Калькуляторы
Калькулятор момента инерции геометрических тел
Формулы расчета:
- Сплошной шар: I = (2/5)mr²
- Полый шар: I = (2/3)mr²
- Сплошной цилиндр: I = (1/2)mr²
- Полый цилиндр: I = mr²
- Стержень (центр): I = (1/12)ml² (l = 2r)
- Стержень (конец): I = (1/3)ml² (l = 2r)
- Диск: I = (1/2)mr²
- Кольцо: I = mr²
- Пластина: I = (1/12)m(a² + b²)
- Конус: I = (3/10)mr²
Примеры из жизни:
Теоретическая справка:
Момент инерции — мера сопротивления тела изменению его вращательного движения вокруг оси. Чем больше масса и чем дальше она от оси вращения, тем больше момент инерции.
Момент инерции играет во вращательном движении ту же роль, что масса в поступательном движении. Единица измерения в СИ: кг·м².
Для перехода от момента инерции относительно центра масс Ic к моменту инерции относительно параллельной оси I, используется теорема Штейнера:
I = Ic + md²
где m — масса тела, d — расстояние между осями.
Что такое момент инерции?
Момент инерции — это физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении. Проще говоря, момент инерции определяет, насколько трудно изменить скорость вращения тела.
Подобно тому, как масса характеризует инертность тела при поступательном движении, момент инерции характеризует инертность тела при вращении вокруг определённой оси. Чем больше момент инерции, тем труднее раскрутить или остановить вращающееся тело.
Момент инерции зависит от:
- Массы тела
- Распределения массы относительно оси вращения
- Формы тела
Единица измерения момента инерции в Международной системе единиц (СИ): кг·м².
Как пользоваться калькулятором
Калькулятор момента инерции позволяет рассчитать момент инерции различных геометрических тел на основе их массы и характерных размеров. Для получения результата необходимо:
- Выбрать тип тела из выпадающего списка
- Ввести массу тела и выбрать единицу измерения (кг, г, т)
- Ввести радиус или характерный размер тела и выбрать единицу измерения (м, см, мм)
- Нажать кнопку «Рассчитать» (или результат обновится автоматически)
Калькулятор выдаст результат в единицах СИ (кг·м²) и отобразит формулу с подставленными значениями, а также визуализацию выбранного тела.
Формулы для расчёта
Для различных геометрических тел применяются разные формулы расчёта момента инерции:
Сплошной шар (вокруг оси, проходящей через центр):
I = (2/5) × m × r²
Полый шар (сферическая оболочка):
I = (2/3) × m × r²
Сплошной цилиндр (вокруг оси симметрии):
I = (1/2) × m × r²
Полый цилиндр (цилиндрическая оболочка):
I = m × r²
Стержень (вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно длине):
I = (1/12) × m × l², где l = 2r — длина стержня
Стержень (вокруг оси, проходящей через конец перпендикулярно длине):
I = (1/3) × m × l², где l = 2r — длина стержня
Диск (вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска):
I = (1/2) × m × r²
Кольцо (вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца):
I = m × r²
Прямоугольная пластина (вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости):
I = (1/12) × m × (a² + b²), где a и b — стороны пластины
Конус (вокруг оси симметрии):
I = (3/10) × m × r²
Где:
m — масса тела (кг)
r — радиус или характерный размер (м)
Примеры расчёта
Рассмотрим маховик в виде сплошного цилиндра массой 20 кг и радиусом 0.3 м.
Для сплошного цилиндра вокруг оси симметрии: I = (1/2) × m × r²
I = 0.5 × 20 кг × (0.3 м)² = 0.5 × 20 × 0.09 = 0.9 кг·м²
Момент инерции маховика составляет 0.9 кг·м².
Физический маятник в виде стержня длиной 1 м и массой 0.5 кг, вращающийся вокруг оси, проходящей через один из его концов.
Для стержня вокруг конца: I = (1/3) × m × l²
I = (1/3) × 0.5 кг × (1 м)² = (1/3) × 0.5 × 1 = 0.167 кг·м²
Момент инерции маятника составляет 0.167 кг·м².
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (Ic), то момент инерции относительно параллельной оси можно найти с помощью теоремы Штейнера:
I = Ic + m × d²
где d — расстояние между осями.
Например, для диска массой 2 кг и радиусом 0.2 м, момент инерции относительно оси, проходящей через центр: Ic = (1/2) × 2 × 0.2² = 0.04 кг·м²
Если ось вращения параллельна и находится на расстоянии 0.5 м, то:
I = 0.04 + 2 × 0.5² = 0.04 + 2 × 0.25 = 0.04 + 0.5 = 0.54 кг·м²
Практическое применение
Понимание и расчёт момента инерции важны во многих областях науки и техники:
- Механика: проектирование маховиков, расчёт динамики вращающихся систем
- Робототехника: проектирование шарниров и сочленений
- Аэрокосмическая отрасль: управление ориентацией спутников и космических аппаратов
- Автомобилестроение: расчёт компонентов двигателей и трансмиссий
- Спорт: оптимизация спортивного инвентаря (например, гимнастических снарядов)
Отказ от ответственности
Данный калькулятор предназначен для образовательных и ознакомительных целей. Результаты расчётов являются приблизительными и основаны на идеализированных моделях геометрических тел.
Автор и разработчики не несут ответственности за любые прямые или косвенные убытки, возникшие в результате использования данного калькулятора. Для точных инженерных расчётов, особенно в критически важных системах, следует обращаться к профессиональным инженерам и использовать специализированное программное обеспечение.
Формулы, используемые в калькуляторе, применимы только для однородных тел правильной геометрической формы. Для тел сложной формы или неоднородного распределения массы необходимы более сложные методы расчёта.
Источники
- Иродов И.Е. Задачи по общей физике. — 2017.
- Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика. — 2006.
- Савельев И.В. Курс общей физики. Том I. Механика. — 2008.
- Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics). — Butterworth-Heinemann, 1976.
- Halliday D., Resnick R., Walker J. Fundamentals of Physics. — Wiley, 2013.
