Калькуляторы
Калькулятор расчета балки на прочность и прогиб
Калькулятор расчета балок на прогиб и прочность
Онлайн расчет балок различных сечений по СП 16.13330.2017 и ГОСТ 27772-2021
Расчет балки на прочность и прогиб: методика и формулы
Расчет балки выполняется по двум группам предельных состояний согласно СП 16.13330.2017. Первая группа — проверка несущей способности (прочность), вторая — проверка пригодности к эксплуатации (жесткость, то есть прогиб). Балка считается работоспособной только при одновременном выполнении обоих условий.
Условие прочности при изгибе
При поперечном изгибе в сечении балки возникают нормальные напряжения от изгибающего момента. Максимальные напряжения действуют в крайних волокнах сечения — на верхней и нижней гранях. Условие прочности записывается через момент сопротивления сечения:
Условие жесткости (предельный прогиб)
Прогиб балки ограничивается из эстетических и функциональных соображений. Предельные значения прогибов установлены в СП 20.13330.2016 (Приложение Е, таблица Е.1) и зависят от назначения конструкции:
| Тип конструкции | Предельный прогиб | Примечание |
|---|---|---|
| Балки перекрытий жилых зданий | L / 250 | Основной норматив |
| Балки покрытий производственных зданий | L / 200 | Менее жесткие требования |
| Балки с подвесным оборудованием | L / 400 | Повышенные требования |
| Консольные элементы | 2L / 250 | L — вылет консоли |
Расчет сечения балки: геометрические характеристики
Геометрические характеристики сечения определяют способность балки сопротивляться изгибу. Ключевые параметры — момент инерции I (определяет жесткость) и момент сопротивления W (определяет прочность). Ниже приведены формулы для основных типов сечений.
Прямоугольное сечение
Для прямоугольного сечения высота h оказывает значительно большее влияние на несущую способность, чем ширина b. Увеличение высоты вдвое повышает момент инерции в 8 раз, а момент сопротивления — в 4 раза.
Двутавровое сечение (I-профиль)
Двутавр — наиболее эффективный профиль для изгибаемых элементов. Материал сконцентрирован в полках, удаленных от нейтральной оси, что обеспечивает максимальный момент инерции при минимальном расходе металла.
Круглая труба
Сравнение эффективности сечений
При одинаковой площади поперечного сечения (расходе материала) различные формы профиля обеспечивают разную несущую способность:
| Тип сечения | Площадь A, см² | Момент инерции I, см⁴ | Эффективность |
|---|---|---|---|
| Квадрат 100×100 мм | 100 | 833 | Базовая (1.0) |
| Прямоугольник 50×200 мм | 100 | 3333 | В 4 раза выше |
| Двутавр 200×100×8×5 мм | ≈30 | ≈1800 | При меньшем расходе |
| Труба D=120, t=8 мм | ≈28 | ≈480 | Хороша для кручения |
Расчет нагрузки на балку перекрытия
Сбор нагрузок — ответственный этап проектирования. Нагрузки делятся на постоянные (собственный вес конструкций, стяжка, покрытие пола) и временные (люди, мебель, оборудование). Все нагрузки умножаются на коэффициенты надежности по СП 20.13330.2016.
Постоянные нагрузки
| Элемент конструкции | Нормативная нагрузка | γf | Расчетная нагрузка |
|---|---|---|---|
| Железобетонная плита 220 мм | 5.5 кН/м² | 1.1 | 6.05 кН/м² |
| Цементно-песчаная стяжка 50 мм | 1.0 кН/м² | 1.3 | 1.3 кН/м² |
| Керамическая плитка с клеем | 0.3 кН/м² | 1.2 | 0.36 кН/м² |
| Деревянный пол по лагам | 0.4 кН/м² | 1.1 | 0.44 кН/м² |
| Гипсокартонный потолок | 0.15 кН/м² | 1.2 | 0.18 кН/м² |
Временные (полезные) нагрузки
| Назначение помещения | Нормативная | γf | Расчетная |
|---|---|---|---|
| Жилые помещения квартир | 1.5 кН/м² | 1.3 | 1.95 кН/м² |
| Офисные помещения | 2.0 кН/м² | 1.2 | 2.4 кН/м² |
| Залы с фиксированными сиденьями | 4.0 кН/м² | 1.2 | 4.8 кН/м² |
| Торговые залы магазинов | 4.0 кН/м² | 1.2 | 4.8 кН/м² |
| Чердачные перекрытия | 0.7 кН/м² | 1.3 | 0.91 кН/м² |
Перевод площадной нагрузки в линейную
Калькулятор работает с линейной нагрузкой q (кН/м). Чтобы перевести площадную нагрузку в линейную, нужно умножить её на грузовую ширину — расстояние между балками:
Шаг балок B = 1.0 м. Состав перекрытия: деревянный настил, утеплитель, подшивка потолка.
Постоянные нагрузки:
Доска пола 40 мм: 0.25 кН/м²
Утеплитель 150 мм: 0.08 кН/м²
Подшивка ГКЛ: 0.15 кН/м²
Итого: 0.48 × 1.2 = 0.58 кН/м²
Временные нагрузки:
Полезная (жилье): 1.5 кН/м²
С коэффициентом: 1.5 × 1.3 = 1.95 кН/м²
Всего: 0.58 + 1.95 = 2.53 кН/м²
Линейная нагрузка: q = 2.53 × 1.0 = 2.53 кН/м (округляем до 2.5–3.0 кН/м)
Расчет деревянной балки перекрытия
Деревянные балки перекрытий проектируются по СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции». Для несущих конструкций применяется древесина хвойных пород (сосна, ель) не ниже 2-го сорта. Расчетные характеристики зависят от сорта древесины и условий эксплуатации.
Расчетные характеристики древесины
| Параметр | 1 сорт | 2 сорт | 3 сорт |
|---|---|---|---|
| Расчетное сопротивление изгибу Rи, МПа | 14 | 13 | 8.5 |
| Модуль упругости E, МПа | 10 000 | ||
| Плотность (сосна, ель), кг/м³ | 500 | ||
Подбор сечения деревянной балки
Стандартные сечения пиломатериалов по ГОСТ 24454-80: 50×150, 50×200, 100×150, 100×200, 150×200, 200×200 мм. Для перекрытий жилых зданий с пролетом до 4–5 м обычно достаточно сечения 50×200 или 100×200 мм при шаге 600–1000 мм.
Исходные данные:
Пролет: L = 4.0 м
Сечение: 100×200 мм
Шаг балок: 0.6 м
Нагрузка: q = 3.0 × 0.6 = 1.8 кН/м
Материал: сосна 2 сорта
Геометрия сечения:
I = 10 × 20³ / 12 = 6667 см⁴
W = 10 × 20² / 6 = 667 см³
A = 10 × 20 = 200 см²
Расчет усилий и напряжений:
Mmax = q × L² / 8 = 1.8 × 4² / 8 = 3.6 кН·м
σ = M / W = 3.6 × 10⁶ / (667 × 10³) = 5.4 МПа
Проверка: 5.4 МПа < 13 МПа — условие выполняется
Расчет прогиба:
f = 5 × q × L⁴ / (384 × E × I) = 5 × 1.8 × 4⁴ × 10⁹ / (384 × 10000 × 6667 × 10⁴) = 9.0 мм
Предельный прогиб: fпред = 4000 / 250 = 16 мм
Проверка: 9.0 мм < 16 мм — условие выполняется
Таблица допустимых пролетов деревянных балок
Ориентировочные максимальные пролеты для деревянных балок перекрытий при полезной нагрузке 1.5 кН/м² и шаге 600 мм:
| Сечение, мм | I, см⁴ | W, см³ | Макс. пролет (по жесткости) |
|---|---|---|---|
| 50×150 | 1406 | 188 | 2.5 м |
| 50×200 | 3333 | 333 | 3.2 м |
| 100×150 | 2813 | 375 | 3.0 м |
| 100×200 | 6667 | 667 | 4.0 м |
| 150×200 | 10000 | 1000 | 4.5 м |
| 200×250 | 26042 | 2083 | 5.5 м |
Таблица составлена для древесины 2 сорта, E = 10 000 МПа, предельный прогиб L/250
Расчет металлической балки: стальные профили
Стальные балки проектируются по СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции». Для изгибаемых элементов применяются горячекатаные двутавры по ГОСТ 8239-89, ГОСТ 26020-83, швеллеры по ГОСТ 8240-97, а также сварные и гнутые профили.
Расчетные сопротивления сталей
Расчетные сопротивления приняты по СП 16.13330.2017 (таблица В.3) для проката толщиной до 20 мм. При большей толщине проката значения снижаются.
| Марка стали | ГОСТ | Ry, МПа | Ru, МПа | Применение |
|---|---|---|---|---|
| С235 | ГОСТ 27772-2021 | 230 | 360 | Второстепенные элементы |
| С245 | ГОСТ 27772-2021 | 240 | 370 | Основные конструкции |
| С255 | ГОСТ 27772-2021 | 240 | 380 | Основные конструкции |
| С345 | ГОСТ 27772-2021 | 320 | 470 | Нагруженные элементы |
| 09Г2С (кл. 295) | ГОСТ 19281-2014 | 295 | 430 | Ответственные конструкции |
Расчет двутавровой балки
Двутавр — основной профиль для стальных балок. Сортамент горячекатаных двутавров по ГОСТ 26020-83 включает балочные (Б), широкополочные (Ш) и колонные (К) серии. Для балок перекрытий обычно применяется серия Б.
Характеристики профиля 30Б1:
Высота h = 296 мм
Ширина полки b = 140 мм
Момент инерции Ix = 6328 см⁴
Момент сопротивления Wx = 428 см³
Масса: 32.9 кг/м
Условия расчета:
Пролет: L = 6.0 м
Нагрузка: q = 15 кН/м
Материал: сталь С245
Ry = 240 МПа
Проверка прочности:
Mmax = 15 × 6² / 8 = 67.5 кН·м
σ = M / W = 67.5 × 10⁶ / (428 × 10³) = 157.7 МПа
Проверка: 157.7 МПа < 240 МПа — прочность обеспечена (запас 34%)
Проверка жесткости:
f = 5 × 15 × 6⁴ × 10⁹ / (384 × 200000 × 6328 × 10⁴) = 19.9 мм
fпред = 6000 / 250 = 24 мм
Проверка: 19.9 мм < 24 мм — жесткость обеспечена (запас 17%)
Сортамент двутавров: выбор профиля
| Профиль | h, мм | b, мм | Ix, см⁴ | Wx, см³ | Масса, кг/м |
|---|---|---|---|---|---|
| 20Б1 | 200 | 100 | 1943 | 194 | 21.3 |
| 25Б1 | 248 | 124 | 3923 | 317 | 26.2 |
| 30Б1 | 296 | 140 | 6328 | 428 | 32.9 |
| 35Б1 | 346 | 155 | 10060 | 582 | 41.4 |
| 40Б1 | 392 | 165 | 14920 | 761 | 48.1 |
| 50Б1 | 492 | 180 | 27540 | 1120 | 65.0 |
По ГОСТ 26020-83. Серия Б — балочные двутавры с параллельными гранями полок.
Расчет консольной балки
Консоль — балка с одним защемленным концом и одним свободным. Типичные примеры: навесы, козырьки, балконные плиты, вылеты кран-балок. Консольная схема создает максимальный момент в заделке и максимальный прогиб на свободном конце.
Формулы для консоли с равномерной нагрузкой
| Параметр | Формула | Примечание |
|---|---|---|
| Момент в заделке | M = q × L² / 2 | В 4 раза больше, чем для шарнирной |
| Поперечная сила | Q = q × L | Максимум в заделке |
| Прогиб на конце | f = q × L⁴ / (8 × E × I) | В 2.4 раза больше, чем для шарнирной при том же L |
Формулы для консоли с сосредоточенной силой на конце
| Параметр | Формула |
|---|---|
| Момент в заделке | M = P × L |
| Поперечная сила | Q = P (постоянная по длине) |
| Прогиб на конце | f = P × L³ / (3 × E × I) |
Исходные данные:
Вылет консоли: L = 1.5 м
Профиль: швеллер 16П
Ix = 747 см⁴, Wx = 93.4 см³
Нагрузка: P = 5 кН (на конце)
Материал: С245 (Ry = 240 МПа)
Расчет:
M = 5 × 1.5 = 7.5 кН·м
σ = 7.5 × 10⁶ / (93.4 × 10³) = 80.3 МПа
f = 5 × 1.5³ × 10⁹ / (3 × 200000 × 747 × 10⁴) = 3.77 мм
Оба условия выполняются
Расчет железобетонной балки
Железобетонные балки проектируются по СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции». Расчет включает подбор сечения бетона и арматуры для восприятия изгибающего момента. В отличие от стальных и деревянных балок, железобетон работает совместно: бетон воспринимает сжатие, арматура — растяжение.
Характеристики бетона
| Класс бетона | Rb, МПа | Rbt, МПа | Eb, МПа | Применение |
|---|---|---|---|---|
| В15 | 8.5 | 0.75 | 24 000 | Ненагруженные конструкции |
| В20 | 11.5 | 0.90 | 27 500 | Жилые здания |
| В25 | 14.5 | 1.05 | 30 000 | Основной класс |
| В30 | 17.0 | 1.15 | 32 500 | Нагруженные элементы |
| В40 | 22.0 | 1.40 | 36 000 | Высотное строительство |
Rb — сопротивление сжатию; Rbt — сопротивление растяжению. По СП 63.13330.2018, таблица 6.8.
Характеристики арматуры
| Класс арматуры | Rs, МПа | Es, МПа | Обозначение |
|---|---|---|---|
| А240 (А-I) | 215 | 200 000 | Гладкая, для хомутов |
| А400 (А-III) | 355 | 200 000 | Периодический профиль |
| А500С | 435 | 200 000 | Свариваемая, основной класс |
| А600 | 520 | 200 000 | Высокопрочная |
Упрощенный расчет прямоугольного сечения
Для предварительного подбора арматуры изгибаемого элемента используется формула через коэффициент αm:
По значению αm из таблиц или формул определяется коэффициент ζ, затем площадь арматуры:
Расчет балки на изгиб: влияние схемы опирания
Схема опирания существенно влияет на распределение усилий и прогибов в балке. При одинаковой нагрузке и пролете защемленная балка имеет момент в 2.67 раза меньше, а прогиб в 5 раз меньше, чем шарнирно опертая.
Сравнительная таблица для равномерной нагрузки q
| Схема опирания | Mmax | fmax | Соотношение M | Соотношение f |
|---|---|---|---|---|
| Шарнирная (две опоры) | qL²/8 | 5qL⁴/(384EI) | 1.0 | 1.0 |
| Консоль | qL²/2 | qL⁴/(8EI) | 4.0 | 9.6 |
| Защемление с двух сторон | qL²/12 (на опорах) | qL⁴/(384EI) | 0.67 | 0.2 |
Эпюры моментов для разных схем
Характер эпюры изгибающих моментов определяет работу балки:
- Шарнирная балка — параболическая эпюра с максимумом в середине пролета. Весь нижний пояс работает на растяжение.
- Консоль — параболическая эпюра с максимумом в заделке. Верхний пояс растянут, нижний сжат.
- Защемленная балка — эпюра с отрицательными моментами на опорах и положительным в середине. Знакопеременное распределение позволяет использовать меньшее сечение.
Условия: L = 6 м, q = 10 кН/м, сечение 200×400 мм (I = 106667 см⁴), сталь E = 200 ГПа
| Схема | Mmax, кН·м | fmax, мм | σmax, МПа |
|---|---|---|---|
| Шарнирная | 45.0 | 0.79 | 8.4 |
| Консоль (вылет 6 м) | 180.0 | 7.6 | 33.8 |
| Защемленная | 30.0 | 0.16 | 5.6 |
Примеры расчета балок: практические задачи
Условие: Пролет 5 м, шаг балок 0.8 м. Конструкция чердака: утепленное перекрытие с возможностью хождения (временная нагрузка 1.0 кН/м²). Требуется подобрать сечение из стандартного пиломатериала.
Сбор нагрузок:
Постоянная: 0.5 кН/м² × 1.2 = 0.6 кН/м²
Временная: 1.0 кН/м² × 1.3 = 1.3 кН/м²
Итого: g = 1.9 кН/м²
Линейная: q = 1.9 × 0.8 = 1.52 кН/м
Требуемый момент сопротивления:
M = 1.52 × 5² / 8 = 4.75 кН·м
Wтр = M / R = 4.75 × 10⁶ / (13 × 10⁶) = 365 см³
Проверка прогиба для сечения 100×200:
I = 6667 см⁴, W = 667 см³ > 365 см³ — по прочности проходит
f = 5 × 1.52 × 5⁴ × 10⁹ / (384 × 10000 × 6667 × 10⁴) = 18.5 мм
fпред = 5000 / 250 = 20 мм
18.5 < 20 — сечение 100×200 подходит
Условие: Имеется балка из двутавра 24Б1 (I = 3460 см⁴, W = 289 см³) пролетом 4.5 м. Планируется увеличить нагрузку до 25 кН/м. Проверить несущую способность. Сталь С245.
Расчет:
M = 25 × 4.5² / 8 = 63.3 кН·м
σ = 63.3 × 10⁶ / (289 × 10³) = 219 МПа
Проверка прочности: 219 < 240 МПа — выполняется (запас 9%)
f = 5 × 25 × 4.5⁴ × 10⁹ / (384 × 200000 × 3460 × 10⁴) = 19.3 мм
fпред = 4500 / 250 = 18 мм
Проверка жесткости: 19.3 > 18 мм — НЕ выполняется
Вывод: Балка проходит по прочности, но не проходит по жесткости. Необходимо усиление (приварка пластин к полкам) или замена на профиль 30Б1.
Условие: Перемычка над проемом 2 м из профильной трубы 100×60×4 мм. Нагрузка от кладки 8 кН/м. Проверить несущую способность.
Характеристики трубы 100×60×4:
Ix = 147 см⁴ (относительно большей стороны)
Wx = 29.4 см³
Площадь A = 11.7 см²
Расчет:
M = 8 × 2² / 8 = 4.0 кН·м
σ = 4.0 × 10⁶ / (29.4 × 10³) = 136 МПа
Проверка: 136 < 240 МПа — прочность обеспечена
f = 5 × 8 × 2⁴ × 10⁹ / (384 × 200000 × 147 × 10⁴) = 5.7 мм
fпред = 2000 / 250 = 8 мм
Проверка: 5.7 < 8 мм — жесткость обеспечена
Нормативные документы для расчета балок
Расчет строительных конструкций в России выполняется по системе сводов правил (СП) и стандартов (ГОСТ). Ниже приведены основные документы, актуальные на 2025 год.
| Документ | Название | Статус |
|---|---|---|
| СП 16.13330.2017 | Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81* | Действует (с изм. №1, №2) |
| СП 20.13330.2016 | Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85* | Действует (с изм. №1-6) |
| СП 63.13330.2018 | Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения | Действует |
| СП 64.13330.2017 | Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-25-80 | Действует |
| ГОСТ 27772-2021 | Прокат для строительных стальных конструкций. Общие технические условия | Действует с 01.08.2022 |
| ГОСТ 19281-2014 | Прокат повышенной прочности. Общие технические условия | Действует |
| ГОСТ 26020-83 | Двутавры стальные горячекатаные с параллельными гранями полок | Действует |
| ГОСТ 8240-97 | Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент | Действует |
Справочная литература
- Roark's Formulas for Stress and Strain (8th ed., 2011) — международный справочник формул сопротивления материалов. Содержит формулы для всех типов балок, пластин, оболочек.
- Shigley's Mechanical Engineering Design — классический учебник по расчету механических конструкций.
- Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов — фундаментальный отечественный справочник.
- Металлические конструкции. Под ред. Кудишина Ю.И. — учебник для вузов по расчету стальных конструкций.
