Формула площади — математическое выражение для вычисления площади геометрической фигуры. Площадь измеряется в квадратных единицах и характеризует размер поверхности, ограниченной замкнутым контуром. Для каждой геометрической фигуры существует своя формула: для треугольника, квадрата, прямоугольника, круга, трапеции, параллелограмма и других фигур. Знание формул площади необходимо для решения задач по геометрии в школьной программе, подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, а также в практических применениях.
Формулы площади геометрических фигур: расширенная интерактивная таблица
В таблице представлено более 100 формул для вычисления площади различных геометрических фигур. Используйте поиск или фильтры для быстрого нахождения нужной формулы.
| Фигура / Случай | Формула площади | Обозначения | Категория |
|---|---|---|---|
| Треугольник через основание и высоту | S = (1/2) × a × h | a - основание, h - высота | Треугольник |
| Треугольник через две стороны и угол | S = (1/2) × a × b × sin(γ) | a, b - стороны, γ - угол между ними | Треугольник |
| Треугольник по формуле Герона | S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] | a, b, c - стороны, p = (a+b+c)/2 | Треугольник |
| Треугольник через полупериметр и радиус вписанной окружности | S = p × r | p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности | Треугольник |
| Треугольник через стороны и радиус описанной окружности | S = (a × b × c) / (4R) | a, b, c - стороны, R - радиус описанной окружности | Треугольник |
| Прямоугольный треугольник через катеты | S = (1/2) × a × b | a, b - катеты | Треугольник |
| Прямоугольный треугольник через гипотенузу и высоту | S = (1/2) × c × h | c - гипотенуза, h - высота к гипотенузе | Треугольник |
| Равнобедренный треугольник через основание и высоту | S = (1/2) × a × h | a - основание, h - высота | Треугольник |
| Равнобедренный треугольник через боковые стороны и угол | S = (1/2) × b² × sin(α) | b - боковая сторона, α - угол между боковыми сторонами | Треугольник |
| Равносторонний треугольник через сторону | S = (a² × √3) / 4 | a - сторона | Треугольник |
| Равносторонний треугольник через высоту | S = (h² × √3) / 3 | h - высота | Треугольник |
| Равносторонний треугольник через радиус вписанной окружности | S = 3r² × √3 | r - радиус вписанной окружности | Треугольник |
| Равносторонний треугольник через радиус описанной окружности | S = (3R² × √3) / 4 | R - радиус описанной окружности | Треугольник |
| Прямоугольник через длину и ширину | S = a × b | a - длина, b - ширина | Прямоугольник |
| Прямоугольник через диагональ и сторону | S = a × √(d² - a²) | a - сторона, d - диагональ | Прямоугольник |
| Прямоугольник через диагонали и угол | S = (1/2) × d² × sin(α) | d - диагональ, α - угол между диагоналями | Прямоугольник |
| Прямоугольник через периметр и одну сторону | S = a × (P/2 - a) | a - сторона, P - периметр | Прямоугольник |
| Квадрат через сторону | S = a² | a - сторона | Квадрат |
| Квадрат через диагональ | S = d² / 2 | d - диагональ | Квадрат |
| Квадрат через периметр | S = P² / 16 | P - периметр | Квадрат |
| Квадрат через радиус вписанной окружности | S = 4r² | r - радиус вписанной окружности | Квадрат |
| Квадрат через радиус описанной окружности | S = 2R² | R - радиус описанной окружности | Квадрат |
| Параллелограмм через основание и высоту | S = a × h | a - основание, h - высота | Параллелограмм |
| Параллелограмм через две стороны и угол | S = a × b × sin(α) | a, b - стороны, α - угол между ними | Параллелограмм |
| Параллелограмм через диагонали и угол | S = (1/2) × d₁ × d₂ × sin(γ) | d₁, d₂ - диагонали, γ - угол между ними | Параллелограмм |
| Ромб через сторону и высоту | S = a × h | a - сторона, h - высота | Ромб |
| Ромб через сторону и угол | S = a² × sin(α) | a - сторона, α - угол | Ромб |
| Ромб через диагонали | S = (1/2) × d₁ × d₂ | d₁, d₂ - диагонали | Ромб |
| Ромб через радиус вписанной окружности | S = 2r × a | r - радиус вписанной окружности, a - сторона | Ромб |
| Трапеция через основания и высоту | S = (1/2) × (a + b) × h | a, b - основания, h - высота | Трапеция |
| Трапеция через среднюю линию и высоту | S = m × h | m - средняя линия, h - высота | Трапеция |
| Трапеция через диагонали и угол | S = (1/2) × d₁ × d₂ × sin(α) | d₁, d₂ - диагонали, α - угол между ними | Трапеция |
| Равнобедренная трапеция через основания и боковую сторону | S = (a+b)/2 × √[c² - ((a-b)/2)²] | a, b - основания, c - боковая сторона | Трапеция |
| Равнобедренная трапеция через стороны и угол при основании | S = c × sin(α) × (a + c × cos(α)) | a - основание, c - боковая сторона, α - угол | Трапеция |
| Равнобедренная трапеция через радиус вписанной окружности | S = 4r² / sin(α) | r - радиус вписанной окружности, α - угол при основании | Трапеция |
| Прямоугольная трапеция через основания и боковую сторону | S = (1/2) × (a + b) × c | a, b - основания, c - боковая сторона (высота) | Трапеция |
| Произвольный четырехугольник через диагонали и угол | S = (1/2) × d₁ × d₂ × sin(α) | d₁, d₂ - диагонали, α - угол между ними | Четырехугольник |
| Вписанный четырехугольник (формула Брахмагупты) | S = √[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)] | a, b, c, d - стороны, p = (a+b+c+d)/2 | Четырехугольник |
| Дельтоид (воздушный змей) через диагонали | S = (1/2) × d₁ × d₂ | d₁, d₂ - диагонали (перпендикулярны) | Четырехугольник |
| Круг через радиус | S = π × r² | r - радиус, π ≈ 3,14159 | Круг |
| Круг через диаметр | S = π × d² / 4 | d - диаметр | Круг |
| Круг через длину окружности | S = C² / (4π) | C - длина окружности | Круг |
| Сектор круга через радиус и угол | S = (1/2) × r² × α | r - радиус, α - угол в радианах | Сектор круга |
| Сектор круга через радиус и длину дуги | S = (1/2) × r × l | r - радиус, l - длина дуги | Сектор круга |
| Сегмент круга через радиус и угол | S = (1/2) × r² × (α - sin(α)) | r - радиус, α - центральный угол в радианах | Сегмент круга |
| Сегмент круга через радиус и хорду | S = r² × arccos((r-h)/r) - (r-h) × √(2rh - h²) | r - радиус, h - высота сегмента | Сегмент круга |
| Кольцо через внешний и внутренний радиусы | S = π × (R² - r²) | R - внешний радиус, r - внутренний радиус | Кольцо |
| Кольцо через средний радиус и ширину | S = 2π × r × w | r - средний радиус, w - ширина кольца | Кольцо |
| Эллипс через полуоси | S = π × a × b | a, b - большая и малая полуоси | Эллипс |
| Площадь поверхности куба | S = 6a² | a - ребро куба | Объемные тела |
| Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда | S = 2(ab + ac + bc) | a, b, c - измерения | Объемные тела |
| Площадь боковой поверхности цилиндра | S = 2πrh | r - радиус основания, h - высота | Объемные тела |
| Площадь полной поверхности цилиндра | S = 2πr(r + h) | r - радиус основания, h - высота | Объемные тела |
| Площадь боковой поверхности конуса | S = πrl | r - радиус основания, l - образующая | Объемные тела |
| Площадь полной поверхности конуса | S = πr(r + l) | r - радиус основания, l - образующая | Объемные тела |
| Площадь поверхности шара (сферы) | S = 4πr² | r - радиус шара | Объемные тела |
| Площадь шарового сегмента | S = 2πrh | r - радиус шара, h - высота сегмента | Объемные тела |
| Площадь боковой поверхности правильной призмы | S = P × h | P - периметр основания, h - высота | Объемные тела |
| Площадь боковой поверхности правильной пирамиды | S = (1/2) × P × l | P - периметр основания, l - апофема | Объемные тела |
| Площадь боковой поверхности усеченного конуса | S = π(r₁ + r₂)l | r₁, r₂ - радиусы оснований, l - образующая | Объемные тела |
| Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды | S = (1/2)(P₁ + P₂) × l | P₁, P₂ - периметры оснований, l - апофема | Объемные тела |
| Правильный n-угольник через сторону | S = (n × a²) / [4 × tg(π/n)] | n - количество сторон, a - длина стороны | Многоугольники |
| Правильный n-угольник через радиус описанной окружности | S = (n × R² × sin(2π/n)) / 2 | n - количество сторон, R - радиус описанной окружности | Многоугольники |
| Правильный n-угольник через радиус вписанной окружности | S = n × r² × tg(π/n) | n - количество сторон, r - радиус вписанной окружности | Многоугольники |
| Правильный пятиугольник через сторону | S = (a² × √(25 + 10√5)) / 4 | a - сторона | Многоугольники |
| Правильный шестиугольник через сторону | S = (3√3 × a²) / 2 | a - сторона | Многоугольники |
| Формула Пика для многоугольника на клетчатой бумаге | S = В + Г/2 - 1 | В - узлы внутри, Г - узлы на границе | Специальные |
| Криволинейная трапеция (определенный интеграл) | S = ∫[a,b] f(x)dx | f(x) - функция, [a,b] - интервал | Специальные |
| Площадь через координаты вершин треугольника | S = (1/2)|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)| | (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) - координаты вершин | Специальные |
| Площадь треугольника через координаты (формула Гаусса) | S = (1/2)|x₁y₂ - x₂y₁ + x₂y₃ - x₃y₂ + x₃y₁ - x₁y₃| | (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) - координаты вершин | Специальные |
| Площадь многоугольника через координаты вершин | S = (1/2)|Σ(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)| | Суммирование по всем вершинам против часовой стрелки | Специальные |
| Площадь треугольника через векторное произведение | S = (1/2)|[AB × AC]| | AB, AC - векторы сторон | Специальные |
| Площадь параллелограмма через векторное произведение | S = |[AB × AD]| | AB, AD - векторы сторон | Специальные |
| Площадь в полярных координатах | S = (1/2)∫[α,β] r²(θ)dθ | r(θ) - радиус-вектор, [α,β] - интервал углов | Специальные |
| Площадь фигуры вращения (боковая поверхность) | S = 2π∫[a,b] f(x)√[1+(f'(x))²]dx | f(x) - функция, [a,b] - интервал | Специальные |
Площадь треугольника: формула и способы вычисления
Треугольник — одна из базовых геометрических фигур, и умение находить его площадь необходимо каждому школьнику. Существует несколько основных способов вычисления, каждый из которых применяется в зависимости от известных данных.
Классическая формула площади треугольника
Самый распространенный способ: S = (1/2) × a × h, где a — основание, h — высота, опущенная на это основание. Эта формула универсальна и работает для любых типов треугольников.
Пример: Если основание треугольника равно 8 см, а высота — 5 см, то площадь составит: S = (1/2) × 8 × 5 = 20 см²
Формула через две стороны и угол
Когда известны две стороны и угол между ними, используется формула: S = (1/2) × a × b × sin(γ). Этот метод особенно удобен в задачах, где высота неизвестна.
Формула Герона — площадь треугольника по трем сторонам
Если известны все три стороны треугольника, применяется формула Герона: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p — полупериметр, равный (a+b+c)/2. Эта формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского.
Прямоугольный треугольник: Площадь равна половине произведения катетов: S = (1/2) × a × b. Это самый простой случай, так как катеты перпендикулярны друг другу.
Площадь равностороннего треугольника
Для правильного треугольника со стороной a используется специальная формула: S = (a² × √3) / 4. У такого треугольника все стороны равны, а все углы составляют 60°.
Площадь прямоугольника и квадрата: формулы и примеры
Прямоугольник — одна из простейших фигур, изучаемая уже в начальной школе. Его площадь находится по формуле: S = a × b, где a — длина, b — ширина.
Формула площади прямоугольника: от 3 до 5 класса
В 3-4 классе школьники учатся находить площадь, умножая длину на ширину. В 5 классе формула закрепляется через решение более сложных задач, включая вычисления в квадратных метрах и других единицах измерения.
Дополнительные способы:
- Через диагональ и сторону: S = a × √(d² - a²)
- Через диагонали и угол между ними: S = (1/2) × d² × sin(α)
Площадь квадрата
Квадрат — частный случай прямоугольника с равными сторонами. Его площадь вычисляется по формуле: S = a². Также можно найти площадь через диагональ: S = d² / 2.
Практический совет: Чтобы найти площадь в квадратных метрах, убедитесь, что стороны измерены в метрах. Например, комната 5 м × 4 м имеет площадь 20 м².
Площадь трапеции и параллелограмма: формулы для четырехугольников
Формула площади трапеции
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет. Площадь находится по формуле: S = (1/2) × (a + b) × h, где a и b — основания, h — высота.
Альтернативный способ — через среднюю линию: S = m × h, где m — средняя линия трапеции (среднее арифметическое оснований).
Пример: Трапеция с основаниями 5 см и 7 см и высотой 4 см имеет площадь: S = (5 + 7) / 2 × 4 = 24 см²
Площадь параллелограмма
Параллелограмм — четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами. Его площадь вычисляется двумя основными способами:
- Через основание и высоту: S = a × h
- Через две стороны и угол: S = a × b × sin(α)
Эти формулы изучаются в 8 классе вместе с другими четырехугольниками.
Площадь ромба и круга: специальные случаи
Формула площади ромба
Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Самый удобный способ найти его площадь — через диагонали: S = (1/2) × d₁ × d₂, где d₁ и d₂ — диагонали, которые перпендикулярны друг другу.
Также можно использовать формулу через сторону и высоту (S = a × h) или через сторону и угол (S = a² × sin(α)).
Площадь круга: основная формула
Круг — множество точек, равноудаленных от центра. Площадь круга вычисляется по формуле: S = π × r², где r — радиус, π ≈ 3,14159.
Важно различать:
- Окружность — это линия (граница круга)
- Круг — это вся область внутри окружности
- Длина окружности: C = 2πr
- Площадь круга: S = πr²
Если известен диаметр вместо радиуса, используйте формулу: S = πd² / 4.
Формулы площади для 8 класса: систематизация знаний
В 8 классе изучается большинство формул площадей плоских фигур. Это ключевой этап в геометрическом образовании, когда закладывается понимание методов вычисления площадей.
Основные темы курса геометрии 8 класса
Программа включает:
- Площадь параллелограмма: S = a × h
- Площадь треугольника: S = (1/2) × a × h и другие формулы
- Площадь трапеции: S = (1/2) × (a + b) × h
- Теорема Пифагора и ее применение к вычислению площадей
- Формулы через синус угла для различных фигур
Связь между формулами
Все формулы четырехугольников связаны между собой. Например, прямоугольник — частный случай параллелограмма, квадрат — частный случай ромба и прямоугольника одновременно. Понимание этих связей помогает лучше запомнить формулы.
Формула Пика: площадь многоугольника на клетчатой бумаге
Формула Пика — элегантный способ найти площадь многоугольника, вершины которого находятся в узлах клетчатой бумаги. Это один из самых красивых результатов в элементарной геометрии.
Формула Пика: S = В + Г/2 - 1
- В — количество узлов решетки внутри многоугольника
- Г — количество узлов на границе (включая вершины)
- S — площадь в единичных квадратах
Применение формулы Пика
Эта формула особенно полезна на экзаменах (ОГЭ, ЕГЭ) при решении задач с фигурами на клетчатой бумаге. Она позволяет быстро найти площадь без сложных вычислений.
Пример: Многоугольник имеет 7 узлов внутри и 10 узлов на границе. Площадь: S = 7 + 10/2 - 1 = 7 + 5 - 1 = 11 квадратных единиц.
Формула была доказана австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году и применима только для многоугольников с вершинами в узлах решетки.
Площадь поверхности: формулы для объемных тел
Для объемных геометрических тел вычисляется площадь поверхности — сумма площадей всех граней или боковой поверхности.
Формулы для основных тел
- Куб: S = 6a² (где a — ребро)
- Параллелепипед: S = 2(ab + ac + bc)
- Цилиндр (боковая): S = 2πrh
- Цилиндр (полная): S = 2πr(r + h)
- Конус (боковая): S = πrl
- Шар: S = 4πr²
Эти формулы изучаются в курсе стереометрии 10-11 классов и применяются при решении практических задач в физике и технике.
Практические советы по вычислению площади
Как выбрать правильную формулу
При решении задачи важно правильно определить, какие данные известны:
- Определите тип фигуры (треугольник, прямоугольник, трапеция и т.д.)
- Выясните, какие элементы известны (стороны, углы, высота, диагонали)
- Выберите подходящую формулу из доступных вариантов
- Проверьте единицы измерения — они должны быть одинаковыми
- После вычисления проверьте разумность результата
Единицы измерения площади
Важно помнить:
- Если стороны в метрах — площадь в м²
- Если стороны в сантиметрах — площадь в см²
- 1 м² = 10 000 см²
- 1 км² = 1 000 000 м²
Часто задаваемые вопросы о формулах площади
Заключение
Знание формул площади геометрических фигур — необходимый навык для успешного изучения математики и решения практических задач. От простейших формул для прямоугольника и квадрата до сложных вычислений с использованием формулы Герона или формулы Пика — каждый метод имеет свою область применения. Регулярная практика и понимание логики формул помогут вам уверенно решать любые геометрические задачи на экзаменах и в повседневной жизни.
Отказ от ответственности: Данная статья носит исключительно образовательный и справочный характер. Все формулы соответствуют стандартной программе школьного курса геометрии. Информация предназначена для помощи в изучении математики и подготовке к экзаменам. Автор не несет ответственности за результаты применения формул в расчетах, требующих высокой точности.
Источники информации: Учебники по геометрии для 7-9 классов (Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др.), учебники для 10-11 классов, материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике, справочники по элементарной математике. Информация актуальна на ноябрь 2025 года.
