Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Значения приведены для температуры около 20 °C и относятся к области упругих деформаций. Разброс обусловлен маркой сплава, видом полуфабриката, режимом термической обработки и анизотропией. Для точных расчётов жёсткости использовать данные сертификата или испытаний по действующему методическому стандарту.
Значения справедливы для коротких испытаний при температуре около 20 °C. Для полимеров модуль E существенно зависит от скорости деформации, температуры (заметно снижается выше температуры стеклования) и для гидрофильных полимеров — от влажности. Конкретные значения для марки материала смотреть в технической документации производителя.
Полимерные композиционные материалы выраженно анизотропны: модуль вдоль волокна задаётся армирующим компонентом, поперёк — матрицей. Для расчёта используют формулу правила смесей для продольного модуля и теории микромеханики (Хальпина — Цая и др.) для поперечного. Значения зависят от объёмной доли волокна, схемы укладки и типа смолы.
Коэффициент Пуассона связывает продольную и поперечную относительные деформации при упругом нагружении. Через него вычисляется модуль сдвига: G = E / [2(1+ν)]. Для несжимаемых материалов (резина) ν стремится к 0,5.
Для бетона приведён начальный модуль упругости по своду правил на проектирование бетонных и железобетонных конструкций (СП 63.13330). Древесина — выраженно анизотропный материал: модуль вдоль волокон в десятки раз выше, чем поперёк. Для гранита и мрамора значения зависят от породы, степени выветривания и направления приложения нагрузки относительно плоскостей напластования.
Модуль упругости (Юнга) материалов — фундаментальная характеристика, связывающая нормальное напряжение и относительную деформацию в области линейной упругости. По нему рассчитывают жёсткость растягиваемых и сжимаемых элементов, прогибы балок, устойчивость стержней, собственные частоты колебаний и многие другие параметры конструкций. В справочной таблице ниже приведены значения модуля Юнга E и модуля сдвига G для металлов, сплавов, полимеров и композитов, а также коэффициент Пуассона ν — три величины, через которые описываются упругие свойства любого изотропного материала.
Модуль упругости первого рода (модуль Юнга, модуль продольной упругости), обозначаемый E, — коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением σ и относительной продольной деформацией ε в области упругих деформаций. Физический смысл — степень жёсткости материала: чем выше E, тем меньше деформация при заданном напряжении. Размерность совпадает с размерностью давления — паскаль (Па); для большинства конструкционных материалов значения удобно выражать в гигапаскалях (ГПа).
Модуль Юнга — это свойство материала, а не геометрии: он почти не зависит от структуры металла, а определяется в основном типом кристаллической решётки и силами межатомных связей. Поэтому в таблицах он даётся для группы марок одного класса, а различия внутри марки связаны с режимом обработки, температурой и направлением приложения нагрузки в анизотропных материалах.
Для описания упругих свойств изотропного материала достаточно двух из трёх взаимосвязанных величин: модуля Юнга E, модуля сдвига G и коэффициента Пуассона ν. Третья вычисляется через первые две по соотношению:
G
E
ν
Модуль сдвига (модуль упругости второго рода) G характеризует сопротивление материала касательным напряжениям. Для большинства конструкционных материалов G составляет ориентировочно 0,35–0,40 от значения модуля Юнга — отсюда у стали при E около 200 ГПа значение G лежит в диапазоне 78–81 ГПа, у алюминия — около 26–27 ГПа.
Коэффициент Пуассона ν — отношение поперечной относительной деформации к продольной при одноосном нагружении, взятое со знаком минус (продольное растяжение сопровождается поперечным сужением). Для большинства конструкционных металлов ν лежит в диапазоне 0,25–0,35; для полимеров — 0,33–0,46; для несжимаемых эластомеров стремится к 0,5.
Чтобы пересчитать G через E и ν, или наоборот, инженеру достаточно одной формулы: G = E / [2 · (1 + ν)]. Для стали с E = 200 ГПа и ν = 0,3 это даёт G = 76,9 ГПа — близко к табличным значениям.
Базовое соотношение, в котором фигурирует модуль Юнга, — закон Гука для одноосного растяжения:
σ
ε
Из этой формулы получают расчёт удлинения стержня, нагруженного продольной силой:
ΔL
F
L0
A
В сопромате модуль упругости входит в произведение, характеризующее жёсткость стержня или балки. Запомнить полезно две величины:
Прогиб консольной балки прямоугольного сечения под сосредоточенной силой на свободном конце:
f
L
I
Из формулы видно, что прогиб обратно пропорционален модулю упругости. Это объясняет, почему алюминиевые конструкции при той же геометрии и нагрузке прогибаются примерно в три раза сильнее стальных: модуль Юнга алюминия в три раза меньше. Удельная же жёсткость (отношение модуля упругости к плотности) у алюминия и стали сопоставима — это и определяет применимость лёгких сплавов в авиации и транспорте.
Для большинства металлов значения модуля Юнга достаточно стабильны в пределах одного типа сплава и слабо зависят от термообработки — упрочнение и старение существенно изменяют предел прочности и пластичность, но почти не влияют на E. Однако ряд особенностей следует учитывать:
Полимерные материалы существенно отличаются от металлов в части упругости — и эти отличия принципиальны для расчётов.
Значения модуля Юнга в справочниках для полимеров приводятся для коротких испытаний при температуре около 20 °C и нормальной влажности. Для проектирования деталей, работающих под длительной нагрузкой, используют не «короткий» модуль, а модуль ползучести, отнесённый к расчётному времени и температуре, — данные берут из технической документации производителя на конкретную марку.
Полимерные композиционные материалы — это сочетание армирующих волокон (стеклянных, углеродных, арамидных) и полимерной матрицы. Главное отличие от металлов — ярко выраженная анизотропия: модуль упругости вдоль волокон в десятки раз выше, чем поперёк.
Для приближённой оценки продольного модуля однонаправленного композита применяют правило смесей:
Eв
Vв
Eм
Для оценки поперечного модуля и модуля сдвига правило смесей даёт заниженные результаты, поэтому пользуются эмпирическими и полуэмпирическими формулами (Хальпина — Цая и др.). Типовые ориентиры:
Поэтому однонаправленный углепластик стандартной прочности даёт продольный модуль 130–160 ГПа — ниже стали, но при плотности около 1,55 г/см³ против 7,85 г/см³ у стали. Удельная жёсткость такого углепластика превышает стальную в несколько раз.
Все материалы теряют упругость с ростом температуры, но в разной степени.
Кроме температуры, для полимеров и композитов с полимерной матрицей важна длительность нагружения. Под длительной нагрузкой проявляется ползучесть — постепенное нарастание деформации при неизменном напряжении. Эффективный модуль упругости, отнесённый к расчётному времени работы, становится ниже «короткого». При проектировании ответственных деталей используют данные о модуле ползучести из паспортов материалов.
Для металлов модуль упругости определяется по методике, регламентированной действующим межгосударственным стандартом на статические испытания на растяжение. Он введён в действие с 01.07.2024 и гармонизирован с международным методом ISO 6892-1. Стандарт распространяется на чёрные и цветные металлы и изделия из них диаметром или толщиной 3 мм и более; испытания проводят при температуре от 10 до 35 °C, для определения характеристик механических свойств — включая модуль упругости.
Принцип измерения — построение диаграммы деформирования образца «напряжение — относительная деформация»; модуль E рассчитывается как тангенс угла наклона прямолинейного участка диаграммы в области упругих деформаций. На точность измерения принципиально влияют:
Для полимеров и композитов действуют отдельные методические стандарты на испытания на растяжение. Производители маркированных полуфабрикатов обычно указывают модуль упругости в технической документации на конкретную марку и режим испытаний.
Модуль Юнга — это коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией в области упругих деформаций. Физически он характеризует жёсткость материала: чем выше E, тем меньше деформация при заданном напряжении. Единица измерения — паскаль (Па). Для большинства конструкционных материалов значения удобно выражать в гигапаскалях (ГПа); 1 ГПа равен 10⁹ Па или 1000 МПа.
Для углеродистой конструкционной стали модуль Юнга составляет 200–210 ГПа. Для алюминия и его сплавов — 68–75 ГПа, что примерно в три раза меньше стали. Для меди — 110–130 ГПа, что близко к среднему между сталью и алюминием. Точные значения для конкретной марки сплава смотрите в таблице 1 в начале статьи и в технической документации производителя.
Модуль Юнга E описывает сопротивление материала растяжению или сжатию вдоль оси нагружения. Модуль сдвига G описывает сопротивление касательным напряжениям — то есть скольжению одних плоскостей материала относительно других. Эти две величины связаны через коэффициент Пуассона ν соотношением G = E / [2(1+ν)]. Для большинства металлов G составляет 0,35–0,40 от значения E.
Используется формула G = E / [2 · (1 + ν)], где ν — коэффициент Пуассона. Для стали с E = 200 ГПа и ν = 0,3 получается G = 76,9 ГПа. Для алюминия с E = 70 ГПа и ν = 0,33 получается G = 26,3 ГПа. Значения совпадают со справочными в пределах нескольких процентов.
Для большинства металлов — почти нет. Термообработка существенно меняет предел прочности, твёрдость и пластичность, но модуль Юнга определяется силами межатомных связей и типом кристаллической решётки, поэтому его изменение не превышает нескольких процентов. Это и позволяет в инженерных расчётах для одной группы сплавов пользоваться одним усреднённым значением E. Полимеры в этом смысле — отдельный случай: их модуль упругости резко падает выше температуры стеклования.
Полимерные композиционные материалы состоят из армирующих волокон (углеродных, стеклянных, арамидных) и матрицы (как правило, полимерной). Нагрузку вдоль волокон воспринимают сами волокна, у которых модуль на порядок выше, чем у матрицы; нагрузку поперёк — преимущественно матрица. Поэтому однонаправленный углепластик может иметь продольный модуль 130–160 ГПа и поперечный 8–12 ГПа. Для расчёта продольного модуля применяют правило смесей, для поперечного — эмпирические формулы микромеханики.
Прогиб обратно пропорционален произведению E·I, где E — модуль упругости материала, I — момент инерции сечения. Удвоение E уменьшает прогиб вдвое при той же геометрии и нагрузке. Поэтому замена материала с более низким E (например, алюминия на сталь) при сохранении геометрии снижает прогиб, но увеличивает массу. В авиации и транспорте чаще выгоднее не менять материал, а оптимизировать сечение — увеличивая момент инерции I.
У сталей при нагреве до 400 °C модуль E снижается ориентировочно на 15 %. У алюминиевых сплавов потеря модуля выше: при 200 °C — около 15 %, при 400 °C — около трети. У полимеров изменения резче: при приближении к температуре стеклования модуль может падать на порядок и более. Это ограничивает применение полимеров и алюминия в высокотемпературных конструкциях.
Для однонаправленного углепластика стандартной прочности продольный модуль E лежит в диапазоне 130–160 ГПа; для высокомодульных модификаций — до 400 ГПа. Однонаправленный стеклопластик даёт продольный модуль 35–50 ГПа. Тканые материалы имеют сопоставимый модуль в обоих направлениях плоскости армирования, но он ниже однонаправленного — для углепластика 60–90 ГПа, для стеклопластика 20–30 ГПа.
Действующий межгосударственный стандарт на статические испытания на растяжение чёрных и цветных металлов и изделий из них диаметром или толщиной 3 мм и более, введён с 01.07.2024 и гармонизирован с международным методом ISO 6892-1. Стандарт устанавливает условия испытания, требования к образцам и оборудованию, методы расчёта характеристик механических свойств, включая модуль упругости.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.