Закон Пуазейля: формула, уравнение и применение

Уравнение Пуазейля: формулировка и вывод

Закон Пуазейля описывается формулой, которая устанавливает зависимость объёмного расхода вязкой несжимаемой жидкости через цилиндрическую трубу от разности давлений, геометрических параметров трубы и вязкости жидкости:

где:

• Q — объёмный расход жидкости [м³/с]
• π — математическая константа (приблизительно 3,14159)
• r — радиус трубы [м]
• Δp — разность давлений на концах трубы [Па]
• η (эта) — динамическая вязкость жидкости [Па·с]
• L — длина трубы [м]

Альтернативная запись формулы Пуазейля через диаметр трубы (d = 2r):

Вывод формулы Пуазейля основан на следующих предположениях и физических принципах:

• Жидкость является ньютоновской (напряжение сдвига пропорционально градиенту скорости)
• Течение стационарное и ламинарное
• Жидкость несжимаема
• Отсутствует проскальзывание на стенках трубы

Для вывода уравнения Пуазейля рассматривается цилиндрический слой жидкости радиуса r и длины L. При стационарном течении силы, действующие на этот слой, уравновешены: сила давления равна силе вязкого трения. После математических преобразований и интегрирования получаем выражение для скорости жидкости на расстоянии r от оси трубы, а затем интегрируем по сечению трубы для получения объёмного расхода.

Физический смысл формулы Пуазейля

Формула Пуазейля, её физический смысл заключается в следующем:

• Зависимость от радиуса в четвёртой степени (r⁴): Объёмный расход очень сильно зависит от радиуса трубы. Увеличение радиуса в 2 раза приводит к увеличению расхода в 16 раз при прочих равных условиях.
• Линейная зависимость от разности давлений (Δp): Расход прямо пропорционален разности давлений на концах трубы.
• Обратная зависимость от длины трубы (L): Чем длиннее труба, тем меньше расход жидкости.
• Обратная зависимость от вязкости (η): Чем выше вязкость жидкости, тем меньше её расход через трубу.

Что выражает формула Пуазейля с точки зрения физики? Она показывает, как гидравлическое сопротивление трубы зависит от её геометрии и свойств жидкости. Формула Пуазейля для гидравлического сопротивления может быть представлена как:

где R — гидравлическое сопротивление.

Тогда закон Пуазейля можно записать в форме, аналогичной закону Ома:

Эта формула показывает аналогию между законом Ома и законом Пуазейля, где объёмный расход (Q) аналогичен силе тока, разность давлений (Δp) — разности потенциалов, а гидравлическое сопротивление (R) — электрическому сопротивлению.

Условия применимости и ограничения

Условия применимости формулы Пуазейля важно учитывать при практических расчётах:

• Формула справедлива только для ламинарного течения жидкости. Критерием ламинарности является число Рейнольдса (Re) меньше 2300 для потока в круглой трубе.
• Жидкость должна быть ньютоновской (вязкость не зависит от градиента скорости).
• Течение должно быть стационарным (не меняющимся во времени).
• Труба должна иметь постоянное сечение на всём протяжении.
• Отсутствие проскальзывания на стенках трубы.
• Жидкость считается несжимаемой.

Каковы условия применимости формулы Пуазейля с точки зрения числа Рейнольдса? Число Рейнольдса (Re) для потока в круглой трубе определяется как:

где:

• ρ — плотность жидкости [кг/м³]
• v — средняя скорость потока [м/с]
• d — диаметр трубы [м]
• η — динамическая вязкость [Па·с]

Формула Пуазейля справедлива только для течения с Re < 2300. При превышении этого значения течение становится турбулентным, и закон Пуазейля неприменим.

Ламинарное течение Пуазейля

Ламинарное течение Пуазейля — это классический пример стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе круглого сечения под действием постоянного градиента давления. Это течение характеризуется следующими особенностями:

• Частицы жидкости движутся по параллельным траекториям без перемешивания
• Скорость движения максимальна на оси трубы и равна нулю у стенок
• Распределение скоростей по сечению имеет параболический профиль

Течение Пуазейля формула для скорости на расстоянии r от оси трубы выражается как:

где:

• v(r) — скорость течения на расстоянии r от оси трубы [м/с]
• Δp — разность давлений на концах трубы [Па]
• η — динамическая вязкость жидкости [Па·с]
• L — длина трубы [м]
• R — радиус трубы [м]
• r — расстояние от оси трубы [м]

Максимальная скорость достигается на оси трубы (при r = 0) и равна:

Течение по трубе, формула Пуазейля для которого была выведена, имеет средняя скорость течения v_ср = v_max/2.

Профиль скоростей и парабола Пуазейля

Профиль Пуазейля — это характерное распределение скоростей по сечению трубы при ламинарном течении вязкой жидкости. Этот профиль имеет параболическую форму, что является следствием действия сил вязкого трения между слоями жидкости.

Парабола Пуазейля описывает зависимость скорости течения от расстояния до оси трубы. Графически это выглядит как парабола с вершиной на оси трубы, где скорость максимальна, и с нулевыми значениями у стенок трубы.

Плоское течение Пуазейля

Плоское течение Пуазейля — это вариант течения между двумя параллельными пластинами. В отличие от течения в цилиндрической трубе, здесь жидкость ограничена не круглым сечением, а двумя плоскими поверхностями, находящимися на расстоянии h друг от друга.

Для плоского течения Пуазейля профиль скорости также параболический, но уравнение имеет вид:

где:

• v(y) — скорость на расстоянии y от центральной плоскости [м/с]
• Δp — разность давлений [Па]
• η — динамическая вязкость [Па·с]
• L — длина канала [м]
• h — расстояние между пластинами [м]
• y — координата поперёк потока [м]

Объёмный расход для плоского течения Пуазейля на единицу ширины канала определяется как:

Плоское течение Пуазейля также находит применение в микрофлюидике, при моделировании течений в тонких каналах, смазочных слоях и других подобных системах.

Метод Пуазейля для определения вязкости

Метод Пуазейля — это один из классических методов определения вязкости жидкости. Суть метода Пуазейля заключается в измерении объёмного расхода жидкости через капилляр известных размеров при заданной разности давлений.

Формула Пуазейля для вязкости жидкости может быть выражена из основного уравнения:

Определение вязкости жидкости методом Пуазейля включает следующие этапы:

1. Измерение геометрических параметров капилляра (радиус r и длина L)
2. Создание и измерение разности давлений Δp на концах капилляра
3. Измерение объёмного расхода жидкости Q
4. Расчет вязкости по формуле

Вискозиметр Пуазейля — прибор, реализующий этот метод, часто используется в лабораторной практике. Метод измерения вязкости Пуазейля особенно хорошо подходит для ньютоновских жидкостей.

Для определения коэффициента внутреннего трения методом Пуазейля необходимо обеспечить ламинарный режим течения и точность измерения всех параметров. Метод Пуазейля формула для расчета коэффициента вязкости также может применяться для вязкости воздуха и других газов при небольших перепадах давления.

В ряде практических случаев применяют сравнительный метод, когда определение вязкости жидкости методом Пуазейля производится путём сравнения времени истечения исследуемой жидкости и эталонной жидкости с известной вязкостью.

Гидравлическое сопротивление

Формула Пуазейля для гидравлического сопротивления позволяет рассчитать сопротивление трубы течению жидкости. Гидравлическое сопротивление R определяется как отношение перепада давления к объёмному расходу:

Закон Пуазейля и гидравлическое сопротивление тесно связаны. Из формулы видно, что гидравлическое сопротивление:

• Прямо пропорционально вязкости жидкости η
• Прямо пропорционально длине трубы L
• Обратно пропорционально четвёртой степени радиуса трубы r⁴

Это объясняет, почему небольшое уменьшение диаметра трубы (например, из-за отложений на стенках) может привести к значительному увеличению гидравлического сопротивления и падению расхода.

Применение в медицине и гемодинамике

Закон Пуазейля в медицине имеет фундаментальное значение для понимания гемодинамики — науки о движении крови по сосудам. Жан Луи Пуазейль, будучи врачом, изначально исследовал движение крови, что привело его к открытию закона.

Закон Пуазейля гемодинамика применяет для объяснения следующих явлений:

• Зависимость кровотока от диаметра сосудов (сужение сосуда на 50% уменьшает кровоток примерно в 16 раз)
• Влияние вязкости крови на её течение по сосудам
• Распределение давления в разных участках сосудистой системы

Формула Пуазейля для объёмного кровотока может быть записана как:

где Q — объёмный кровоток, Δp — разность давлений, η — вязкость крови, r — радиус сосуда, L — длина сосуда.

Закон Гагена-Пуазейля в гемодинамике объясняет, почему небольшие изменения просвета сосудов при атеросклерозе, гипертонии и других сосудистых патологиях могут значительно влиять на кровоток и, следовательно, на функционирование органов.

Формула Пуазейля для крови учитывает, что кровь — неньютоновская жидкость, т.е. её вязкость зависит от скорости сдвига. Поэтому в микрососудах (капиллярах) поведение крови может несколько отклоняться от предсказаний закона Пуазейля. Тем не менее, закон Пуазейля физиология широко использует для моделирования и понимания системы кровообращения.

Формула Пуазейля для системы кровообращения помогает понять, как организм регулирует кровоток путем изменения просвета сосудов (вазодилатация и вазоконстрикция).