Калькуляторы
Калькулятор объема призмы | Найти объем треугольной и прямоугольной призмы
V = S × h, где S - площадь основания, h - высота призмы
Треугольная призма:
• Правильная: S = (a²√3)/4, где a - сторона
• Прямоугольная: S = (a×b)/2, где a,b - катеты
Прямоугольная призма:
V = a × b × h, где a,b - стороны основания
Шестиугольная призма:
S = (3√3×a²)/2, где a - сторона
Решение: S = (6²√3)/4 = 9√3 ≈ 15.59 см²
V = 15.59 × 10 = 155.9 см³
Пример 2: Найти высоту прямоугольной призмы, если ее объем 240 см³, а основание - прямоугольник 6×5 см.
Решение: S = 6 × 5 = 30 см²
h = V/S = 240/30 = 8 см
Как найти объем призмы: подробное руководство
Объем призмы — это величина, показывающая, сколько пространства занимает данная геометрическая фигура. Наш калькулятор поможет вам быстро вычислить объем треугольной призмы, объем прямоугольной призмы, объем шестиугольной призмы и решить обратные задачи.
Объем призмы: формула и основные понятия
Для расчета объема любой призмы используется универсальная формула:
где:
• V — объем призмы
• S — площадь основания призмы
• h — высота призмы (перпендикулярное расстояние между основаниями)
Эта формула применима для любого типа призмы: объем прямой призмы, объем правильной призмы, и даже наклонной призмы рассчитывается одинаково.
Объем правильной треугольной призмы
Правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник. Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, сначала вычисляем площадь основания:
где a — сторона правильного треугольника.
Дана правильная треугольная призма со стороной основания 6 см и высотой 10 см. Найдите объем.
Решение:
1. Находим площадь основания: S = (6²√3)/4 = (36 × 1.732)/4 ≈ 15.59 см²
2. Вычисляем объем: V = 15.59 × 10 = 155.9 см³
Объем прямоугольной призмы
Объем прямой прямоугольной призмы — это частный случай, где основанием служит прямоугольник. Формула упрощается:
где a и b — стороны прямоугольного основания, h — высота призмы.
Объем четырехугольной призмы
Объем правильной четырехугольной призмы (с квадратным основанием) вычисляется по формуле:
где a — сторона квадрата в основании.
Объем правильной шестиугольной призмы
Для расчета объема шестиугольной призмы с правильным шестиугольником в основании используется формула:
где a — сторона шестиугольника. После нахождения площади основания применяем общую формулу объема.
Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, высота — 12 см. Найдите объем.
Решение:
1. Площадь основания: S = (3√3 × 4²)/2 = (3 × 1.732 × 16)/2 ≈ 41.57 см²
2. Объем призмы: V = 41.57 × 12 = 498.84 см³
Типовые задачи на объем призмы
| Тип призмы | Исходные данные | Формула расчета | Результат |
|---|---|---|---|
| Треугольная (прямоугольный треугольник) | Катеты: 3 см, 4 см Высота: 10 см |
V = (a×b/2) × h | 60 см³ |
| Прямоугольная | Стороны: 5 см, 8 см Высота: 6 см |
V = a × b × h | 240 см³ |
| Правильная треугольная | Сторона: 6 см Высота: 15 см |
V = (a²√3/4) × h | 233.83 см³ |
| Правильная шестиугольная | Сторона: 3 см Высота: 10 см |
V = (3√3a²/2) × h | 233.83 см³ |
Объем призмы через среднюю линию
В некоторых задачах требуется найти объем треугольной призмы через среднюю линию. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому площадь отсеченного треугольника составляет 1/4 от площади исходного.
Объем многогранника призмы
При решении задач на объем многогранника правильной призмы часто требуется найти объем части призмы, отсеченной плоскостью. Такие задачи решаются через нахождение объемов составных частей.
Площадь и объем призмы
Помимо объема, часто требуется найти площадь поверхности и объем призмы. Полная площадь поверхности призмы состоит из площадей двух оснований и боковой поверхности:
Практическое применение
Расчет объема призмы необходим в различных областях:
- Строительство: расчет объема бетона для фундаментов, колонн
- Производство: определение объема упаковки, контейнеров
- Архитектура: проектирование зданий с призматическими элементами
- Образование: решение задач по геометрии в школе и вузе
Особенности расчета объема наклонной призмы
Объем наклонной призмы вычисляется по той же формуле V = S × h, но важно правильно определить высоту — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований, а не длина бокового ребра.
Связь объема призмы и цилиндра
Объем призмы и цилиндра рассчитывается по одному принципу — произведение площади основания на высоту. Цилиндр можно рассматривать как призму с бесконечным числом граней.
Данный калькулятор объема призмы предназначен исключительно для образовательных и информационных целей. Все расчеты являются приблизительными и могут содержать погрешности округления. Автор не несет ответственности за любые последствия использования результатов расчетов, включая, но не ограничиваясь, финансовыми потерями, ошибками в проектировании или любым другим ущербом. Для критически важных расчетов рекомендуется проводить дополнительную проверку и консультироваться со специалистами.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 2020.
- Погорелов А.В. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2019.
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2018.
- Прасолов В.В. Задачи по стереометрии. — М.: МЦНМО, 2016.
- Шарыгин И.Ф. Геометрия. Стереометрия. 10-11 классы. — М.: Дрофа, 2015.
