Что такое закон Пуазёйля

04.06.2026
Инженерные термины и определения

Закон Пуазёйля (закон Гагена–Пуазёйля) описывает объёмный расход вязкой несжимаемой жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Он устанавливает прямую пропорциональность расхода перепаду давления и четвёртой степени радиуса трубы. Закон лежит в основе расчётов трубопроводов малого диаметра, капиллярной вискозиметрии и микрофлюидики.

Что такое закон Пуазёйля в гидравлике

Закон сформулирован независимо немецким инженером Готхильфом Гагеном (1839) и французским врачом Жаном Луи Мари Пуазёйлем (1840–1841). Пуазёйль исследовал течение крови в капиллярах, Гаген — течение воды в тонких трубках. Закон описывает стационарное ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе круглого сечения.

Формула закона Гагена–Пуазёйля:
Q = π·R⁴·ΔP / (8·μ·L) = π·d⁴·ΔP / (128·μ·L),
где Q — объёмный расход (м³/с), R — радиус трубы, d — диаметр, ΔP — перепад давления на длине L, μ — динамическая вязкость (Па·с).

Зависимость расхода от радиуса в четвёртой степени

Ключевая особенность закона — сильная зависимость расхода от размера сечения. Удвоение диаметра увеличивает расход в 16 раз при том же перепаде давления. Поэтому даже небольшое сужение трубы (отложения, накипь) резко снижает её пропускную способность.

Как работает закон: вывод и физический смысл

Закон выводится из уравнений Навье–Стокса для осесимметричного стационарного течения. При установившемся режиме градиент давления уравновешивается силой вязкого трения, что даёт параболический профиль скоростей по сечению.

Распределение скорости по радиусу:
v(r) = (ΔP / 4μL)·(R² − r²);
v_max = ΔP·R² / (4μL) — на оси трубы;
v_ср = ΔP·R² / (8μL) = v_max / 2 — средняя скорость.

Связь с формулой Дарси–Вейсбаха

Закон Пуазёйля эквивалентен формуле потерь на трение по длине ΔP = λ·(L/d)·(ρ·v²/2) при ламинарном коэффициенте сопротивления λ = 64/Re. Это базовый результат для расчёта потерь напора в трубопроводах при ламинарном режиме.

Границы применимости закона

Закон справедлив только при соблюдении ряда условий:

Ламинарный режим: число Рейнольдса Re = ρ·v·d/μ < 2300 для круглой трубы.
Ньютоновская жидкость: вязкость не зависит от скорости сдвига.
Несжимаемость: плотность постоянна (для жидкостей выполняется почти всегда).
Стабилизированное течение: вдали от входа в трубу, после длины гидродинамического начального участка L_нач ≈ 0,06·Re·d.
Прямая труба постоянного сечения, без местных сопротивлений.
Изотермический поток без существенного теплообмена.

Виды задач, решаемых по закону Пуазёйля

Искомая величина	Расчётная формула	Применение
Объёмный расход Q	Q = π·d⁴·ΔP / (128·μ·L)	Пропускная способность капилляра
Перепад давления ΔP	ΔP = 128·μ·L·Q / (π·d⁴)	Гидравлический расчёт малых трубок
Диаметр трубы d	d = (128·μ·L·Q / (π·ΔP))^1/4	Проектирование линий низких расходов
Динамическая вязкость μ	μ = π·d⁴·ΔP / (128·L·Q)	Капиллярная вискозиметрия
Максимальная скорость v_max	v_max = ΔP·R² / (4μL)	Расчёт сдвиговых напряжений на стенке

Где применяется закон Гагена–Пуазёйля

Закон используется в инженерных и научных задачах, где течение остаётся ламинарным:

Капиллярная вискозиметрия: определение вязкости нефтепродуктов по ГОСТ 33-2016 (стеклянные вискозиметры типа ВПЖ, Уббелоде).
Гидравлика капиллярных и тонких трубопроводов: топливные жиклёры, дозирующие отверстия, дроссели в гидросистемах.
Микрофлюидика: расчёт каналов лабораторных чипов «лаборатория на чипе».
Медицинская физика: моделирование кровотока в мелких сосудах и капиллярах.
Фильтрация и пористые среды: при выводе закона Дарси через модель пучка капилляров.
Гидравлика смазочных систем: расчёт подачи масла в подшипниках и системах смазки.

Пример расчёта

Для воды (μ = 1,0·10⁻³ Па·с) в трубе d = 5 мм, L = 1 м при ΔP = 1000 Па расход составит:
Q = π·(0,005)⁴·1000 / (128·1,0·10⁻³·1) ≈ 1,53·10⁻⁵ м³/с ≈ 15,3 мл/с.
Средняя скорость v ≈ 0,78 м/с; Re = 1000·0,78·0,005/10⁻³ ≈ 3900 — режим уже турбулентный, закон неприменим. Это показывает важность проверки числа Рейнольдса перед использованием формулы.

Преимущества и ограничения закона

Сильные стороны

Простая аналитическая формула без эмпирических коэффициентов.
Высокая точность в диапазоне применимости (Re < 2300).
Лежит в основе абсолютных методов измерения вязкости.
Позволяет связать макроскопические параметры с молекулярной вязкостью.

Ограничения

Неприменим при турбулентном режиме — нужна формула Дарси–Вейсбаха с λ из диаграммы Муди.
Не учитывает потери на входе и местные сопротивления.
Не работает для неньютоновских жидкостей (полимерные растворы, суспензии).
Требует стабилизированного участка течения.

Частые вопросы

Почему расход зависит от радиуса в четвёртой степени?

Параболический профиль скоростей при интегрировании по сечению (πR²) даёт ещё одну степень R², а градиент скорости у стенки — также R². В итоге Q пропорционален R⁴. Это следствие совместного действия площади сечения и распределения скоростей.

При каком числе Рейнольдса работает закон?

При Re < 2300 для круглой трубы — это нижнее критическое число Рейнольдса, разделяющее ламинарный и переходный режимы.

Чем закон Пуазёйля отличается от формулы Дарси–Вейсбаха?

Закон Пуазёйля — частный случай формулы Дарси–Вейсбаха при ламинарном режиме с λ = 64/Re. Формула Дарси универсальна и применима также при турбулентности с λ из диаграммы Муди.

Какой профиль скоростей при ламинарном течении в круглой трубе?

Параболический. Скорость максимальна на оси и равна нулю у стенки. Средняя скорость составляет ровно половину максимальной.

Где применяется закон Гагена–Пуазёйля?

В капиллярной вискозиметрии (ГОСТ 33-2016), гидравлике дросселей и жиклёров, микрофлюидике, гемодинамике и при выводе закона Дарси для фильтрации в пористых средах.

Вывод. Закон Пуазёйля — фундаментальное соотношение гидродинамики ламинарного течения. Зависимость расхода от четвёртой степени диаметра требует особого внимания к точности изготовления капилляров и дозирующих отверстий. Перед применением формулы необходимо проверить число Рейнольдса и убедиться в стабилизированности потока. Закон лежит в основе вискозиметрии, расчёта гидравлических дросселей и микрофлюидных устройств.

Статья носит ознакомительный характер. Автор не несёт ответственности за результаты применения изложенных сведений в инженерных и научных расчётах. Перед использованием материалов в практической деятельности необходимо обращаться к действующим нормативным документам, учебникам и справочной литературе.

Появились вопросы?

Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.

Задать вопрос

Подшипники SKF -15%!

Bosсh Rexroth