Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор считает объём и площадь поверхности шара — сплошного и полого (оболочки), площадь сечения произвольной плоскостью, массу по плотности материала и решает обратные задачи: по известному объёму или площади находит радиус и диаметр. Ниже — все формулы с выводом, таблица заполнения сферического резервуара, расчёт полости по массе и сквозной пример.
У шара всё определяется одним размером, поэтому любые две величины из таблицы однозначно пересчитываются друг в друга — на этом построен блок «Обратный расчёт» в калькуляторе.
Строгий вывод — интегрированием по дискам: режем шар плоскостями перпендикулярно оси, на расстоянии x от центра радиус диска равен √(r² − x²), и V = π∫(r² − x²)dx от −r до r = 4/3·π·r³. Архимед получил тот же результат за два тысячелетия до интегралов — сравнением с цилиндром (см. ниже) — и считал это своим главным достижением.
Запоминается просто: поверхность шара равна четырём его большим кругам. Между объёмом и площадью есть точная связь — S является производной объёма по радиусу (нарастили радиус на dr — добавили «плёнку» объёмом S·dr); этим тождеством наш тестовый стенд проверяет калькулятор на пяти тысячах случайных радиусов. Масштабный пример: у земного шара R = 6371 км, и S = 4π·6371² ≈ 510,1 млн км².
Шар — чемпион экономии: среди всех тел заданного объёма у него наименьшая поверхность. Поэтому капля в невесомости собирается в сферу, а сферические резервуары требуют меньше металла и теплоизоляции на кубометр продукта, чем любые другие.
Впишите шар в цилиндр (высота цилиндра равна диаметру шара). Тогда объём шара составляет ровно 2/3 объёма цилиндра — и, что удивительнее, площадь сферы равна тем же 2/3 полной поверхности цилиндра. Для контрольного шара: цилиндр вмещает 6,283 л против 4,189 л у шара. Эту пару Архимед завещал высечь на своём надгробии. В калькуляторе отношение выводится в блоке «Связанные тела» вместе с описанным кубом (2r)³ = 8,000 л и вписанным кубом 1,540 л.
Проектная задача: сферическая ёмкость на 200 л потребует радиуса r = ∛(3 · 0,2 / 4π) ≈ 0,363 м, то есть диаметра 72,6 см. Вторая формула решает то же по площади поверхности — например, по расходу краски или листа. Блок «Обратный расчёт» в правой колонке принимает объём в литрах, см³ и м³ или площадь в см², м² и мм² и выводит сразу радиус, диаметр и вторую величину.
Вкладка «Полый шар» считает объём материала стенки по внешнему R и внутреннему r радиусам, полость, обе поверхности и массу. Для тонкой стенки годится оценка m ≈ 4πR²·t·ρ (площадь × толщина × плотность): у оболочки D = 500 мм со стенкой 3 мм она даёт 18,5 кг против точных 18,28 кг — погрешность 1,2%. Но при толстой стенке оценка врёт: у шара 10/8 см она завышает массу на 23% — пользуйтесь точной формулой.
Обратная задача из практики литья: проверить отливку на скрытую полость. Чугунный шар диаметром 20 см обязан весить 30,16 кг, а весы показывают 25 кг. Объём металла в отливке m/ρ = 25/7200 ≈ 3472 см³ при полном объёме 4189 см³ — внутри полость на 717 см³. Та же логика работает для любых материалов из таблицы ниже.
Жидкость в шаровом резервуаре занимает шаровой сегмент: V = π·h²·(3R − h)/3, где h — высота налива. Зависимость от уровня нелинейна и симметрична относительно середины:
Края шкалы обманчивы сильнее, чем у горизонтального цилиндра: первая десятая часть диаметра вмещает менее трёх процентов продукта. Для тарировочных таблиц газгольдеров и шаровых ёмкостей используйте формулу сегмента, а не линейную пропорцию.
Для плавучести считается сила Архимеда F = ρж·g·V: шар диаметром 30 см, полностью погружённый в воду, выталкивается с силой 1000 · 9,81 · 0,01414 ≈ 138,7 Н — эквивалент 14,1 кг. Сравнение этой величины с весом и даёт запас плавучести поплавка или буя.
Дано: сферический поплавок, наружный диаметр 500 мм, сталь 3 мм. Найти массу и запас плавучести в воде.
1. Радиусы: R = 0,25 м; r = 0,247 м. 2. Объём металла: V = 4/3·π·(0,25³ − 0,247³) = 2328 см³. 3. Масса: m = 0,002328 · 7850 ≈ 18,3 кг. 4. Выталкивание при полном погружении: Vполн = 65,4 л → 65,4 кгс. 5. Запас плавучести: 65,4 − 18,3 ≈ 47,1 кгс (без учёта арматуры и сварных швов).
Шаги 1–3 калькулятор выполняет во вкладке «Полый шар», полный объём — там же отдельной строкой; раскрывающийся «Ход расчёта» показывает подстановку ваших чисел.
При изменении радиуса в k раз площадь меняется в k² раз, объём — в k³. Удвоили радиус — поверхность выросла вчетверо, вместимость в 8 раз; утроили — в 9 и 27. Отсюда и обратное правило: чтобы удвоить объём шара, радиус достаточно увеличить лишь в ∛2 ≈ 1,26 раза.
Шар — тело, сфера — его поверхность. Поэтому объём бывает только у шара, а площадь — у сферы (выражение «площадь поверхности шара» тоже корректно и означает то же самое). Запросы вида «объём поверхности шара» или «площадь круга шара» — терминологическая путаница: у поверхности нет объёма, а «круг шара» — это, как правило, большой круг, его площадь πr² калькулятор выводит отдельной строкой.
Известен только диаметр — как считать? По свёрнутой формуле V = π·d³/6. Для d = 24 см: V = π · 0,24³ / 6 = 7238 см³ ≈ 7,238 л. В калькуляторе достаточно переключить поле на «d».
Какой радиус у шара объёмом 1 литр? r = ∛(3 · 0,001 / 4π) ≈ 6,2 см. Литровый шар заметно компактнее, чем кажется, — следствие кубической зависимости. Блок «Обратный расчёт» решает это одним вводом.
Сколько весит стальной шарик диаметром 100 мм? V = π·0,1³/6 ≈ 524 см³, масса 0,000524 · 7850 ≈ 4,11 кг. Введите диаметр и плотность 7850 — калькулятор покажет массу отдельной группой.
Как проверить отливку на скрытую полость? Взвесьте деталь и сравните: объём полости = Vгеом − m/ρ. Пример с чугунным шаром разобран выше; для точного результата важно брать плотность именно вашей марки сплава.
Сколько продукта в шаровом резервуаре по уровню? Подставьте высоту налива в формулу сегмента V = π·h²·(3R − h)/3 или возьмите долю из таблицы. Линейная пропорция по уровню здесь ошибается сильнее, чем где-либо: на четверти диаметра она завышает остаток в полтора раза.
Почему фактическая масса полого шара не совпала с расчётной? Если считали тонкостенной оценкой 4πR²·t·ρ — при стенке толще пары процентов радиуса она заметно завышает (на шаре 10/8 см — на 23%). Считайте точной формулой через R и r; добавьте массу штуцеров, фланцев и швов.
Во сколько раз вырастет объём при увеличении радиуса вдвое? В 8 раз (2³), а площадь поверхности — в 4 раза (2²). Для уменьшения работает так же: половинный радиус — восьмая часть объёма.
ООО «Иннер Инжиниринг»