Что такое критерий Мизеса

04.06.2026
Инженерные термины и определения

Критерий Мизеса — энергетическая теория прочности, согласно которой пластическая текучесть в материале наступает, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает критического значения. Этот критерий лежит в основе расчётов на прочность пластичных металлов и встроен во все современные программы конечно-элементного анализа.

Что такое критерий Мизеса

Критерий Мизеса (также известен как четвёртая теория прочности, критерий Губера–Мизеса–Генки, теория энергии формоизменения) — условие наступления пластической текучести при сложном напряжённом состоянии. Сформулирован М. Губером (1904), Р. фон Мизесом (1913) и обоснован энергетически Г. Генки (1924).

Суть: материал переходит в пластическое состояние, когда эквивалентное напряжение по Мизесу достигает предела текучести при одноосном растяжении σт.

Критерий Мизеса формула через главные напряжения:

σ_экв = √[½·((σ₁−σ₂)² + (σ₂−σ₃)² + (σ₃−σ₁)²)]

Условие пластичности: σ_экв ≥ σ_т, где σт — предел текучести материала по ГОСТ 1497-84 / ISO 6892-1:2019.

Формула через компоненты тензора напряжений

В произвольной декартовой системе координат:

σ_экв = √[½·((σx−σy)² + (σy−σz)² + (σz−σx)² + 6(τxy² + τyz² + τzx²))]

Это та самая величина, которую программы МКЭ (ANSYS, Abaqus, NX Nastran) выводят на эпюрах под обозначением Von Mises Stress или SEQV.

Как работает критерий: физический смысл

Тензор напряжений раскладывается на две части: шаровую (гидростатическое давление, меняет объём) и девиаторную (вызывает изменение формы). Критерий Мизеса утверждает, что текучесть зависит только от девиаторной составляющей.

Энергия формоизменения

Удельная потенциальная энергия деформации делится на:

Энергию изменения объёма — от гидростатического давления, не вызывает текучести в пластичных металлах.
Энергию формоизменения u_ф — связана с искажением формы элемента, ответственна за пластическое течение.

Условие наступления текучести: u_ф = u_ф,пред, где предельное значение определяется опытом на одноосное растяжение.

Геометрическая интерпретация

В пространстве главных напряжений поверхность Мизеса — это круговой цилиндр с осью вдоль гидростатической прямой σ₁ = σ₂ = σ₃. Радиус цилиндра равен σт·√(2/3).

Сравнение с критерием Треска

Главный конкурент Мизеса — критерий Треска (третья теория прочности, теория максимальных касательных напряжений): текучесть наступает при τ_max = σт/2.

Параметр	Мизес	Треска
Физическая основа	Энергия формоизменения	Максимальное касательное напряжение
Эквивалентное напряжение	σэкв через все σi	σэкв = σ₁ − σ₃
Поверхность текучести	Круговой цилиндр	Правильная шестигранная призма
Предел текучести при сдвиге	τт = σт/√3 ≈ 0,577·σт	τт = σт/2 = 0,500·σт
Сложность вычислений	Гладкая функция	Кусочно-линейная (углы)
Совпадение с экспериментом	Лучше для пластичных металлов	Консервативнее на 15,5%

Поверхности совпадают в точках одноосного растяжения, сжатия и трёхосного нагружения; максимальное расхождение — около 15,5% при чистом сдвиге.

Область применения критерия Мизеса

Критерий Мизеса применим для материалов, у которых выполняется условие пластической изотропии и независимости текучести от гидростатического давления.

Где работает хорошо

Конструкционные стали — углеродистые и легированные в области пластичности.
Цветные сплавы — алюминиевые, медные, латуни.
Никелевые и титановые сплавы в условиях пластического деформирования.
Расчёт сосудов давления по ГОСТ Р 52857.1-2007, ASME BPVC Section VIII.
МКЭ-моделирование упругопластических задач.

Где применять нельзя или с осторожностью

Хрупкие материалы — чугун, керамика, бетон (используются теории Мора, Друкера–Прагера).
Анизотропные материалы — композиты, прокат с выраженной текстурой (применяется критерий Хилла).
Грунты и сыпучие среды — где важно гидростатическое давление.
Хрупкое разрушение — для расчёта по предельной прочности используется первая теория (наибольших нормальных напряжений).

Преимущества и недостатки

Преимущества:

Гладкая поверхность текучести — удобна для численных методов и сходимости решений МКЭ.
Точнее Треска для пластичных металлов (подтверждено экспериментами Лоде, Тейлора, Куинни).
Учитывает все три главных напряжения, а не только два крайних.
Универсальная единая формула для любого напряжённого состояния.

Недостатки:

Не учитывает разносопротивляемость растяжению и сжатию (важно для чугуна, бетона).
Не работает при доминирующем гидростатическом сжатии.
Не описывает анизотропию и эффект Баушингера без модификаций.

Применение в инженерных расчётах

В современной практике критерий Мизеса используется как стандарт для оценки прочности по пределу текучести.

Типовые задачи

Расчёт сосудов и трубопроводов на внутреннее давление — формула Лямé с проверкой по σэкв.
Валы при изгибе с кручением — σэкв = √(σ² + 3τ²) (частный случай формулы Мизеса).
Болтовые и сварные соединения при комбинированных нагрузках.
МКЭ-анализ: эпюра «Von Mises Stress» — стандартный результат расчёта в SolidWorks Simulation, ANSYS Mechanical, Abaqus.
Оценка запаса прочности: n = σт / σэкв ≥ [n], где [n] — нормативный коэффициент запаса.

Частые вопросы

Что такое эквивалентное напряжение по Мизесу?

Это скалярная величина, заменяющая сложное напряжённое состояние одноосным растяжением с тем же запасом по текучести. Сравнивается напрямую с пределом текучести σт.

Чем критерий Мизеса лучше Треска?

Мизес точнее описывает текучесть пластичных металлов (особенно при чистом сдвиге, где Треска даёт ошибку до 15,5%) и даёт гладкую поверхность, удобную для МКЭ. Треска проще, консервативнее и применяется в нормативных расчётах сосудов давления.

Как рассчитать σэкв для вала при изгибе и кручении?

Используется упрощённая формула Мизеса для плоского напряжённого состояния: σэкв = √(σ² + 3τ²), где σ — нормальное напряжение от изгиба, τ — касательное от кручения.

Можно ли применять Мизеса к чугуну?

Нет. Чугун — хрупкий материал с разной прочностью на растяжение и сжатие. Применяют теорию Мора или модифицированную теорию максимальных нормальных напряжений.

Почему МКЭ-программы выводят именно Von Mises?

Гладкая выпуклая функция Мизеса численно устойчива, имеет однозначную производную (нормаль к поверхности текучести) и хорошо согласуется с экспериментом для большинства конструкционных металлов.

Критерий Мизеса — основной инструмент проверки прочности пластичных металлов при сложном напряжённом состоянии. Он сводит трёхмерное напряжённое состояние к единственному числу — эквивалентному напряжению, которое сравнивается с пределом текучести материала. Понимание физического смысла (энергия формоизменения), границ применимости и отличий от критерия Треска необходимо инженеру-расчётчику для корректного выбора методики и интерпретации результатов МКЭ-анализа.

Материал носит ознакомительный и образовательный характер. Автор не несёт ответственности за результаты практического применения изложенной информации без надлежащей проверки квалифицированным специалистом и сверки с действующей нормативно-технической документацией.

Появились вопросы?

Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.

Задать вопрос

Подшипники SKF -15%!

Bosсh Rexroth

Что такое критерий Мизеса

Что такое критерий Мизеса

Формула через компоненты тензора напряжений

Как работает критерий: физический смысл

Энергия формоизменения

Геометрическая интерпретация

Сравнение с критерием Треска

Область применения критерия Мизеса

Где работает хорошо

Где применять нельзя или с осторожностью

Преимущества и недостатки

Применение в инженерных расчётах

Типовые задачи

Частые вопросы