Колебания маятника: расчёт периода и частоты онлайн — формула, длина, энергия

Маятник в этом тренажёре живой: тянешь груз мышью на любой угол, отпускаешь — и колебания маятника разворачиваются с честной нелинейной физикой, фазовым портретом и балансом энергии. Здесь математический маятник считается сразу двумя способами — школьной формулой и точным эллиптическим интегралом, поэтому видно, где именно ломается изохронизм. Рядом работают пружинный маятник, физический стержень с приведённой длиной и двойная система, у которой две трассы стартуют с разницей в тысячную градуса и разлетаются на глазах. Каждый расчёт можно выгрузить в Word или Excel с формулами и источниками.

Четыре машины колебаний: шпаргалка

Формула маятника у каждого типа своя; кнопка справа включает готовый урок в тренажёре выше.

Период маятника: считаем на секундном

Классическая формула Гюйгенса связывает период только с длиной подвеса и ускорением свободного падения:

Это секундный маятник — каждый мах занимает ровно секунду, и в 1644 году Мерсенн измерил его длину как кандидата в эталон метра. Обратная задача решается в один ход: длина маятника L = gT²/4π², и встроенный подборщик делает это за вас. Масса маятника в формуле отсутствует — тяжёлый и лёгкий груз на одной нити качаются одинаково, потому что сила тяжести и инерция растут пропорционально. Секундный маятник Масса ×2

Изохронизм и его пределы: честные большие углы

Школьная формула молчит про размах, но природа — нет. Точный период колебаний математического маятника выражается полным эллиптическим интегралом:

При 10° поправка всего +0,19%, при 30° — уже 1,7%, а при размахе 90° точный период больше школьного на 18%. Тренажёр показывает оба числа на табло одновременно, и на осциллограмме видно, как растягивается каждый мах. Сломайте изохронизм сами и вылечите возвратом к малым углам. Сломать: 90° Вылечить: 10° Сепаратриса: 179°

Планеты: что чувствует нить и что — пружина

Перенесите опыт на Луну (g = 1,62 м/с²): нить замедлится в √(9,80665/1,62) = 2,46 раза, и маятниковые часы начнут безнадёжно отставать. Пружинный маятник на смену планеты не отреагирует вовсе: в T = 2π√(m/k) ускорения свободного падения просто нет, поэтому морские хронометры делали пружинными. Заодно тренажёр знает g Москвы — 9,8156 м/с² по данным БРЭ — и школьное округление g = 10, чтобы было видно, откуда в задачнике берётся расхождение около процента. Если пружина зацепила, рядом живут тренажёр закона Гука с жёсткостью и энергией деформации и универсальный калькулятор пружин для подбора реальной витой пружины под нагрузку. Нить на Луне Пружина на Луне

Физический маятник: приведённая длина

Когда качается не точка, а тело, работает физический маятник: T = 2π√(I/(mgd)). Для однородного стержня на оси через конец момент инерции I = mL²/3, плечо d = L/2, и период стержня длиной 2 м выходит 2,317 с. Приведённая длина l_пр = I/(md) = 2L/3 = 1,333 м — это длина воображаемой нити с тем же периодом, и тренажёр рисует её меткой прямо на стержне: переключитесь на нить 1,333 м и убедитесь, что табло не дрогнет. Стержень 2 м

Затухание: декремент, добротность, апериодика

Реальные качели останавливаются. Линейное вязкое трение сжимает амплитуду маятника по экспоненте e^−βt — огибающая рисуется на осциллограмме пунктиром, а частота маятника слегка падает: ω = √(ω₀² − β²). Добротность Q = ω₀/2β и логарифмический декремент λ = βT определены в ГОСТ 24346-80; грубое правило — система совершает около Q/π колебаний, пока амплитуда тает в e раз. При β ≥ ω₀ колебаний нет вовсе: апериодический возврат, которым настраивают стрелочные приборы. Апериодика

Двойной маятник: наглядный хаос

Двойной маятник — два звена и никакой формулы периода: уравнения из лагранжиана решаются только численно (RK4 с контролем дрейфа энергии). Тренажёр запускает две системы с разницей стартового угла 0,001°: яркую и призрак. Сначала трассы неотличимы, затем расхождение растёт экспоненциально — это положительный показатель Ляпунова, измеренный экспериментально ещё в 1992 году. Отсюда честный вывод: энергия маятника сохраняется, уравнения известны, а долгосрочный прогноз траектории невозможен принципиально. Больше интерактивных моделей собрано в разделе симуляторы inner.su; из смежных решателей рекомендуем законы Кирхгофа онлайн. Запустить хаос Хаос у вертикали

Маятник Фуко: почему поворачивается плоскость

Маятник Фуко качается в неподвижной плоскости — поворачивается под ним Земля. Период полного оборота плоскости равен 24 ч / sin φ, где φ — широта: на полюсе ровно сутки, на экваторе эффекта нет. Для Парижа (48°51′) выходит 31,9 часа — именно столько наматывает шар в Пантеоне, где Фуко показал опыт публике в 1851 году. Справка с формулой встроена в разбор тренажёра.

Частые вопросы

От чего зависит период колебаний маятника?

У нити — от длины и от g: T = 2π√(L/g); при больших углах добавляется амплитуда маятника. У пружины — только от массы и жёсткости.

Влияет ли масса на период?

На нити — нет: масса сокращается. На пружине — да, T растёт как √m: удвоили груз — период вырос в 1,41 раза.

Какая формула периода маятника точная?

Для любых углов — через эллиптический интеграл T = 4√(L/g)·K(sin(θ₀/2)); школьная 2π√(L/g) — её предел при малых углах.

Что показывают частота и циклическая частота?

Частота f = 1/T — колебаний в секунду (Гц); циклическая ω = 2πf — радиан в секунду. Обе определены в ISO 80000-3, тренажёр выводит их рядом.

Что такое приведённая длина?

Длина математического маятника с тем же периодом, что у данного тела: l_пр = I/(md). У стержня на конце это две трети его длины.

Почему двойной маятник непредсказуем?

Система детерминирована, но чувствительна: погрешность старта растёт экспоненциально, и через несколько характерных времён от неё не спасает никакая точность измерений.