Калькулятор систем счисления

Калькулятор систем счисления переводит целые и дробные числа между любыми основаниями от 2 до 36 и сразу показывает решение — так, как его оформляют в тетради. Чаще всего нужно перевести число в систему счисления, которую проходят на уроках информатики: двоичная система счисления, восьмеричная или шестнадцатеричная. Для заданий ОГЭ и ЕГЭ здесь же складывают и делят в столбик, сравнивают числа из разных систем и получают число в десятичной системе счисления без ручных вычислений.

Позиционная система счисления: основание, алфавит, разряды

В позиционной записи значение цифры зависит от места, которое она занимает: в числе 333 первая тройка означает триста, последняя — просто три. Основание показывает, сколько цифр использует система и во сколько раз «весит» каждый следующий разряд. Набор допустимых цифр — алфавит системы счисления: в двоичной это 0 и 1, в шестнадцатеричной — 0–9 и латинские буквы A–F, где A = 10, а F = 15.

Запись числа через степени основания называют развёрнутой формой — по ней число из любой системы переводят в десятичную:

Десятичная система счисления привычна потому, что люди веками считали на пальцах. Восьмеричная система счисления сегодня встречается в основном в правах доступа Unix, а шестнадцатеричная нужна везде, где байты удобно записывать коротко.

Как перевести число в другую систему счисления

В десятичную — через развёрнутую форму

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления сводится к сложению весов: 101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Так же переводят из восьмеричной и шестнадцатеричной: FF₁₆ = 15·16 + 15 = 255.

Из десятичной — делением с остатком

Чтобы перевести десятичное число в двоичную систему счисления, его делят на 2, частное снова делят на 2 — пока не получится ноль. Остатки, прочитанные снизу вверх, и есть ответ: для 45 это 101101₂. Тем же способом можно перевести в систему счисления с любым основанием — делят на 8, 16 или, например, на 3.

Дробная часть — умножением

Дробную часть многократно умножают на основание и выписывают целые части произведений: 0,75 · 2 = 1,5 → 1; 0,5 · 2 = 1 → 1, значит, 0,75 = 0,11₂. Многие дроби при переводе становятся бесконечными: 0,1 = 0,0(0011)₂, где группа в скобках повторяется. Если в задании просят пять знаков после запятой, пишут 0,00011₂ — лишние цифры отбрасывают, а не округляют.

Между 2, 8 и 16 — группами по три и четыре бита

Поскольку 8 = 2³, а 16 = 2⁴, каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных (триада), а шестнадцатеричной — четвёрка (тетрада). Двоичную запись разбивают на группы справа налево, каждую заменяют одной цифрой:

Таблица систем счисления для чисел от 0 до 15

Сложение, вычитание и деление в столбик

Арифметика в любой позиционной системе устроена как в десятичной, только разряд «переполняется» на основании, а не на десяти. В двоичной 1 + 1 = 10₂: пишем 0, единицу переносим. Пример: 1101₂ + 1011₂ = 11000₂, в десятичной это 13 + 11 = 24.

При вычитании единица, занятая в старшем разряде, превращается в основание: в двоичной — в две единицы, в шестнадцатеричной — в шестнадцать. Деление уголком выглядит привычно: 110110₂ : 11₂ = 10010₂ без остатка, то есть 54 : 3 = 18.

Задания ОГЭ и ЕГЭ по информатике

В задании 10 ОГЭ из нескольких чисел, записанных в разных системах, выбирают наибольшее или наименьшее. Пример из методических рекомендаций ФИПИ: среди 23₁₆, 32₈ и 11110₂ максимальное — 23₁₆ = 35. Проверить можно без перевода: в 23₁₆ шесть значащих двоичных разрядов, а в двух других — по пять.

Встречаются и выражения: (A0₁₆ − 12₈) : 10₂ = (160 − 10) : 2 = 75. В задании 14 ЕГЭ результат переводят в систему с заданным основанием и считают цифры. Например, в двоичной записи 4²⁰²⁰ + 2²⁰¹⁷ − 15 ровно 2015 единиц: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰ даёт одну, а 2²⁰¹⁷ − 15 = (2²⁰¹⁷ − 2⁴) + 1 — ещё 2013 единиц подряд и одну в младшем разряде.

Римская система счисления

Римская система счисления — непозиционная система счисления: знак V означает пять, где бы он ни стоял. Значения складывают, а меньший знак перед большим вычитают, причём только в шести парах: IV, IX, XL, XC, CD, CM. Так получаются 1994 = M + CM + XC + IV = MCMXCIV и 2026 = MMXXVI.

Подряд пишут не больше трёх одинаковых знаков, поэтому числа в римской системе счисления без черты над буквами заканчиваются на 3999 = MMMCMXCIX. Четвёрка IIII на циферблатах — часовая традиция, по правилам 4 = IV. Нуля у римлян не было.

Частые вопросы

2 = 10₂: одна «пара» и ноль единиц. Для сравнения: 1 = 1₂, 3 = 11₂, 8 = 1000₂, 10 = 1010₂, 255 = 11111111₂.

Конечными в двоичной записи остаются только дроби, у которых знаменатель — степень двойки: 0,5, 0,25, 0,75. У 0,1 = 1/10 в знаменателе есть множитель 5, поэтому запись бесконечная и периодическая. По той же причине в большинстве языков программирования 0,1 + 0,2 даёт 0,30000000000000004.

Это требование к бланку ОГЭ: если получилось 35₁₀, в ответ пишут просто 35, без нижнего индекса. А слова «ответ запишите в десятичной системе счисления» значат, что в десятичную переводят сам результат, даже если исходные числа были двоичными.

Оно на единицу больше самой большой цифры. В записи 1203 есть тройка, значит, основание не меньше 4; число с буквой F возможно только начиная с шестнадцатеричной системы.

Одна шестнадцатеричная цифра заменяет четыре двоичных, и байт записывается всего двумя знаками: 11111111₂ = FF₁₆. Поэтому в шестнадцатеричном виде пишут цвета, адреса и коды символов — латинская A в таблице ASCII имеет код 65 = 41₁₆.

Электронная схема надёжно различает два состояния — есть сигнал или нет, поэтому данные хранятся цепочками нулей и единиц. Правила двоичной арифметики опубликовал Готфрид Лейбниц в 1703 году.

Система с основанием 3 и цифрами 0, 1 и 2: 10 = 101₃. На троичной логике в 1958 году в МГУ построили ЭВМ «Сетунь».