Калькуляторы
Математический справочник Бронштейна и Семендяева для инженеров
Справочник по математике Бронштейна и Семендяева является фундаментальным изданием, содержащим систематизированные формулы, таблицы интегралов и производных для инженеров и студентов технических вузов. Первое издание вышло в 1945 году издательством "Наука", с тех пор справочник выдержал множество переизданий и переведен на многие языки мира.
Данный интерактивный справочник содержит основные формулы высшей математики из издания 1986 года под редакцией Г. Гроше и В. Циглера: таблицы производных элементарных функций, таблицы неопределенных интегралов, тригонометрические формулы, правила дифференцирования и интегрирования.
Справочник Бронштейна Семендяева: таблица производных
| Категория | Функция | Формула | Примечание |
|---|---|---|---|
| Производные | Константа | $$C' = 0$$ | Производная постоянной равна нулю |
| Производные | Степенная функция | $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ | Основная формула дифференцирования, n - любое действительное число |
| Производные | Линейная функция | $$(x)' = 1$$ | Частный случай степенной функции при n=1 |
| Производные | Квадратный корень | $$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ | Применяется при x > 0 |
| Производные | Обратная функция | $$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$$ | Для x ≠ 0 |
| Тригонометрия | Синус | $$(\sin x)' = \cos x$$ | Основная тригонометрическая производная |
| Тригонометрия | Косинус | $$(\cos x)' = -\sin x$$ | Производная косинуса со знаком минус |
| Тригонометрия | Тангенс | $$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$ | Для x ≠ π/2 + πn, где n - целое число |
| Тригонометрия | Котангенс | $$(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$$ | Для x ≠ πn, где n - целое число |
| Тригонометрия | Арксинус | $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ | Для |x| < 1 |
| Тригонометрия | Арккосинус | $$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ | Для |x| < 1 |
| Тригонометрия | Арктангенс | $$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$$ | Для всех действительных x |
| Тригонометрия | Арккотангенс | $$(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$$ | Для всех действительных x |
| Логарифмы | Экспонента | $$(e^x)' = e^x$$ | Важное свойство: функция равна своей производной |
| Логарифмы | Показательная функция | $$(a^x)' = a^x \ln a$$ | Для a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифмы | Натуральный логарифм | $$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$ | Для x > 0 |
| Логарифмы | Логарифм по основанию a | $$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$ | Для x > 0, a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифмы | Десятичный логарифм | $$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$$ | Для x > 0 |
| Гиперболические | Гиперболический синус | $$(\sinh x)' = \cosh x$$ | sh x = (e^x - e^(-x))/2 |
| Гиперболические | Гиперболический косинус | $$(\cosh x)' = \sinh x$$ | ch x = (e^x + e^(-x))/2 |
| Гиперболические | Гиперболический тангенс | $$(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$$ | th x = sh x / ch x |
| Гиперболические | Гиперболический котангенс | $$(\coth x)' = -\frac{1}{\sinh^2 x}$$ | cth x = ch x / sh x, для x ≠ 0 |
| Интегралы | Константа | $$\int a \, dx = ax + C$$ | Интегрирование постоянной |
| Интегралы | Степенная функция | $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ | Для n ≠ -1 |
| Интегралы | Обратная функция | $$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$$ | Для x ≠ 0, особый случай при n = -1 |
| Интегралы | Квадратный корень | $$\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$ | Для x ≥ 0 |
| Интегралы | Обратный квадратный корень | $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$$ | Для x > 0 |
| Тригонометрия | Синус | $$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$ | Интеграл синуса |
| Тригонометрия | Косинус | $$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$ | Интеграл косинуса |
| Тригонометрия | Тангенс | $$\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$$ | Или ln|sec x| + C |
| Тригонометрия | Котангенс | $$\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$$ | Интеграл котангенса |
| Тригонометрия | Секанс в квадрате | $$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$$ | Часто используемый интеграл |
| Тригонометрия | Косеканс в квадрате | $$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$$ | Интеграл от обратного синуса в квадрате |
| Тригонометрия | Интеграл с корнем (1) | $$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$$ | Для |x| < 1 |
| Тригонометрия | Интеграл с квадратом | $$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$$ | Табличный интеграл арктангенса |
| Логарифмы | Экспонента | $$\int e^x \, dx = e^x + C$$ | Экспонента интегрируется в себя |
| Логарифмы | Показательная функция | $$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$ | Для a > 0, a ≠ 1 |
| Логарифмы | Натуральный логарифм | $$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$$ | Интегрирование по частям |
| Логарифмы | Логарифм с модулем | $$\int \ln |x| \, dx = x \ln |x| - x + C$$ | Для x ≠ 0 |
| Гиперболические | Гиперболический синус | $$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$$ | Интеграл sh x |
| Гиперболические | Гиперболический косинус | $$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$$ | Интеграл ch x |
| Гиперболические | Гиперболический тангенс | $$\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C$$ | Интеграл th x |
| Гиперболические | Обратная гиперболическая | $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \text{arsh } x + C$$ | Ареасинус гиперболический |
| Гиперболические | Обратная гиперболическая (2) | $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \text{arch } x + C$$ | Ареакосинус гиперболический, для |x| > 1 |
| Интегралы | Интеграл с корнем (a²-x²) | $$\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$ | Для |x| ≤ a, a > 0 |
| Интегралы | Интеграл с корнем (x²+a²) | $$\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C$$ | Для a > 0 |
| Интегралы | Интеграл с корнем (x²-a²) | $$\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C$$ | Для |x| ≥ a, a > 0 |
| Интегралы | Дробь с квадратом (a²-x²) | $$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$$ | Для |x| < a, a > 0 |
| Интегралы | Дробь с квадратом (x²-a²) | $$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$$ | Для |x| > a, a > 0 |
| Интегралы | Дробь с суммой квадратов | $$\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$ | Для a > 0 |
Справочник по математике для инженеров и студентов втузов
Основные правила дифференцирования
Правило суммы: Производная суммы равна сумме производных
Правило произведения константы: Постоянный множитель можно выносить за знак производной
Правило произведения: Производная произведения двух функций
Правило частного: Производная частного двух функций
Правило сложной функции (цепное правило): Производная композиции функций
Найти производную функции y = sin(3x²)
Решение: y' = cos(3x²) · (3x²)' = cos(3x²) · 6x = 6x cos(3x²)
Основные свойства неопределенного интеграла
Свойство линейности: Интеграл суммы равен сумме интегралов
Свойство константы: Постоянный множитель выносится за знак интеграла
Проверка интегрирования: Производная первообразной равна подынтегральной функции
Вычислить ∫(3x² + 2x - 5) dx
Решение: ∫3x² dx + ∫2x dx - ∫5 dx = 3·x³/3 + 2·x²/2 - 5x + C = x³ + x² - 5x + C
Методы интегрирования из справочника Бронштейна Семендяева
Метод замены переменной (подстановка):
Если интеграл имеет вид ∫f(φ(x))·φ'(x)dx, то делается замена t = φ(x), dt = φ'(x)dx
Вычислить ∫2x·cos(x²) dx
Решение: Замена t = x², dt = 2x dx
∫cos(t) dt = sin(t) + C = sin(x²) + C
Метод интегрирования по частям:
Используется для интегралов произведения двух функций
Вычислить ∫x·e^x dx
Решение: u = x, du = dx, dv = e^x dx, v = e^x
∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C
Бронштейн Семендяев справочник по математике скачать PDF
История создания справочника по математике
Справочник Иосифа Натановича Бронштейна и Константина Адольфовича Семендяева был написан в период 1939-1940 годов. Первое издание планировалось выпустить в 1941 году в ленинградской типографии, однако Великая Отечественная война и блокада Ленинграда сорвали эти планы.
Первое издание справочника вышло в свет в 1945 году в издательстве "Наука" (Главная редакция физико-математической литературы) и сразу завоевало популярность среди инженеров, студентов технических вузов и научных работников. Благодаря краткости изложения, полноте охвата материала и удачному построению книга быстро стала настольной для специалистов.
В 1953 году справочник подвергся первой существенной переработке под руководством профессора М.Р. Шура-Буры. Раздел "Основы математического анализа" был переписан заново, добавлены параграфы по дифференциальным уравнениям, краевым задачам и уравнениям в частных производных.
Наиболее значительная переработка справочника была осуществлена в 1979-1980 годах большим международным коллективом математиков из СССР и ГДР под редакцией Г. Гроше и В. Циглера. В результате этой работы справочник обогатился новыми разделами: вариационным исчислением и оптимальным управлением, математической логикой и теорией множеств, вычислительной математикой.
Структура справочника Бронштейна и Семендяева
Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов содержит следующие основные разделы:
- Таблицы и графики - таблицы элементарных функций, специальных функций, интегралов и сумм рядов, графики алгебраических и трансцендентных функций
- Элементарная математика - алгебра, элементарные функции, планиметрия, стереометрия, тригонометрия, приближенные вычисления, комбинаторика
- Аналитическая геометрия - системы координат на плоскости и в пространстве, прямые, кривые второго порядка, поверхности
- Дифференциальное и интегральное исчисление - производные, дифференциалы, неопределенные и определенные интегралы, кратные интегралы, криволинейные и поверхностные интегралы
- Дифференциальные уравнения - обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, краевые задачи
- Ряды - числовые ряды, степенные ряды, ряды Фурье, интегралы Фурье
- Функции комплексного переменного - комплексные числа, аналитические функции, вычеты
- Векторное исчисление - векторная алгебра, векторный анализ, теория поля
- Теория вероятностей и математическая статистика - случайные величины, распределения, статистические методы
- Вариационное исчисление - экстремумы функционалов, вариационные задачи
- Численные методы - решение уравнений, интерполяция, приближенное интегрирование
Применение справочника в инженерной практике
Справочник Бронштейна и Семендяева широко используется в различных областях технического образования и инженерной деятельности:
- Высшая математика в технических вузах - студенты используют справочник при решении задач математического анализа, теории вероятностей, дифференциальных уравнений
- Прикладная математика - инженеры-расчетчики применяют формулы для численного моделирования, оптимизации технических систем
- Теоретическая механика и сопротивление материалов - расчет напряжений, деформаций, колебаний требует использования интегрального и дифференциального исчисления
- Электротехника и радиотехника - анализ электрических цепей, расчет переходных процессов, преобразования Фурье
- Гидравлика и аэродинамика - решение дифференциальных уравнений движения жидкости и газа
- Теория автоматического управления - передаточные функции, устойчивость систем, операционное исчисление
Издания справочника и форматы
Справочник Бронштейна-Семендяева издавался многократно как в СССР и России, так и за рубежом:
- 1945 год - первое издание в издательстве "Наука", 592 страницы
- 1953 год - третье издание с существенной переработкой, 608 страниц
- 1967 год - одиннадцатое издание, последнее перед большой международной переработкой
- 1980 год - двенадцатое (первое переработанное) издание, 976 страниц
- 1986 год - тринадцатое (второе переработанное) издание с исправлениями, 544 страницы
- 2006 год - современное издание издательства "Оникс" и "Мир и Образование"
Справочник переведен на немецкий язык (Taschenbuch der Mathematik, издательство Teubner), английский (Handbook of Mathematics, издательство Springer), японский, испанский и многие другие языки. Электронные версии доступны в форматах PDF и DjVu.
Данный интерактивный справочник по математике создан исключительно в образовательных и информационных целях. Представленные формулы, таблицы производных и интегралов основаны на классическом справочнике И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева, однако не являются его точной копией.
Рекомендуется использовать официальные издания справочника для:
- Подготовки к экзаменам в высших учебных заведениях
- Выполнения курсовых и дипломных работ
- Инженерных расчетов в профессиональной деятельности
- Научных исследований и публикаций
Автор данного интерактивного справочника не несет ответственности за возможные ошибки в формулах или их применение в практических расчетах. Все математические выражения следует проверять по первоисточникам.
Для получения полной версии справочника обращайтесь к официальным изданиям издательств "Наука", "Лань", "Оникс", "Мир и Образование" или к электронным библиотекам высших учебных заведений.
Источники информации
Данный справочник составлен на основе следующих авторитетных источников:
- Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., исправленное. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1986. 544 с.
- Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Под ред. Г. Гроше, В. Циглера. Пер. с нем. М.: Наука, 1980. 976 с.
- Bronshtein I.N., Semendyayev K.A. Handbook of Mathematics. 6th Edition. Springer, 2015. 1207 p.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. 8-е изд. М.: Физматлит, 2003.
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. 5-е изд. М.: Дрофа, 2003.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831 с.
- Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 228 с.
- Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 7-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 1232 с.
