Онлайн калькулятор для расчета планетарных редукторов: одноступенчатые и двухступенчатые

Что считает калькулятор

Онлайн-калькулятор планетарной передачи inner.su выполняет полный цикл инженерного расчёта планетарного редуктора: проектировочный (синтез), проверочный (по ГОСТ 21354-87), кинематический и тепловой. Реализованы шесть расчётных модулей и интерактивный справочник схем.

Все формулы реализованы с прямой ссылкой на источник, который указан в шаге расчёта. Результат можно скопировать в буфер, выгрузить в Word или Excel — для оформления раздела ПЗ курсового проекта или отчёта по проекту привода.

Когда применять планетарную передачу

Планетарная передача — кинематическая схема с подвижными осями сателлитов, в которой одно или несколько центральных колёс могут вращаться. Главные преимущества по сравнению с обычной цилиндрической:

• Меньшие габариты и масса в 2–4 раза при равной передаваемой мощности — за счёт распределения нагрузки между 3–6 сателлитами параллельно.
• Большее передаточное в одной ступени: 2K-H даёт u = 3…12, Wolfrom — до 300, 3K — до 1000. Цилиндрическая в одной ступени практически ограничена u ≤ 7.
• Соосность входного и выходного валов — критично для мотор-редукторов и встроенных приводов (роботы, лебёдки, колёсные мотор-редукторы строительной техники).
• Возможность дифференциального режима — два входа, один выход (или наоборот).

Кинематика и формула Виллиса

Базовая схема 2K-H состоит из четырёх звеньев: солнечная шестерня z₁ (центральная, вход), сателлиты z₂ (3–6 штук на водиле), эпицикл z₃ (внутреннее зубчатое колесо, обычно неподвижное), водило H (вращается на оси солнца, переносит сателлиты).

Уравнение кинематики получается методом обращённого движения: мысленно остановим водило H, прибавив ко всем звеньям −ω_H. Тогда планетарная передача превращается в обычную, и для неё справедливо передаточное отношение Виллиса:

Знак «минус» — солнце и эпицикл вращаются в разные стороны (сателлит как паразит знак не меняет). Отсюда выводятся передаточные для четырёх практически используемых режимов:

В калькуляторе схема выбирается в подвкладке «Расчёт 2K-H»: солнце→водило, корона→водило или водило→солнце (мультипликатор). Калькулятор автоматически проверяет, попадает ли требуемое передаточное в диапазон для выбранной схемы, и предупреждает при выходе из диапазона.

Условия проектирования: соосность, сборка, соседство

Три обязательных условия, без которых планетарная передача 2K-H не работоспособна — должны проверяться при любом расчёте, даже если числа зубьев подобраны «правильно».

Условие соосности

Межосевое расстояние в зацеплении солнце-сателлит должно быть равно межосевому расстоянию в зацеплении сателлит-эпицикл (общая для всех сателлитов окружность водила должна существовать). Для эвольвентного нулевого зацепления с одинаковым модулем:

Если модули в зацеплениях разные (m₁ — для солнце-сателлит, m₂ — для сателлит-эпицикл): m₁·(z₁ + z₂) = m₂·(z₃ − z₂).

Условие сборки

n сателлитов должны быть установлены равномерно по окружности (через угол 360°/n), при этом зубья должны попадать в одно и то же положение для каждого сателлита. Условие:

Если условие нарушено — третий или четвёртый сателлит не встанет на место, передача не соберётся. Возможно неравномерное расположение (через произвольные углы), но это нарушает балансировку и используется только в особых случаях.

Условие соседства

Соседние сателлиты не должны касаться окружностями вершин — иначе зубья будут сцепляться между собой. Геометрически: расстояние между центрами соседних сателлитов 2·aw·sin(π/n) должно быть больше суммы радиусов вершин:

Это условие особенно жёсткое при большом числе сателлитов (n = 5, 6) — соседние сателлиты приходится подбирать мельче, а сам сателлит — крупнее. Калькулятор отмечает невыполненное условие красным и не выпускает результат на выход.

Распределение нагрузки между сателлитами — коэффициент K_w

В идеальной геометрии момент с солнца на водило передавался бы поровну между всеми сателлитами: каждый сателлит нёс бы T/n. На практике из-за неизбежных погрешностей изготовления и сборки нагрузка распределяется неравномерно — самый «попавший» сателлит несёт больше расчётной доли. Эта неравномерность учитывается коэффициентом K_w:

Значения K_w по справочнику Кудрявцева-Кирдяшева 1977 г. (табл. 13.3) — это табличный коэффициент, зависящий от числа сателлитов и от того, есть ли плавающее центральное звено (обычно плавает солнечная шестерня):

Числа зубьев и геометрия

Минимальные числа зубьев

Чтобы избежать подреза ножки зуба при нарезании инструментом реечного типа, число зубьев колеса не должно быть меньше критического z_min. Для прямозубых колёс с α = 20° теоретическая граница z_min = 17. На практике значение увеличивают в зависимости от твёрдости (по Решетову Д.Н.):

• z₁ ≥ 24 — для солнца с твёрдостью HB ≤ 350 (улучшение, нормализация). Чем мягче колесо, тем больше зубьев нужно, чтобы не было подреза.
• z₁ ≥ 21 — для солнца с твёрдостью HRC ≤ 52 (ТВЧ).
• z₁ ≥ 17 — для солнца с твёрдостью HRC > 52 (цементация, азотирование).
• Для косозубых (β = 8…15°) — на 3 единицы меньше во всех случаях (но не менее 12).

Подбор чисел зубьев под заданное передаточное

Калькулятор перебирает все возможные комбинации z₁, z₂, z₃, начиная с минимально допустимого z₁, и отбирает решения, для которых одновременно выполнены три условия (соосность, сборка, соседство) и которые дают передаточное в пределах ±5 % от требуемого. Из всех подходящих решений выбирается то, у которого:

1. Минимальная относительная ошибка по передаточному.
2. Минимальная сумма z₁ + z₂ + z₃ (более компактная передача).
3. Чётность z₁ и z₃ для удобства технологии (опционально).

Делительные диаметры и межосевое расстояние

Стандартные модули (1-й предпочтительный ряд) по ГОСТ 9563-60: 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25 (и далее до 100 мм для крупных редукторов мощностью > 100 кВт). Калькулятор автоматически округляет выбранный модуль до ближайшего стандартного.

КПД одноступенчатой 2K-H

КПД планетарной передачи нельзя посчитать как «просто КПД зацепления» — энергия в сателлите движется по двум потокам (внешнее зацепление солнце-сателлит и внутреннее сателлит-эпицикл), а водило не просто переносит сателлиты, но ещё и обеспечивает синхронизацию. Корректная методика — метод обращённого движения (Müller, Молиан, Кудрявцев):

Численные примеры из верифицированных источников (расхождение с калькулятором ≤ 0,3 %):

Зависимость от передаточного: при малых u (3…5) КПД достигает 0,98; при больших u (10…12) падает до 0,972…0,975. Это объясняется тем, что при большом i₀ в обращённом механизме больше относительная скорость скольжения, выше потери на трение. Для двухступенчатого каскада общий КПД получается перемножением: η_общ = η₁ · η₂ ≈ 0,97² ≈ 0,94.

Схема Wolfrom (NGW) — высокое передаточное в одной ступени

Схема Wolfrom — компактная планетарная передача с одним солнцем z_a, ступенчатым сателлитом-двойником (z_pa + z_pb на общей оси), двумя эпициклами (z_b1 — неподвижный, z_b2 — выходной) и водилом. Даёт передаточное 30…300 в одной ступени при габаритах одиночной 2K-H. Применяется в роботах, медицинской технике, прецизионных следящих приводах.

Условие устойчивости

Кинематическая особенность Wolfrom: при близких значениях z_b1 и z_b2 знаменатель формулы передаточного стремится к нулю, передаточное — к бесконечности, что физически означает приближение к самоторможению. Höhn (2020) и патент DE 198 45 182 A1 формулируют условие устойчивости:

Например, при k = 3 необходимо |z_b1 − z_b2| ≥ 6. Если разность меньше — передача не работоспособна или работает на границе самоторможения с резкой деградацией КПД. Калькулятор автоматически проверяет это условие и блокирует невалидные конфигурации.

КПД Wolfrom — нелинейный спад с ростом u

Полная аналитическая формула КПД Wolfrom (Höhn 2020) очень чувствительна к параметрам и для типового калькулятора непрактична. Используем эмпирическую модель, согласованную с экспериментальными данными:

Схема 3K (передача Давида) — экстремальные передаточные

Схема 3K (три центральных колеса) или передача Давида — наиболее экстремальная по передаточному кинематика среди планетарных. Состоит из солнца z_a (вход), сателлита-двойника z_g1 + z_g2 на одной оси, двух эпициклов z_b1 (выходной) и z_b2 (неподвижный), водила H (работает как вал-связка). Передаточное 20…1000 в одной ступени, КПД 0,52…0,90 (зависит от u).

Главное отличие от Wolfrom: в обеих схемах используется ступенчатый сателлит, но в Wolfrom оба эпицикла близки по числу зубьев (z_b2 − z_b1 = 2…12), что даёт умеренное передаточное (30…300); в 3K z_b1 и z_b2 могут различаться сильнее, что даёт экстремальное передаточное (50…1000). КПД зависит от того, насколько (z_b2·z_g1) и (z_b1·z_g2) близки друг к другу — чем ближе, тем больше u и тем меньше КПД из-за роста «циркулирующей мощности» между коронами.

Применение: приводы прокатных станов, шаровых мельниц, мощных лебёдок, тяжёлых экскаваторов, ленточных конвейеров большой длины — везде, где нужны очень большие передаточные при значительной мощности и приемлемые габариты.

Каскад 2K-H × 2K-H — двухступенчатые планетарные

Когда требуемое передаточное лежит в диапазоне 12…144 и Wolfrom избыточен по сложности изготовления, применяется каскад двух последовательных 2K-H ступеней. Каждая ступень рассчитывается отдельно, общее передаточное — произведение: i_общ = i₁ · i₂. КПД каскада — произведение КПД ступеней: η_общ = η₁ · η₂ ≈ 0,97² ≈ 0,94.

Распределение общего передаточного по ступеням

По Дунаеву П.Ф. и Леликову О.П. («Конструирование узлов и деталей машин», 2017, гл. 2.3), для соосных и планетарных каскадов рекомендуется:

В калькуляторе доступны три стратегии распределения:

• Равная i₁ = i₂ = √i_общ — минимальные общие габариты, оптимально для большинства случаев.
• i₁ > i₂ (большее на быстроходной) — снижает момент на тихоходной ступени, выигрыш по массе.
• i₁ < i₂ (большее на тихоходной) — разгружает быстроходную ступень по числу зубьев.

Калькулятор автоматически проверяет, чтобы каждая ступень укладывалась в типичный диапазон 2K-H (i = 3…12). При выходе одной из ступеней из диапазона выдаётся предупреждение с предложением переключиться на Wolfrom или 3K.

Проверочный расчёт по ГОСТ 21354-87

После того как геометрия и числа зубьев определены, передача проверяется на контактную и изгибную выносливость по ГОСТ 21354-87 «Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчёт на прочность». Стандарт распространяется на эвольвентные передачи с модулем m ≥ 1 мм и окружной скоростью v ≤ 25 м/с.

Контактные напряжения σ_H

Геометрические коэффициенты:

• Z_E = 189,8 МПа^0,5 — упругий коэффициент для пары сталь-сталь.
• Z_H = 2,5 для прямозубых (β = 0°), уменьшается до 2,3…2,45 для косозубых.
• Z_ε = √((4 − ε_α)/3) для прямозубых — обычно 0,85…0,95.

Коэффициенты нагрузки:

• K_A — внешняя динамика: 1,0 (равномерная нагрузка); 1,25 (лёгкие удары); 1,5 (средние удары); 1,75…2,0 (тяжёлые удары и реверс).
• K_Hβ — неравномерность по ширине венца: 1,03…1,15 при симметричном плавающем звене; 1,15…1,35 при консольном.
• K_Hv — внутренняя динамика: 1,02…1,15 при v ≤ 5 м/с и 7-й степени точности; 1,15…1,35 при v = 5…15 м/с.
• K_Hα — распределение между парами зубьев: 1,0 для прямозубых; 1,05…1,15 для косозубых.

Для планетарной передачи дополнительно учитывается распределение момента между сателлитами: эквивалентный момент на одном сателлите T_сат = T₁ · K_w / n, где K_w взят из таблицы Кудрявцева (см. §5).

Изгибные напряжения σ_F

Y_FS = Y_F · Y_S (объединённый коэффициент формы зуба и концентрации напряжений у ножки) — табличный по Дунаеву-Леликову: 4,28 при z=17, 3,90 при z=25, 3,70 при z=40, 3,60 при z=100.

Материалы зубчатых колёс

Выбор материалов для солнца, сателлитов и эпицикла определяет допускаемые напряжения и, в конечном счёте, габариты передачи. Типичные комбинации для планетарных:

Тепловой расчёт корпуса

Часть передаваемой мощности теряется на трение (потери = P · (1 − η)) и переходит в тепло. Это тепло отводится через корпус в окружающую среду. Установившаяся температура масла рассчитывается по уравнению теплового баланса:

Коэффициент теплоотдачи Kt

• Kt = 8…12 Вт/(м²·К) — естественная конвекция, плохо вентилируемое помещение, корпус без оребрения.
• Kt = 12…17 Вт/(м²·К) — естественная конвекция, нормальная вентиляция, корпус с лёгким оребрением.
• Kt = 17…25 Вт/(м²·К) — слабый обдув вентилятором на быстроходном валу (1500…3000 об/мин).
• Kt = 25…40 Вт/(м²·К) — принудительный обдув отдельным вентилятором.
• Kt = 50…200 Вт/(м²·К) — водяное охлаждение через рубашку или змеевик.

Допустимая температура масла

• 80…85 °C — минеральные индустриальные масла И-Г-А-46, И-Г-А-68; стандартный предел.
• 90…100 °C — полусинтетические масла; допускается кратковременно.
• 110…120 °C — синтетические PAO и PG масла; высокие требования к уплотнениям.

В калькуляторе тепловой расчёт работает в двух режимах: прямая задача (задана площадь корпуса — получаем температуру) и обратная задача (задана максимальная температура — получаем необходимую площадь корпуса).

Типовые ошибки при расчёте планетарных передач

Часто задаваемые вопросы

Подшипники, шестерни и узлы планетарных передач в каталоге INNER

Компания INNER поставляет компоненты для планетарных редукторов и приводов общепромышленного и тяжёлого назначения:

Источники

1. Кудрявцев В.Н. Планетарные передачи. — М.-Л.: Машиностроение, 1966.
2. Кудрявцев В.Н., Кирдяшев Ю.Н. Планетарные передачи. Справочник. — Л.: Машиностроение, 1977. — 536 с.
3. Иванов М.Н., Финогенов В.А. Детали машин. — 12-е изд. — М.: Высшая школа, 2008. — Гл. 18.
4. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Конструирование узлов и деталей машин. — 12-е изд. — М.: Академия, 2017.
5. Решетов Д.Н. Детали машин. — 4-е изд. — М.: Машиностроение, 1989.
6. Чернавский С.А. и др. Курсовое проектирование деталей машин. — М.: Машиностроение, 1988.
7. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. В 3 т. — 8-е изд. — М.: Машиностроение, 2001.
8. ГОСТ 21354-87 Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчёт на прочность.
9. ГОСТ 9563-60 Колёса зубчатые. Модули.
10. ГОСТ 1643-81 Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски.
11. ГОСТ 25022-81 Редукторы планетарные. Основные параметры.
12. Müller H.W. Die Umlaufgetriebe. — Springer, 1971. — Ур. 5.11, с. 237.
13. Höhn B.-R. et al. A Wolfrom transmission without carrier. — MATEC Web of Conferences 317, 01001 (2020).
14. ISO 6336-1/2/3:2019 Calculation of load capacity of spur and helical gears.