Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Значения округлены до четырёх знаков после запятой — это точность классических четырёхзначных математических таблиц, достаточная для инженерных расчётов. Угол в радианах приведён для перехода к машинным вычислениям: стандартные библиотеки языков программирования принимают аргумент именно в радианах. Прочерк «не определён» означает, что функция в этой точке не существует: ctg 0° и tg 90° обращаются в бесконечность. Таблица покрывает первую четверть; значения для углов от 90° до 360° получают по формулам приведения из таблицы 5.
Десятичные эквиваленты радикалов: √2/2 = 0,7071; √3/2 = 0,8660; √3/3 = 0,5774; √3 = 1,7321. Запись √3/3 равносильна 1/√3 — вторая форма встречается в старых справочниках, но приведение к рациональному знаменателю предпочтительнее. В расчётах, где важна точность, эти углы подставляют радикалами, а не десятичными приближениями: накопленная ошибка округления в цепочке умножений заметно превышает погрешность единичного значения.
Значения получены из таблицы 2 по формулам приведения и проверены прямым вычислением. Обратите внимание на закономерность: модуль значения повторяет соответствующий угол первой четверти, меняется только знак — он определяется четвертью по таблице 4. Для углов больше 360° используют периодичность: у синуса и косинуса период 360°, у тангенса и котангенса — 180°.
Знак синуса совпадает со знаком ординаты точки на единичной окружности, знак косинуса — со знаком абсциссы. Тангенс и котангенс, будучи отношением этих величин, положительны там, где абсцисса и ордината одного знака, — то есть в первой и третьей четвертях. Знаки тангенса и котангенса в любой четверти совпадают между собой, поскольку эти величины взаимно обратны: их произведение равно единице, а значит, они не могут иметь разные знаки.
Все 28 соотношений таблицы проверены прямым вычислением. Правило, позволяющее не заучивать таблицу: при аргументах 90° ± α и 270° ± α название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс), при аргументах 180° ± α и 360° ± α название сохраняется. Знак результата берут по таблице 4 для той четверти, в которую попадает исходный аргумент, считая угол α острым.
Радиан — когерентная производная единица СИ, градус относится к внесистемным единицам, допущенным к применению наравне с единицами СИ. Переводной множитель: 1° = π/180 рад ≈ 0,0174533 рад, обратно 1 рад ≈ 57,2958°. Радиан ранее относили к дополнительным единицам СИ, но эта категория была упразднена в 1995 году, и с тех пор радиан считают безразмерной производной единицей.
Здесь k — любое целое число. Ограничения — это в точности те точки, где знаменатель обращается в нуль: у тангенса выпадают углы 90°, 270° и далее через 180°, у котангенса — 0°, 180° и далее через 180°. Запись sin²α означает (sin α)², а не синус от квадрата угла; такая форма записи степени допускается для тригонометрических функций при показателе не меньше двух.
Таблица синусов, косинусов и тангенсов остаётся рабочим инструментом там, где нужен быстрый контроль расчёта без калькулятора: при проверке геометрии узла, оценке усилий в стержне, разметке уклона. Ниже приведены значения sin, cos, tg и ctg для углов от 0° до 90° с шагом 1° и точные значения для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° в градусах и радианах, а также формулы приведения, позволяющие получить значение для любого угла от 90° до 360°. Все числа в таблицах вычислены с высокой точностью и округлены до четырёх знаков после запятой.
Таблица 1 построена по прямому принципу: строка соответствует углу в градусах, столбцы — четырём функциям. Дополнительный столбец с углом в радианах нужен для стыковки с вычислительными средствами: тригонометрические функции в стандартных библиотеках языков программирования и в электронных таблицах принимают аргумент в радианах, а не в градусах, и подстановка градусов напрямую — самая частая причина расхождения ручного и машинного расчёта.
Синус и косинус ограничены отрезком от −1 до 1; тангенс и котангенс принимают любые действительные значения.
Из таблицы видно основное свойство, связывающее синус и косинус: значение синуса угла равно значению косинуса дополняющего его до 90° угла. Синус 20° равен косинусу 70°, обе величины составляют 0,3420. Тангенс и котангенс связаны так же: tg 20° равен ctg 70°. Это соотношение позволяет вдвое сократить объём таблицы — в классических справочниках первый столбец углов читают сверху вниз, а второй, дополняющий до 90°, снизу вверх.
Крайние значения требуют внимания. При стремлении угла к 90° тангенс неограниченно возрастает: tg 89° уже равен 57,2900, а в самой точке 90° функция не определена. Симметрично ведёт себя котангенс вблизи нуля: ctg 1° равен тем же 57,2900, а ctg 0° не существует. В расчётах, где угол близок к этим границам, использовать тангенс или котангенс нецелесообразно — результат становится чрезмерно чувствительным к погрешности исходного угла.
В отечественной учебной традиции закрепились обозначения tg и ctg, в международной — tan и cot. Это не вопрос вкуса: он урегулирован нормативно. Национальный стандарт ГОСТ Р 54521-2011 действующий, разработанный с учётом требований международного стандарта серии ИСО 80000-2, в разделе «Тригонометрические и гиперболические функции» устанавливает основными обозначениями tan x и cot x и указывает, что обозначений tg x и ctg x по возможности следует избегать. То же относится к обратным функциям: предпочтительны arctan и arccot, а не arctg и arcctg. Действующая редакция международного стандарта, выпущенная в 2019 году, содержит аналогичные пометки при tan и cot.
Важно понимать статус этих указаний. И национальный, и международный документ формулируют их как рекомендацию, а не как запрет: применение tg и ctg не является нарушением. Разница ощутима при сравнении с соседним разделом того же международного стандарта, посвящённым логарифмам: там употребление записи log вместо ln, lg и lb сформулировано в категоричной форме, тогда как для tg и ctg использована смягчённая. Отсюда и практика: обозначения tg и ctg продолжают встречаться в действующей отечественной технической литературе, тогда как для логарифмов подобных вольностей уже не допускают.
Практический вывод: в школьных и вузовских задачах запись tg и ctg остаётся привычной и корректной, но в конструкторской документации, стандартах и материалах, ориентированных на международное обращение, предпочтительны tan и cot. В таблицах этой статьи сохранена традиционная запись как более узнаваемая для читателя, что не отменяет нормативной рекомендации.
Стандарт задаёт и оформление записи. Обозначения функций набирают прямым шрифтом, а не курсивом: курсив зарезервирован за переменными и параметрами. Аргумент указывают в круглых скобках сразу после символа функции без пробела; если имя функции состоит из нескольких букв, а в аргументе нет знаков арифметических операций, скобки допускается опускать, оставляя небольшой пробел. Запись степени в форме sin²x для показателя не меньше двух стандартом допускается как распространённая.
При ссылках на нормативную базу учитывайте разницу редакций. ГОСТ Р 54521-2011 разработан с учётом международного стандарта в редакции 2009 года; сама эта редакция на международном уровне отменена и заменена редакцией 2019 года (издание второе, с исправленной версией 2021 года). На обозначения тригонометрических функций расхождение не влияет — в обеих редакциях основными приняты tan и cot, — но при цитировании международного документа год указывать обязательно.
Определения функций в стандарте заданы через базовые соотношения: косинус выражается через синус сдвигом на π/2, тангенс — как отношение синуса к косинусу, котангенс — как величина, обратная тангенсу, секанс и косеканс — как обратные к косинусу и синусу соответственно. Для обратных функций стандарт фиксирует области значений: для арксинуса это отрезок от −π/2 до π/2, для арккосинуса — от 0 до π, для арктангенса — интервал от −π/2 до π/2, для арккотангенса — интервал от 0 до π. Без этих ограничений обратные функции были бы многозначными.
Единицы плоского угла регулирует межгосударственный стандарт ГОСТ 8.417 «Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин». Актуальна редакция 2024 года: ГОСТ 8.417-2024 введён в действие на территории Российской Федерации с 30 сентября 2024 года приказом Росстандарта и заменил редакцию 2002 года. Ссылки на ГОСТ 8.417-2002 в документации после этой даты требуют актуализации.
π/180
180/π
град + мин/60 + сек/3600
Числа 57,2958 и 57,2900 близки, но относятся к разным величинам и не взаимозаменяемы. Первое — количество градусов в одном радиане. Второе — значение ctg 1° (оно же tg 89°). Совпадение первых трёх значащих цифр случайно и регулярно приводит к подстановке не того числа.
Для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° значения функций выражаются через радикалы точно, и в аналитических выкладках подставлять следует именно их, а не десятичные приближения из таблицы 1. Разница проявляется в цепочечных вычислениях: округление на каждом шаге накапливается, тогда как радикалы взаимно сокращаются и дают точный результат.
Простой способ восстановить строку синусов: последовательность значений для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° записывается как квадратные корни из 0, 1, 2, 3 и 4, делённые пополам. Косинусы дают ту же последовательность в обратном порядке. Отсюда сразу получаются и тангенсы как отношение соответствующих элементов.
Углы, кратные 30° и 45°, за пределами первой четверти сведены в таблицу 3. Модуль значения там всегда повторяет соответствующий угол первой четверти — меняется только знак. Например, синус 150° по модулю равен синусу 30°, поскольку 150° = 180° − 30°, а знак синуса во второй четверти положителен.
Таблица значений покрывает только первую четверть, и этого достаточно: любой угол сводится к острому. Порядок действий одинаков для всех случаев.
Для отрицательных углов дополнительно применяют чётность: косинус — чётная функция, поэтому знак аргумента можно отбросить; синус, тангенс и котангенс нечётны, и минус выносится наружу.
Шаг таблицы составляет 1°, а на практике углы редко оказываются целыми. Для промежуточных значений применяют линейную интерполяцию: на отрезке в один градус синус и косинус меняются практически линейно, и погрешность такого приближения лежит за пределами четвёртого знака.
f(α) ≈ f(α₁) + (f(α₂) − f(α₁)) · (α − α₁) / (α₂ − α₁)
Линейная интерполяция теряет пригодность для тангенса и котангенса вблизи их разрывов. На участке от 85° до 90° тангенс растёт нелинейно, и промежуточные значения там нужно вычислять напрямую, а не по соседним строкам таблицы.
Четыре знака после запятой — исторически сложившийся формат математических таблиц, достаточный для абсолютного большинства инженерных задач. Максимальная погрешность округления составляет половину единицы последнего разряда, то есть 0,00005; для значений синуса и косинуса в середине диапазона это соответствует относительной погрешности порядка сотых долей процента.
При шаге в один градус ни одна пара соседних строк таблицы не даёт совпадающих округлённых значений — четырёх знаков хватает, чтобы различить любые два соседних угла по каждой из четырёх функций. Однако запас по разрядности распределён крайне неравномерно, и это определяет границы применимости.
Отсюда следует главное ограничение — оно касается не прямой задачи, а обратной. Найти синус угла по таблице одинаково надёжно в любой её части. А вот восстановить угол по известному значению синуса вблизи 90° практически невозможно: на весь участок от 89° до 90° приходится всего две единицы четвёртого знака, и погрешность исходных данных в одну такую единицу превращается в неопределённость угла порядка половины градуса. Симметрично ведёт себя косинус вблизи нуля. В подобных задачах угол следует определять через ту функцию, которая в данной области меняется быстро: вблизи 90° — через косинус, вблизи 0° — через синус.
Вторая зона осторожности — окрестности разрывов тангенса и котангенса. Там абсолютная погрешность растёт вместе со значением самой функции: разность между tg 88° и tg 89° составляет почти 29 единиц, и линейная интерполяция внутри этого интервала уже недопустима.
Практическое следствие для расчётов: если задача сводится к вычислению малой разности близких величин, таблицу использовать не следует. В таких случаях переходят либо к аналитическим преобразованиям, либо к прямому вычислению с большей разрядностью.
Для 30°: sin = 1/2, cos = √3/2 ≈ 0,8660, tg = √3/3 ≈ 0,5774. Для 45°: sin = cos = √2/2 ≈ 0,7071, tg = 1. Для 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3 ≈ 1,7321. Для 0°: sin = 0, cos = 1, tg = 0. Для 90°: sin = 1, cos = 0, тангенс не определён.
Тангенс определён как отношение синуса к косинусу. При 90° косинус обращается в нуль, и деление становится невозможным. По той же причине не определён котангенс при 0° и 180°: там в нуль обращается синус. В таблицах эти позиции оставляют пустыми либо помечают как неопределённые.
По формулам приведения из таблицы 5. Угол представляют в виде 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α или 360° − α с острым α. При опорных направлениях 90° и 270° функция меняется на кофункцию, при 180° и 360° название сохраняется. Знак результата определяют по четверти исходного угла.
Нормативно предпочтительны tan и cot: ГОСТ Р 54521-2011 указывает, что обозначений tg и ctg по возможности следует избегать, аналогичная пометка есть и в действующей редакции международного стандарта серии ИСО 80000-2. Это рекомендация, а не запрет: применение tg и ctg ошибкой не является. В учебной практике они остаются общеупотребительными, в технической документации предпочтительнее tan и cot.
Умножить значение угла на π/180. Один градус равен приблизительно 0,0174533 рад, один радиан — приблизительно 57,2958°. Для ходовых углов готовые значения приведены в таблице 6. Радиан — единица СИ, градус относится к внесистемным единицам, допущенным к применению наравне с единицами СИ по ГОСТ 8.417-2024.
Линейной интерполяцией между соседними строками. Минуты переводят в доли градуса делением на 60, затем берут соответствующую долю разности соседних табличных значений. Для 24°30′: sin 24° = 0,4067, sin 25° = 0,4226, разность 0,0159, половина — 0,0080, результат 0,4147.
Из-за соотношения между функциями дополнительных углов: синус угла равен косинусу угла, дополняющего его до 90°. Поэтому столбец синусов, прочитанный снизу вверх, совпадает со столбцом косинусов, прочитанным сверху вниз. То же справедливо для пары тангенс — котангенс.
Любые действительные числа. В отличие от синуса и косинуса, ограниченных отрезком от −1 до 1, тангенс и котангенс не ограничены: при приближении угла к 90° тангенс неограниченно возрастает, что видно по строке 89°, где он равен 57,2900.
В окрестностях экстремумов и разрывов. Вблизи 0° косинус и вблизи 90° синус меняются настолько медленно, что несколько соседних строк округляются до одного значения. Вблизи 90° для тангенса и вблизи 0° для котангенса, наоборот, значения растут скачкообразно. В этих зонах вместо таблицы следует вычислять напрямую.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.