Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Компоновка классической четырёхзначной таблицы. Слева — две первые значащие цифры числа, сверху — третья. На пересечении стоит мантисса десятичного логарифма, умноженная на 10 000: запись 3010 означает 0,3010. Например, lg 2,00 = 0,3010, lg 5,67 = 0,7536, lg 9,99 = 0,9996. Для чисел вне диапазона от 1 до 10 мантисса та же, меняется только характеристика (таблица 5). Значения вычислены и округлены до четвёртого знака по правилу арифметического округления.
Поправки позволяют учесть четвёртую значащую цифру числа. Средняя разность — приращение мантиссы при переходе к соседнему столбцу таблицы 1, в единицах четвёртого знака. Поправка для цифры k равна k, умноженному на среднюю разность и делённому на 10, с округлением до целого. Пример: число 2,345 — по таблице 1 строка 23, столбец 4 даёт мантиссу 3692; поправка для цифры 5 в строке 23 равна 9; итог 3692 + 9 = 3701, то есть lg 2,345 = 0,3701. В верхних строках таблицы разности велики и интерполяция даёт заметный вклад, в нижних — поправки составляют одну-две единицы четвёртого знака. Сплошная проверка всех 8100 сочетаний строки, столбца и четвёртой цифры показала: поправка даёт точный результат в 72,6 % случаев, отклонение в одну единицу четвёртого знака — в остальных, отклонение в две единицы встречается трижды и только в первой строке таблицы.
Значения округлены до четвёртого знака после запятой. Натуральный логарифм единицы равен нулю, логарифм основания натуральных логарифмов ln e = 1 при e = 2,718281828. Для чисел, больших 100, используют разложение на множители и таблицу 4: ln 250 = ln 2,5 + ln 100 = 0,9163 + 4,6052 = 5,5215.
Таблица расширяет таблицу 3 на любой порядок величины: ln (a · 10k) = ln a + k · ln 10, где ln 10 = 2,302585. Тот же приём работает в обратную сторону для чисел меньше единицы: ln 0,004 = ln 4 − ln 1000 = 1,3863 − 6,9078 = −5,5215.
Мантисса десятичного логарифма зависит только от последовательности значащих цифр и берётся из таблицы 1 без изменений; характеристика определяется положением запятой. Для числа, большего единицы, характеристика на единицу меньше числа цифр в целой части. Для числа, меньшего единицы, характеристика отрицательна и по модулю равна номеру первой значащей цифры после запятой.
Шестизначные значения для расчётов, где четырёх знаков недостаточно. Сумма lg 2 + lg 5 равна единице точно, что удобно для контроля: 0,301030 + 0,698970 = 1,000000. Аналогично lb 2 = 1 и ln e = 1 по определению.
Величину lg e = 0,4342945 исторически называют модулем перехода и обозначают M; обратная к ней 1/M = ln 10 = 2,3025851. Общая формула перехода к произвольному основанию: loga x = ln x / ln a. Именно поэтому достаточно иметь таблицу логарифмов по одному основанию — остальные получаются умножением на постоянный множитель.
Свойства произведения и частного — то, ради чего логарифмические таблицы создавались: умножение сводится к сложению мантисс, деление — к вычитанию, возведение в степень — к умножению на показатель. Все соотношения справедливы при положительном основании, не равном единице, и положительном аргументе.
Таблица логарифмов остаётся рабочим инструментом там, где нужен быстрый порядковый расчёт, контроль результата, полученного на калькуляторе, или разбор задачи без вычислительной техники. Ниже — четырёхзначная таблица десятичных логарифмов для чисел от 1,00 до 9,99 в классической компоновке, таблица поправок для четвёртой значащей цифры, натуральные логарифмы целых чисел от 1 до 100, модули перехода между основаниями и полный набор свойств логарифмов. Все значения вычислены и округлены арифметически, а не сняты со сканов.
Четырёхзначная таблица занимает две страницы и покрывает бесконечное множество чисел. Работает это за счёт единственного свойства десятичного логарифма: при умножении числа на десять его логарифм увеличивается ровно на единицу, а дробная часть не меняется.
Разложение десятичного логарифма: lg (a · 10k) = k + lg a, где 1 ≤ a < 10
lg (a · 10k) = k + lg a
1 ≤ a < 10
Целая часть k — характеристика, дробная часть lg a — мантисса
k
lg a
Мантисса зависит только от последовательности значащих цифр. У чисел 5,67, 56,7, 567 и 56 700 мантисса одна и та же — 0,7536. Поэтому таблица содержит мантиссы лишь для диапазона от 1 до 10, а всё остальное получается сдвигом характеристики.
Строки таблицы 1 пронумерованы двузначными числами от 10 до 99 — это первые две значащие цифры аргумента. Столбцы от 0 до 9 задают третью значащую цифру. В ячейке стоит мантисса, умноженная на 10 000, без запятой и ведущего нуля: запись 3010 читается как 0,3010.
Проверка обратным ходом: 102,7536 = 102 · 100,7536 ≈ 100 · 5,670 = 567. Совпадение до четвёртой значащей цифры — предел точности четырёхзначной таблицы.
Характеристику в таблице не ищут — её определяют по положению запятой. Ошибка в характеристике даёт результат, отличающийся в целое число раз в десять; ошибка в мантиссе — расхождение в четвёртом знаке. Первую заметить проще, но случается она чаще.
Таблица 1 даёт мантиссы для трёх значащих цифр. Четвёртая учитывается поправкой из таблицы 2, построенной на линейной интерполяции внутри интервала между соседними столбцами.
Поправка для цифры k: pk = k · Δ / 10, где Δ — средняя табличная разность строки
pk = k · Δ / 10
Δ
Мантисса с четвёртой цифрой: M = Mтабл + pk
M = Mтабл + pk
Найти lg 2,345. Строка 23, столбец 4 таблицы 1 даёт мантиссу 3692. Средняя разность строки 23 равна 18,5; поправка для цифры 5 составляет 9. Итог: 3692 + 9 = 3701, то есть lg 2,345 = 0,3701. Точное значение 0,37014 — совпадение полное в пределах четырёх знаков.
Величина поправок сильно зависит от строки. В первой строке таблицы средняя разность составляет 41,6 единицы четвёртого знака, в последней — 4,4, то есть почти в десять раз меньше. Причина в том, что логарифмическая кривая круче всего вблизи единицы: одно и то же приращение аргумента даёт там наибольшее приращение логарифма.
Метод поправок приближённый по двум причинам: логарифм не линеен внутри интервала, а поправка считается по средней разности строки, а не по разности конкретной пары соседних столбцов. Сплошная проверка всех 8100 сочетаний показала, что отклонение не превышает двух единиц четвёртого знака: точное совпадение в 72,6 % случаев, отклонение в одну единицу почти во всех остальных. Две единицы встречаются лишь трижды и только в первой строке — наибольшее расхождение даёт lg 1,008, где поправка приводит к 0,0033 против точного 0,0035.
Для числа, меньшего единицы, характеристика отрицательна, а мантисса остаётся положительной. Это самое неудобное место классических таблиц и источник большинства ошибок.
Для 0,00567: 0,00567 = 5,67 · 10−3
0,00567 = 5,67 · 10−3
Логарифм: lg 0,00567 = −3 + 0,7536 = −2,2464
lg 0,00567 = −3 + 0,7536 = −2,2464
В старых изданиях такую запись оформляли как минус три с чертой над тройкой и мантиссой без знака. Смысл в том, что отрицательна только характеристика; мантисса по-прежнему берётся из таблицы без изменений. При переходе к обычной десятичной записи выполняется вычитание, и знак результата становится отрицательным целиком.
Правило для определения характеристики: она по модулю равна номеру позиции первой значащей цифры после запятой. У числа 0,00567 первая значащая цифра стоит на третьей позиции, характеристика равна минус трём. Соответствие диапазонов и характеристик сведено в таблицу 5.
Натуральный логарифм строится по основанию e = 2,718281828 — числу Эйлера. В отличие от десятичного, он не допускает трюка с характеристикой: при умножении аргумента на десять натуральный логарифм растёт не на единицу, а на ln 10 = 2,3025851. Поэтому таблица 3 составлена для целых чисел от 1 до 100, а выход за диапазон обеспечивается таблицей 4.
ln 250 = ln 2,5 + ln 100 = 0,9163 + 4,6052 = 5,5215. Точное значение 5,52146.
ln 0,004 = ln 4 − ln 1000 = 1,3863 − 6,9078 = −5,5215. Числа 250 и 0,004 взаимно обратны, поэтому логарифмы отличаются только знаком — удобная проверка.
Любой логарифм выражается через любой другой умножением на постоянный множитель. Множители сведены в таблицу 7. Исторически величину lg e = 0,4342945 называют модулем перехода и обозначают буквой M.
Общая формула перехода: loga x = ln x / ln a
loga x = ln x / ln a
Частные случаи: ln x = 2,3025851 · lg x и lg x = 0,4342945 · ln x
ln x = 2,3025851 · lg x
lg x = 0,4342945 · ln x
Полный перечень свойств приведён в таблице 8. Практическая ценность таблиц держится на трёх из них: логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного — разности, логарифм степени — произведению показателя на логарифм основания степени.
Вычислить 567 · 2,34 по таблице. lg 567 = 2,7536; lg 2,34 = 0,3692. Сумма 3,1228. Характеристика 3 задаёт порядок, мантиссе 1228 в таблице 1 отвечает число между 1,32 и 1,33. Результат около 1327. Прямое умножение даёт 1326,78 — расхождение менее сотой доли процента.
Обратный ход по таблице называют антилогарифмированием: по мантиссе находят последовательность значащих цифр, по характеристике — положение запятой. Именно так работали логарифмическая линейка и все механические вычислители до появления электронных калькуляторов.
Логарифм определён только для положительного аргумента при положительном основании, не равном единице. Логарифм нуля и отрицательного числа в области вещественных чисел не существует, а не равен нулю или бесконечности.
Четыре знака мантиссы обеспечивают относительную погрешность результата порядка одной сотой процента. Оценка следует прямо из дифференциала логарифма.
Связь погрешностей: Δ(lg x) = Δx / (x · ln 10), откуда Δx / x = 2,3026 · Δ(lg x)
Δ(lg x) = Δx / (x · ln 10)
Δx / x = 2,3026 · Δ(lg x)
При Δ(lg x) = 0,00005 относительная погрешность аргумента составляет около 0,00012, то есть примерно 0,012 %
Δ(lg x) = 0,00005
0,00012
Для инженерных прикидок, оценки порядков и проверки расчётов этого достаточно. Там, где требуется больше, применяют таблицы с большим числом знаков или прямое вычисление. В таблице 6 значения важнейших чисел приведены с шестью знаками именно на такой случай.
Полезный контроль правильности: сумма lg 2 и lg 5 равна единице точно, поскольку произведение двух и пяти равно десяти. Проверка по таблице 6 даёт 0,301030 + 0,698970 = 1,000000.
Разнобой в записи логарифмов — источник постоянной путаницы: в школьной литературе символ log без основания обычно означает десятичный логарифм, в высшей математике — натуральный, в информатике — двоичный. Международный стандарт ISO 80000-2:2019 «Величины и единицы. Часть 2. Математика» этот вопрос закрывает.
Стандарт содержит прямой запрет: запись log x не должна применяться вместо ln x, lg x, lb x или явных обозначений с указанием основания. То есть «log» без основания в значении конкретного логарифма — нарушение принятой международной нотации.
Там же зафиксировано значение основания натуральных логарифмов: e = 2,718281828, называемое числом Эйлера.
Прямого национального переиздания ISO 80000-2 нет. Ближайший действующий отечественный документ по этой теме — ГОСТ Р 54521-2011 «Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах», утверждённый приказом Росстандарта от 24 ноября 2011 года № 595-ст. Он подготовлен с учётом основных требований ИСО 80000-2 в редакции 2009 года.
Разница в редакциях существенна для точных ссылок: национальный стандарт гармонизирован с изданием 2009 года, тогда как действующее международное издание — 2019 года. При ссылке на конкретный пункт нотации корректнее указывать ISO 80000-2:2019.
Число приводят к виду «значащие цифры на порядок десяти». Характеристику определяют по положению запятой, мантиссу берут из таблицы 1: строка — первые две значащие цифры, столбец — третья. Четвёртую цифру учитывают поправкой из таблицы 2. Результат складывают: lg 567 = 2 + 0,7536 = 2,7536.
Потому что мантисса десятичного логарифма зависит только от последовательности значащих цифр. При умножении числа на десять логарифм растёт ровно на единицу, а дробная часть остаётся прежней. У чисел 5,67, 56,7 и 5670 мантисса одна — 0,7536.
Это мантисса, умноженная на 10 000, — приём для компактности. Запись 3010 читается как 0,3010, запись 0000 — как 0,0000 для числа 1,00.
Мантисса берётся из таблицы как обычно, характеристика становится отрицательной и по модулю равна номеру позиции первой значащей цифры после запятой. Для 0,00567 это минус три: lg 0,00567 = −3 + 0,7536 = −2,2464.
Основанием: lg — по основанию 10, ln — по основанию e = 2,718281828. Связаны постоянным множителем: ln x = 2,3025851 · lg x, lg x = 0,4342945 · ln x. Второй множитель исторически называют модулем перехода M.
Относительную погрешность около 0,012 % при округлении мантиссы до четвёртого знака. Этого достаточно для инженерных оценок и проверки расчётов, но недостаточно для задач, где значим пятый значащий разряд.
По ISO 80000-2:2019 — нет. Стандарт прямо запрещает использовать log x вместо ln x, lg x, lb x или обозначений с явно указанным основанием. Запись log x без основания допустима только там, где основание не имеет значения.
В области вещественных чисел — нет. Логарифм определён только для положительного аргумента при положительном основании, не равном единице. Это не ноль и не бесконечность, а отсутствие значения.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.