Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Теория подобия: критерии Re, Nu, Pr, Gr — методический фундамент инженерных расчётов гидродинамики и тепломассообмена. Безразмерные комплексы Рейнольдса, Нуссельта, Прандтля и Грасгофа позволяют свернуть многопараметрическую задачу к компактному критериальному уравнению, проверять опыт на модели и переносить результаты на натурный объект. Ниже — физический смысл каждого числа подобия, типовые критериальные уравнения для вынужденной и свободной конвекции, порядок пересчёта «модель → натура», характерные диапазоны значений и практические замечания по выбору определяющей температуры и определяющего размера.
Теория подобия — раздел инженерной науки, в котором уравнения сохранения (массы, импульса, энергии) приводят к безразмерному виду и анализируют по характерным масштабам. В результате вместо набора размерных параметров (скорость, размер, вязкость, теплопроводность, плотность, температурный напор и т. д.) появляются безразмерные комплексы — числа подобия. Два процесса называют подобными, если они геометрически подобны и для них совпадают значения определяющих чисел подобия; тогда совпадают и значения определяемых чисел.
Цель моделирования — найти связь определяемого числа (например, Nu) с определяющими (Re, Pr, Gr) в виде критериального уравнения, экспериментально установленного на модели и пригодного для натурного объекта.
Для задач конвективного теплообмена в общем случае справедлива функциональная запись Nu = f(Re, Pr, Gr) — это базовая форма уравнений подобия, на которой строятся частные расчётные формулы для вынужденной, свободной и смешанной конвекции.
Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам вязкого трения в потоке и определяет режим течения — ламинарный, переходный или турбулентный.
Общая запись:
Re = ρ · w · L / μ = w · L / ν
где ρ — плотность среды, кг/м³; w — характерная скорость, м/с; L — определяющий линейный размер, м; μ — динамическая вязкость, Па·с; ν = μ/ρ — кинематическая вязкость, м²/с.
ρ
w
L
μ
ν = μ/ρ
Для круглых гладких напорных труб в инженерных расчётах принимают разделение режимов по критическому значению Reкр ≈ 2300, где определяющим размером служит внутренний диаметр d. Зона между нижним и верхним критическими значениями (примерно от 2300 до 10 000) считается переходной и неустойчивой; развитой турбулентный режим устанавливается при Re > 104.
d
Для некруглых каналов в формулу Re подставляют эквивалентный (гидравлический) диаметр dэ = 4F/P, где F — площадь сечения, P — смоченный периметр.
Число Прандтля связывает молекулярный перенос импульса (кинематическую вязкость) и молекулярный перенос тепла (температуропроводность). В отличие от Re и Gr, оно не зависит от геометрии и режима, а определяется только термодинамическим состоянием среды.
Pr = ν / a = μ · cp / λ
где a = λ/(ρ·cp) — коэффициент температуропроводности, м²/с; cp — изобарная массовая теплоёмкость, Дж/(кг·К); λ — теплопроводность, Вт/(м·К).
a = λ/(ρ·cp)
cp
λ
Физический смысл: при Pr ≈ 1 гидродинамический и тепловой пограничные слои имеют сопоставимую толщину; при Pr ≫ 1 (масла) тепловой слой тоньше гидродинамического; при Pr ≪ 1 (жидкие металлы) — наоборот, тепловой слой существенно толще, и тепло проникает в поток быстрее импульса.
В критериальные уравнения для воды, масел и других жидкостей с заметной зависимостью свойств от температуры вводят поправку (Prж/Prст)0,25, где индексы «ж» и «ст» отвечают температуре потока и температуре стенки соответственно. Для газов эту поправку обычно не применяют.
Число Грасгофа характеризует отношение подъёмной (архимедовой) силы, вызванной разностью плотностей нагретой и холодной среды, к силам вязкого трения. Оно определяет интенсивность свободноконвективного движения.
Gr = g · β · ΔT · L³ / ν²
где g — ускорение свободного падения, м/с²; β — коэффициент термического (объёмного) расширения среды, 1/К (для идеальных газов β = 1/T при абсолютной температуре T в К); ΔT = |Tст − Tж| — температурный напор, К; L — определяющий размер (высота вертикальной поверхности, диаметр горизонтальной трубы и т. п.), м; ν — кинематическая вязкость, м²/с.
g
β
ΔT = |Tст − Tж|
ν
Произведение Gr·Pr образует число Релея Ra и служит универсальным аргументом критериальных уравнений свободной конвекции:
Ra = Gr · Pr — индикатор режима свободной конвекции. Малые Ra — кондуктивный перенос, большие — развитая турбулентная свободная конвекция.
Число Нуссельта — определяемый критерий: оно содержит коэффициент теплоотдачи α, ради которого, как правило, и ставится тепловая задача. Физически Nu — отношение интенсивности конвективного теплообмена к чисто кондуктивному переносу в слое жидкости той же толщины L.
Nu = α · L / λ
где α — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К); λ — теплопроводность среды (а не стенки!), Вт/(м·К); L — определяющий размер, м.
α
После расчёта Nu из критериального уравнения коэффициент теплоотдачи находят обратной подстановкой:
α = Nu · λ / L
Общая структура критериального уравнения — степенная зависимость Nu от определяющих чисел с эмпирическими коэффициентами, найденными по опытным данным:
Nu = C · Ren · Prm · (Prж/Prст)0,25 · εℓ
где C, n, m — эмпирические коэффициенты; εℓ — поправка на относительную длину участка теплообмена; индекс «ж» означает, что свойство берётся при средней температуре потока.
Для развитого турбулентного течения (Re > 104) в инженерной практике широко используют формулу М. А. Михеева:
Nuж = 0,021 · Reж0,8 · Prж0,43 · (Prж/Prст)0,25 · εℓ
Определяющий размер — внутренний диаметр трубы d; определяющая температура — средняя температура потока; εℓ учитывает влияние начального участка тепловой стабилизации и зависит от отношения ℓ/d.
Расчётные формулы М. А. Михеева для средних коэффициентов теплоотдачи:
Для воздуха и других газов в этих формулах поправку (Prж/Prст)0,25 принимают равной единице.
Пусть требуется оценить коэффициент теплоотдачи при течении воды в стальной трубе внутреннего диаметра d = 0,05 м со средней скоростью w = 1,5 м/с при средней температуре потока Tж = 60 °C. При этой температуре для воды по справочным данным: ν ≈ 0,478·10⁻⁶ м²/с, λ ≈ 0,659 Вт/(м·К), Prж ≈ 3,0.
1) Re = w·d/ν = 1,5·0,05 / 0,478·10⁻⁶ ≈ 1,57·10⁵ — режим развитый турбулентный.
Re = w·d/ν = 1,5·0,05 / 0,478·10⁻⁶ ≈ 1,57·10⁵
2) Принимаем εℓ = 1 (ℓ/d > 50) и (Prж/Prст)0,25 ≈ 1 при близкой температуре стенки.
3) Nu = 0,021·(1,57·10⁵)0,8·3,00,43 ≈ 0,021·1,5·10⁴·1,6 ≈ 5·10² (порядковая оценка).
Nu = 0,021·(1,57·10⁵)0,8·3,00,43 ≈ 0,021·1,5·10⁴·1,6 ≈ 5·10²
4) α = Nu·λ/d ≈ 500·0,659/0,05 ≈ 6,6·10³ Вт/(м²·К).
α = Nu·λ/d ≈ 500·0,659/0,05 ≈ 6,6·10³ Вт/(м²·К)
Точное значение требует подстановки уточнённых свойств воды и проверки длины участка стабилизации; пример иллюстрирует порядок действий.
Если на лабораторной модели измерен коэффициент теплоотдачи αм и обеспечено подобие, то для натурного объекта значение αн восстанавливают через равенство определяющих критериев и соответствующее равенство Nu.
αн = Nuн · λн / Lн
Полное совпадение всех определяющих критериев на модели обычно недостижимо (например, одновременно обеспечить Re и Gr при изменённом масштабе сложно). Тогда применяют частичное подобие, оставляя основной критерий и контролируя автомодельность по второстепенным.
Численное значение критерия зависит от выбора определяющего размера и определяющей температуры — эти величины задаются вместе с критериальным уравнением и должны строго соблюдаться при подстановке свойств среды.
Индексация в обозначениях критериев (Nuж, Num, Reж,d) указывает на температуру, при которой берутся свойства, и на определяющий размер. Использование несовпадающих индексов в формуле и в подстановке — частая причина грубых ошибок.
Re — отношение сил инерции к силам вязкого трения; определяет режим течения. Для прямых гладких круглых труб в инженерных расчётах принимают: Re < 2300 — ламинарный режим, 2300…10 000 — переходный, > 10 000 — развитый турбулентный. Для некруглых каналов в Re подставляют эквивалентный диаметр.
Внешне формулы похожи (αL/λ), но в Nu стоит теплопроводность среды-теплоносителя, а в Bi — теплопроводность твёрдого тела. Nu — определяемый критерий, описывает теплоотдачу на границе; Bi — определяющий, описывает прогрев тела и используется в задачах нестационарной теплопроводности.
Число Прандтля газов слабо зависит от температуры (для воздуха Pr ≈ 0,70…0,72 в широком диапазоне). У воды и особенно у масел Pr заметно меняется при нагреве, что отражается на профилях скорости и температуры в пограничном слое; поправка (Prж/Prст)0,25 учитывает направление теплового потока.
Re — мера интенсивности вынужденного течения, Gr — свободного (вызванного перепадом плотности из-за нагрева). При вынужденной конвекции основное уравнение — Nu = f(Re, Pr); при свободной — Nu = f(Gr, Pr) или Nu = f(Ra). Если Gr/Re² ≈ 1 — режим смешанный, учитывают оба механизма.
Это характерный геометрический размер и характерная температура среды, при которых берутся физические свойства для подстановки в критерии. Они задаются вместе с критериальным уравнением: для трубы — внутренний диаметр и средняя температура потока, для вертикальной пластины — высота и средняя температура между стенкой и средой и т. д. Подмена определяющих параметров делает результат неверным.
Обеспечить геометрическое подобие и равенство определяющих критериев (Re, Pr — для вынужденной конвекции; Gr, Pr — для свободной). Тогда Nu натуры равно Nu модели, и αн = Nu·λн/Lн, где λн берётся при определяющей температуре натурного объекта.
Ra = Gr·Pr. Это удобный комплексный аргумент критериальных уравнений свободной конвекции. У вертикальной поверхности при Ra порядка 103…109 — ламинарный пограничный слой, при Ra > 109 — турбулентный.
Нет. Эта формула получена и проверена для развитого турбулентного режима в прямых гладких трубах при Re > 104. Для ламинарного и переходного режимов используются отдельные расчётные соотношения с другими коэффициентами и зависимостью от ℓ/d.
Чтобы можно было пользоваться критериальными уравнениями, полученными для круглых труб. В Re и Nu вместо геометрического размера подставляют dэ = 4F/P, где F — площадь сечения, P — смоченный периметр. Для кольцевых, прямоугольных, треугольных каналов это даёт приемлемую инженерную точность.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.