Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Закон Гука — фундаментальный закон механики деформируемого твёрдого тела, согласно которому при малых деформациях напряжение прямо пропорционально относительной деформации. Математически он записывается как σ = E · ε, где E — модуль упругости материала. Закон описывает поведение тела на линейном участке диаграммы растяжения и лежит в основе всех инженерных расчётов на прочность и жёсткость.
Закон Гука — это эмпирическая зависимость, связывающая нагрузку и вызванное ею удлинение упругого тела. Чем больше сила, тем больше деформация, причём связь между ними линейная — до определённой границы. Закон сформулирован английским учёным Робертом Гуком в 1678 году в виде латинского изречения «Ut tensio, sic vis» — «каково удлинение, такова и сила».
В современной форме закон записывается через напряжение и деформацию:
σ = E · ε, где σ — нормальное напряжение (Па), ε — относительная продольная деформация (безразмерная), E — модуль Юнга или модуль продольной упругости (Па).
Для пружины закон Гука принимает привычный школьный вид: F = k · Δl, где k — жёсткость пружины (Н/м), Δl — абсолютное удлинение. Это частный случай общей формулировки.
При испытании образца на растяжение строится диаграмма «напряжение — деформация». Её начальный участок — прямая линия, выходящая из начала координат. Именно на этом участке выполняется закон упругой деформации. Тангенс угла наклона прямой к оси деформаций равен модулю упругости E.
Модуль Юнга — это коэффициент жёсткости материала, показывающий, какое напряжение нужно приложить, чтобы получить относительную деформацию, равную единице. Значение E не зависит от формы образца и определяется только природой материала.
Граница применимости закона Гука — предел пропорциональности σ_пц. Это наибольшее напряжение, при котором ещё сохраняется линейная зависимость между σ и ε. Выше σ_пц диаграмма искривляется, хотя деформация может оставаться упругой до предела упругости σ_у. Для конструкционных сталей σ_пц составляет порядка 195–215 МПа.
Простейший случай — растяжение или сжатие стержня. Абсолютное удлинение вычисляется по формуле: Δl = N · l / (E · A), где N — продольная сила, l — длина стержня, A — площадь поперечного сечения. Произведение E · A называют жёсткостью сечения при растяжении.
При чистом сдвиге касательное напряжение пропорционально угловой деформации: τ = G · γ. Модуль сдвига G связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона ν соотношением G = E / [2(1 + ν)]. Для сталей ν ≈ 0,28–0,30, G ≈ 77–81 ГПа.
Для изотропного материала в трёхмерном напряжённом состоянии деформации по каждой оси выражаются через все три главных напряжения с учётом поперечного сжатия. Например, по оси X: ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)] / E. В тензорной форме связь между тензорами напряжений и деформаций описывается тензором упругих постоянных четвёртого ранга.
Закон выполняется не для всех материалов и не на всём диапазоне нагрузок. Основные случаи отклонений:
Модуль E определяют по диаграмме одноосного растяжения стандартного образца. Методика испытаний металлов при комнатной температуре регламентируется международным стандартом ISO 6892-1 и национальным ГОСТ 1497. На линейном участке выбирают две точки, вычисляют отношение приращения напряжения к приращению относительной деформации.
Современная техника измерения использует экстензометры с базой 10–50 мм и точностью класса 0,5 или 1 по ISO 9513. Для хрупких материалов и неметаллов применяют резонансные и ультразвуковые методы — динамический модуль рассчитывается через скорость продольной волны и плотность.
Закон Гука — основа линейной теории упругости и инженерных расчётов на прочность. Формула σ = E · ε действует на линейном участке диаграммы растяжения, до предела пропорциональности. Модуль упругости E — индивидуальная константа материала, определяемая по ISO 6892-1 и ГОСТ 1497. Понимание границ применимости закона и причин отклонений от него позволяет корректно проектировать конструкции, выбирать материалы и интерпретировать результаты механических испытаний.
Статья носит ознакомительный и образовательный характер. Автор не несёт ответственности за результаты применения изложенной информации в практических инженерных расчётах без проверки действующими нормативными документами и привлечения квалифицированных специалистов.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.