Скидка на подшипники из наличия!
Уже доступен
Интерактивный справочник логических обозначений -- полная сводная таблица всех символов, формул и условных графических обозначений логических операций. Инструмент охватывает математическую нотацию, булеву алгебру, языки программирования (C/C++, Python, Java, JavaScript, SQL), а также стандарты ГОСТ 2.743-91, IEC 60617-12 и IEEE Std 91. Используйте поиск и быстрые фильтры для навигации по справочнику.
Ниже представлена полная таблица обозначения логических символов, включающая восемь основных операций булевой алгебры. Для каждой операции приведены обозначения в математической, программистской и электронной нотациях, а также мини-таблица истинности.
Ничего не найдено. Попробуйте изменить запрос или сбросить фильтры.
Таблица истинности -- это табличное представление всех возможных комбинаций входных значений логической функции и соответствующих им результатов. Для двух переменных (A и B) существует четыре комбинации: 00, 01, 10, 11. Каждая из 16 булевых функций двух переменных однозначно определяется столбцом результатов в такой таблице.
Восемь основных операций, их результаты для всех комбинаций входов и практические мнемоники для запоминания:
A=0,B=0 → 0 | A=0,B=1 → 0 | A=1,B=0 → 0 | A=1,B=1 → 1
Мнемоника: истинна только когда оба операнда истинны. Аналог умножения: 1·1=1, остальное 0.
A=0,B=0 → 0 | A=0,B=1 → 1 | A=1,B=0 → 1 | A=1,B=1 → 1
Мнемоника: ложна только когда оба ложны. Аналог включительного ИЛИ в естественном языке.
A=0 → 1 | A=1 → 0
Единственная унарная операция. Меняет значение на противоположное. В электронике реализуется инвертором.
A=0,B=0 → 0 | A=0,B=1 → 1 | A=1,B=0 → 1 | A=1,B=1 → 0
Мнемоника: истинна когда операнды различны. Используется для контроля четности и в криптографии.
A=0,B=0 → 1 | A=0,B=1 → 1 | A=1,B=0 → 1 | A=1,B=1 → 0
Инверсия AND. Универсальный элемент -- через NAND выражается любая булева функция.
A=0,B=0 → 1 | A=0,B=1 → 0 | A=1,B=0 → 0 | A=1,B=1 → 0
Инверсия OR. Также универсальный элемент. Основа схемотехники ранних компьютеров.
A=0,B=0 → 1 | A=0,B=1 → 1 | A=1,B=0 → 0 | A=1,B=1 → 1
Мнемоника: ложна только когда посылка истинна, а заключение ложно. Из лжи следует что угодно.
A=0,B=0 → 1 | A=0,B=1 → 0 | A=1,B=0 → 0 | A=1,B=1 → 1
Истинна когда оба операнда совпадают. Инверсия XOR. Используется в компараторах.
Порядок выполнения логических операций определяет, какие связки вычисляются первыми при отсутствии скобок. Это критически важно при построении и анализе логических выражений в математике, информатике и при написании программ. Общепринятый приоритет логических операций в дискретной математике (от наивысшего к наименьшему) приведен в таблице ниже.
Пример разбора по приоритету: выражение ¬A ∧ B ∨ C → D ↔ E вычисляется как ((((¬A) ∧ B) ∨ C) → D) ↔ E. Сначала инвертируется A, затем выполняется конъюнкция с B, потом дизъюнкция с C, далее импликация с D и в последнюю очередь -- эквиваленция с E.
В программировании приоритет отличается. В языках C, C++, Java и JavaScript порядок таков: !/~ → & → ^ → | → && → ||. Побитовые операции имеют более высокий приоритет, чем логические. В Python: ~ → & → ^ → | → not → and → or.
!
~
&
^
|
&&
||
not
and
or
ГОСТ 2.743-91 (ЕСКД. Обозначения условные графические в схемах. Элементы цифровой техники) -- действующий межгосударственный стандарт, утвержденный постановлением от 23.12.1991 N 2375. Он определяет способ изображения логических элементов на принципиальных схемах с помощью прямоугольников и текстовых маркеров внутри них. Стандарт соответствует международному МЭК 617-12 (ныне IEC 60617-12:1997).
Международный стандарт IEC 60617-12 использует практически идентичные прямоугольные символы, но для элемента ИЛИ применяет обозначение «≥1» вместо «1» по ГОСТ. Стандарт IEEE Std 91-1984 дополнительно допускает фигурные (distinctive shape) символы из американского военного стандарта MIL-STD-806B. В 2015 году введен ГОСТ Р МЭК 60617-DB-12M-2015, содержащий около 1900 графических символов для схем в формате базы данных.
На схемах кружок (○) на контуре прямоугольника обозначает инверсию сигнала на входе или выходе. Треугольник указывает на динамический вход (срабатывание по фронту сигнала). Входы располагаются слева, выходы -- справа. Размеры УГО по ГОСТ определяются модульной сеткой с шагом M, который выбирается исходя из требований микрофильмирования (ГОСТ 13.1.002); на практике при ручном черчении обычно принимают M = 5 мм. Элементы именуются с указанием числа входов: 2И, 3ИЛИ, 4И-НЕ, 2-2И-ИЛИ-НЕ.
В программировании логические операции делятся на два типа: логические (работают с булевыми значениями, поддерживают сокращенное вычисление) и побитовые (обрабатывают каждый бит числа, всегда вычисляют оба операнда). Это принципиальное отличие от математической нотации, где такого разделения нет.
AND
OR
NOT
XOR
Особенности по языкам. В C++ существуют текстовые альтернативы операторов (определены стандартом C++ как альтернативные токены): and, or, not, xor, bitand, bitor, compl. В Java оператор ^ работает как с boolean (логический XOR), так и с целочисленными типами (побитовый). В Python логические операторы and/or возвращают не True/False, а значение одного из операндов (short-circuit с возвратом значения). В JavaScript аналогичное поведение: "" || "default" вернет строку "default". SQL использует трёхзначную логику -- помимо TRUE и FALSE существует NULL (UNKNOWN), и операция TRUE AND NULL дает NULL. Побитовые операторы (&, |, ^, ~) не входят в стандарт SQL (ISO/IEC 9075), но поддерживаются большинством СУБД (MySQL, PostgreSQL, SQL Server) как расширения.
xor
bitand
bitor
compl
boolean
True
False
"" || "default"
"default"
TRUE AND NULL
Законы булевой алгебры позволяют упрощать логические выражения, минимизировать схемы и доказывать эквивалентность формул. Ниже приведены все фундаментальные тождества, сгруппированные по категориям.
Два ключевых тождества, связывающие конъюнкцию и дизъюнкцию через отрицание. Позволяют преобразовывать выражения между ДНФ и КНФ, а в электронике -- между схемами на NAND и NOR элементах.
Одна из ключевых идей булевой алгебры -- возможность выразить любую логическую операцию через набор базисных. Эти эквивалентные формулы и соотношения между логическими операциями применяются при минимизации схем, преобразовании выражений в нормальные формы и оптимизации программного кода.
Тождества XOR с константами: A ⊕ 0 = A, A ⊕ 1 = ¬A, A ⊕ A = 0, A ⊕ ¬A = 1. Операция XOR ассоциативна, коммутативна и дистрибутивна относительно конъюнкции: A ∧ (B ⊕ C) = (A ∧ B) ⊕ (A ∧ C).
Набор логических операций называется функционально полным (или базисом), если с его помощью можно выразить любую булеву функцию. Критерий Поста устанавливает необходимые и достаточные условия функциональной полноты. На практике наибольшее значение имеют следующие базисы:
Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Базис избыточен -- AND и OR взаимно выражаются через де Моргана.
Достаточно отрицания и одной бинарной операции. OR через NOT и AND: A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B).
¬A = A↑A. A∧B = (A↑B)↑(A↑B). A∨B = (A↑A)↑(B↑B). Основа КМОП-микросхем.
¬A = A↓A. A∨B = (A↓B)↓(A↓B). A∧B = (A↓A)↓(B↓B). Исторически -- первые ЭВМ.
Константа 1, XOR и AND. Позволяет представить любую функцию в виде полинома Жегалкина (кольцо вычетов Z/2Z).
Отрицание и импликация. A ∧ B = ¬(A → ¬B). A ∨ B = ¬A → B. Используется в аксиоматике логики высказываний.
В микроэлектронике наибольшее практическое значение имеет базис Шеффера ({NAND}). Подавляющее большинство КМОП-логических микросхем строится на вентилях NAND, поскольку NAND-элемент реализуется на двух комплементарных транзисторах эффективнее, чем NOR. Базовая микросхема SN7400 (четыре элемента 2И-НЕ) и её советский аналог К155ЛА3, а также КМОП-версии серии 74HC00 и их потомки -- одни из самых массово производимых электронных компонентов в истории.
Оба стандарта используют прямоугольные символы с текстовыми маркерами внутри, однако есть одно ключевое различие: элемент ИЛИ (OR) в ГОСТ 2.743-91 обозначается символом «1», тогда как в IEC 60617-12 используется «≥1» (означает «не менее одного активного входа»). Для остальных элементов -- И (&), Исключающее ИЛИ (=1), индикатор инверсии (кружок) -- обозначения совпадают. ГОСТ 2.743-91 официально заявляет о соответствии МЭК 617-12.
В России действует ГОСТ 2.743-91 «ЕСКД. Обозначения условные графические в схемах. Элементы цифровой техники», утверждённый постановлением от 23.12.1991 N 2375. Параллельно действует ГОСТ Р МЭК 60617-DB-12M-2015, содержащий около 1900 графических символов для схем в формате базы данных, гармонизированный с международным IEC 60617. Оба стандарта являются действующими и дополняют друг друга.
Штрих Шеффера (NAND) и стрелка Пирса (NOR) образуют функционально полные базисы -- каждая из этих операций в одиночку способна выразить любую булеву функцию. Например, через NAND: отрицание -- A↑A, конъюнкция -- (A↑B)↑(A↑B), дизъюнкция -- (A↑A)↑(B↑B). Это свойство делает их основой цифровой микроэлектроники: большинство КМОП-микросхем строится именно на NAND-вентилях, поскольку они эффективнее реализуются на комплементарных транзисторах.
Логические операции (&&, ||, ! в C/Java/JS; and, or, not в Python) работают с булевыми значениями и поддерживают сокращённое вычисление (short-circuit evaluation): если результат определён по первому операнду, второй не вычисляется. Побитовые операции (&, |, ^, ~) обрабатывают каждый бит числа независимо и всегда вычисляют оба операнда. Например, 5 & 3 даёт 1 (побитовое AND: 101 & 011 = 001), а 5 && 3 -- true (оба значения ненулевые).
5 & 3
5 && 3
Законы де Моргана -- два фундаментальных тождества булевой алгебры: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B и ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Они связывают конъюнкцию и дизъюнкцию через отрицание. Практическое применение: в математике -- преобразование между дизъюнктивной (ДНФ) и конъюнктивной (КНФ) нормальными формами; в электронике -- пересчёт схем между базисами NAND и NOR; в программировании -- упрощение и оптимизация условных выражений.
В дискретной математике принят следующий порядок (от высшего к низшему): скобки → отрицание (¬) → конъюнкция (∧) → дизъюнкция (∨) → исключающее ИЛИ (⊕) → импликация (→) → эквиваленция (↔). Таким образом, выражение ¬A ∧ B ∨ C вычисляется как ((¬A) ∧ B) ∨ C. Эта иерархия аналогична порядку умножения и сложения в арифметике: конъюнкция -- «логическое умножение», дизъюнкция -- «логическое сложение».
Для двух переменных существует ровно 16 различных булевых функций (2^(2²) = 16). Каждая определяется уникальной комбинацией четырёх значений результата для входов 00, 01, 10, 11. Восемь из них имеют широкое практическое применение (AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR, импликация, эквиваленция). Остальные -- константы 0 и 1, проекции на переменные, их отрицания, материальная неимпликация и обратная неимпликация.
Полином Жегалкина -- это представление любой булевой функции в виде суммы (XOR) произведений (AND) переменных и константы 1. Например, A ∨ B = A ⊕ B ⊕ (A ∧ B). Набор {1, ⊕, ∧} образует функционально полный базис, поскольку через него выражается любая булева функция. Этот базис используется в теоретической информатике (критерий Поста), криптографии и при анализе нелинейности булевых функций. Операции XOR и AND в данном контексте соответствуют сложению и умножению в кольце вычетов по модулю 2 (Z/2Z).
При подготовке справочника использованы следующие нормативные документы, учебные и справочные материалы:
ГОСТ 2.743-91 -- ЕСКД. Обозначения условные графические в схемах. Элементы цифровой техники. Утверждён постановлением от 23.12.1991 N 2375. Статус: действующий.
ГОСТ Р МЭК 60617-DB-12M-2015 -- Графические символы для схем (в формате базы данных). Часть 12M. Двоичные элементы. Статус: действующий.
IEC 60617-12:1997 -- Graphical symbols for diagrams. Part 12: Binary logic elements. International Electrotechnical Commission.
IEEE Std 91-1984 -- IEEE Standard Graphic Symbols for Logic Functions. Дополнение: IEEE Std 91a-1991.
ISO 80000-2:2019 -- Quantities and units. Part 2: Mathematics. Заменил ISO 31-11:1992.
Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. -- М.: Высшая школа, 2003.
Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике. -- М.: Физматлит, 2005.
Угрюмов Е. П. Цифровая схемотехника. -- СПб.: БХВ-Петербург, 2010.
Mano M. M., Ciletti M. D. Digital Design: With an Introduction to the Verilog HDL. -- Pearson, 2018 (6th ed.).
Rosen K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. -- McGraw-Hill, 2019 (8th ed.).
ISO/IEC 14882:2020 -- Programming languages -- C++ (стандарт C++20). Альтернативные токены: [lex.digraph].
Python Language Reference -- docs.python.org. Раздел: Expressions (Boolean operations, Bitwise operations).
Java Language Specification (JLS), Java SE 21. Chapter 15: Expressions.
ECMAScript 2024 Language Specification (ECMA-262, 15th ed.). Раздел: Binary Logical Operators.
ISO/IEC 9075:2023 -- Information technology -- Database languages -- SQL (стандарт SQL).
Настоящая статья носит исключительно ознакомительный и справочный характер. Материал подготовлен на основе открытых источников, нормативных документов и учебной литературы, однако не является официальной публикацией органов стандартизации и не заменяет полные тексты указанных стандартов.
Автор прилагает все усилия для обеспечения точности и актуальности представленных данных, но не несёт ответственности за возможные неточности, опечатки, устаревание информации, а также за любые последствия, прямые или косвенные, возникшие в результате использования материалов данной статьи в профессиональной, учебной или иной деятельности.
При проектировании электронных схем, разработке программного обеспечения и подготовке технической документации рекомендуется обращаться к полным актуальным текстам соответствующих стандартов (ГОСТ, IEC, IEEE, ISO), доступным через официальные каналы распространения: Росстандарт (gost.ru), IEC (iec.ch), IEEE (ieee.org), ISO (iso.org).
Все товарные знаки, названия стандартов и наименования организаций, упомянутые в статье, принадлежат их законным правообладателям и используются исключительно в справочных целях.
ООО «Иннер Инжиниринг»