил эмпирический подход, который преодолевает ограничения формулы Эйлера для колонн средней гибкости. Его метод основан на наблюдении, что разрушение колонны может произойти как из-за потери устойчивости (по Эйлеру), так и из-за превышения предела прочности материала.

Ранкин объединил эти два механизма разрушения в единую формулу, введя дополнительный член, учитывающий прочность материала. Этот подход можно рассматривать как один из первых примеров метода взаимодействия (interaction approach) в проектировании конструкций, где учитываются различные механизмы разрушения одновременно.

Подход Ранкина основан на следующих соображениях:

1. Для коротких колонн малой гибкости разрушение происходит при достижении предела прочности материала.
2. Для длинных колонн большой гибкости разрушение происходит из-за потери устойчивости по Эйлеру.
3. Для колонн средней гибкости разрушение происходит при комбинированном воздействии обоих механизмов.

Важно отметить, что формула Ранкина не была выведена аналитически из первых принципов механики, а была предложена как эмпирическая аппроксимация, основанная на экспериментальных данных и инженерной интуиции. Это отличает её от формулы Эйлера, имеющей строгое теоретическое обоснование.

Математическое выражение

Формула Ранкина для определения критической нагрузки колонны имеет следующий вид:

Альтернативно, формулу часто записывают в терминах критического напряжения:

где:
P_cr — критическая сила, при которой происходит потеря устойчивости, Н;
F_c — предельная сила сжатия для короткой колонны (F_c = σ_cA), Н;
σ_cr — критическое напряжение, Па;
σ_c — предел прочности материала на сжатие, Па;
α — константа Ранкина, зависящая от материала, 1/Па;
K — коэффициент, зависящий от условий закрепления концов колонны;
L — длина колонны, м;
r — радиус инерции поперечного сечения (r = √(I/A)), м;
I — минимальный момент инерции поперечного сечения, м⁴;
A — площадь поперечного сечения, м².

Значения коэффициента K для различных условий закрепления концов колонны:

Константа Ранкина

Ключевым параметром в формуле Ранкина является константа α, которая зависит от свойств материала и определяется экспериментально. Она представляет собой эмпирический коэффициент, связывающий сопротивление материала прямому сжатию и потере устойчивости.

Константу Ранкина можно выразить через отношение предела прочности материала на сжатие и модуля упругости:

Однако на практике значения константы Ранкина обычно определяются экспериментально и могут отличаться от теоретических значений из-за влияния различных факторов, таких как начальные несовершенства, остаточные напряжения и неоднородность материала.

Типичные значения константы Ранкина для распространённых материалов:

Вывод формулы

Хотя формула Ранкина является эмпирической, её можно логически обосновать, исходя из принципа суперпозиции двух механизмов разрушения: потери устойчивости и превышения предела прочности материала.

Рассмотрим два предельных случая:

1. Для короткой колонны критическое напряжение равно пределу прочности материала на сжатие: σ_cr = σ_c.
2. Для длинной колонны критическое напряжение определяется формулой Эйлера: σ_cr = π²E / (KL/r)².

Ранкин предположил, что для колонн промежуточной гибкости общее сопротивление разрушению можно представить как комбинацию этих двух механизмов. В терминах податливости (величины, обратной сопротивлению) это можно записать как:

Вводя обозначение α = 1/(π²E) и преобразуя выражение, получаем:

Что и является формулой Ранкина для критического напряжения.

Формула Ранкина имеет следующие важные свойства:

• Когда гибкость стремится к нулю (λ = KL/r → 0), критическое напряжение стремится к пределу прочности материала (σ_cr → σ_c).
• Когда гибкость становится очень большой (λ = KL/r → ∞), формула Ранкина асимптотически приближается к формуле Эйлера.
• Для промежуточных значений гибкости формула даёт плавный переход между двумя предельными случаями.

Процедура проектирования

Применение формулы Ранкина в инженерной практике включает следующие основные этапы:

1. Определение исходных данных:
   • Материал колонны и его характеристики (предел прочности, модуль упругости)
   • Длина колонны и условия закрепления концов
   • Расчетная нагрузка
   • Константа Ранкина для выбранного материала
2. Выбор формы и размеров поперечного сечения (для предварительного расчета)
3. Расчет геометрических характеристик сечения:
   • Площадь поперечного сечения (A)
   • Минимальный момент инерции (I_min)
   • Радиус инерции (r = √(I_min/A))
4. Определение эффективной длины колонны (KL) в зависимости от условий закрепления
5. Расчет гибкости колонны (λ = KL/r)
6. Расчет критической нагрузки по формуле Ранкина:

   P_cr = (σ_cA) / (1 + α(KL/r)²)

7. Проверка условия прочности и устойчивости:

   P ≤ P_cr / n

   где P — расчетная нагрузка, n — коэффициент запаса
8. Корректировка размеров сечения при необходимости и повторение расчета

Коэффициенты запаса

При использовании формулы Ранкина для проектирования реальных конструкций необходимо учитывать коэффициенты запаса, которые вводятся для компенсации различных неопределенностей:

• Разброс механических свойств материала
• Неточности изготовления и монтажа
• Начальные несовершенства формы
• Неравномерность распределения нагрузки
• Динамические эффекты
• Остаточные напряжения
• Деградация свойств материала со временем

Типичные значения коэффициентов запаса при использовании формулы Ранкина:

В современной инженерной практике вместо единого коэффициента запаса часто используется система частных коэффициентов надежности, учитывающих различные аспекты неопределенности по отдельности, что позволяет более точно оценивать надежность конструкции.

Отраслевое применение

Несмотря на появление более современных методик, формула Ранкина продолжает использоваться в различных отраслях промышленности и строительства:

Строительство

В строительстве формула Ранкина применяется для предварительного расчета и проверки колонн, стоек, элементов ферм и других сжатых элементов конструкций, особенно в случаях, когда требуется быстрая оценка без применения сложных компьютерных моделей.

Машиностроение

В машиностроении формула используется при проектировании различных элементов, работающих на сжатие, таких как направляющие стойки, штоки гидроцилиндров, валы и оси, особенно в случаях, когда эти элементы имеют среднюю гибкость.

Авиа- и судостроение

В авиа- и судостроении формула Ранкина может применяться для предварительной оценки устойчивости силовых элементов конструкции, таких как стрингеры, шпангоуты, лонжероны и другие сжатые элементы.

Нефтегазовая промышленность

В нефтегазовой промышленности формула используется при проектировании буровых вышек, стоек платформ, трубопроводных опор и других элементов, подверженных сжимающим нагрузкам в условиях ограниченных возможностей для точного компьютерного моделирования (например, в полевых условиях).

Пример для стальной колонны

Пример для деревянной колонны

Сравнительный пример

Сравнение с формулой Эйлера

Формула Эйлера и формула Ранкина представляют собой два различных подхода к определению критической нагрузки для колонн, каждый со своими преимуществами и ограничениями.

Основное преимущество формулы Ранкина перед формулой Эйлера заключается в её универсальности: она дает разумные результаты во всем диапазоне гибкостей, в то время как формула Эйлера применима только для достаточно гибких колонн.

С другой стороны, формула Эйлера имеет строгое теоретическое обоснование и не требует определения эмпирических констант, что делает её более надежной для длинных колонн, где потеря устойчивости происходит в упругой области.

Сравнение с формулой Джонсона

Формула Джонсона (Johnson) представляет собой альтернативный эмпирический подход к определению критической нагрузки для колонн средней гибкости. Она была предложена американским инженером Джоном Б. Джонсоном в начале XX века и широко используется в северо-американской инженерной практике.

Сравнение формул Ранкина и Джонсона:

Основное различие между формулами Ранкина и Джонсона заключается в их математической форме: формула Ранкина имеет гиперболический характер, в то время как формула Джонсона — линейный. Это приводит к разному поведению в области средних гибкостей:

• Формула Ранкина дает более плавный переход от короткихк длинным колоннам.
• Формула Джонсона часто дает более точные результаты для колонн средней гибкости, но требует перехода к формуле Эйлера при высоких гибкостях.

В современной северо-американской практике часто используется комбинированный подход, когда формула Джонсона применяется для колонн с гибкостью меньше определенного переходного значения, а формула Эйлера — для колонн с большей гибкостью. Такой подход нашел отражение в различных строительных нормах и стандартах.

Современные методики

Современные методики расчета устойчивости колонн значительно эволюционировали по сравнению с классическими формулами Эйлера и Ранкина. Они учитывают более широкий спектр факторов, влияющих на устойчивость реальных конструкций, и часто основаны на сочетании теоретических моделей и обширных экспериментальных данных.

Европейские нормы (Еврокод 3)

В европейских нормах проектирования (Еврокод 3 для стальных конструкций) используется концепция кривых потери устойчивости, учитывающих различные факторы, включая:

• Начальные геометрические несовершенства
• Остаточные напряжения
• Форму поперечного сечения
• Направление изгиба
• Метод изготовления

Критическое напряжение определяется по формуле:

где:
χ — коэффициент снижения из-за потери устойчивости;
f_y — предел текучести материала;
γ_M1 — частный коэффициент надежности для потери устойчивости.

Коэффициент χ определяется на основе приведенной гибкости λ̄ и выбранной кривой потери устойчивости.

Северо-американские нормы (AISC)

В нормах Американского института стальных конструкций (AISC) используется подход, основанный на работах Колумна Ресерч Каунсил (Column Research Council), где критическое напряжение определяется по двум формулам в зависимости от гибкости:

• Для λ ≤ 4.71√(E/F_y): σ_cr = (0.658^λ̄²)·F_y
• Для λ > 4.71√(E/F_y): σ_cr = (0.877/λ̄²)·F_y

где λ̄ = λ/π·√(F_y/E) — приведенная гибкость.

Метод конечных элементов (МКЭ)

Для сложных конструкций или особо ответственных сооружений широко применяется метод конечных элементов, позволяющий учесть:

• Сложную геометрию и условия закрепления
• Нелинейное поведение материала
• Геометрическую нелинейность
• Начальные несовершенства
• Совместную работу различных элементов конструкции
• Динамические эффекты