Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Уравнение неразрывности — это математическая запись закона сохранения массы для движущейся среды. Для установившегося течения в трубопроводе оно связывает расход потока со скоростью и площадью живого сечения: при сужении канала скорость растёт пропорционально уменьшению площади. На этом принципе построены все расчёты сетей жидкости и газа: подбор диаметров, оценка перепадов давления, проектирование сужающих устройств для измерения расхода.
В статье разобран физический смысл уравнения, его дифференциальная и интегральная формы, формулы массового и объёмного расхода Q = v·A и ṁ = ρ·v·A, особенности применения для несжимаемых и сжимаемых сред, а также практические примеры расчёта для трубопроводов круглого сечения.
В основе уравнения неразрывности лежит фундаментальный закон сохранения массы: в замкнутой системе масса не возникает и не исчезает. Применительно к движущейся жидкости или газу это означает, что через любое поперечное сечение трубопровода (или элементарный объём пространства) за одинаковое время проходит одна и та же масса вещества — при условии, что в системе нет источников и стоков, а течение установившееся.
Сколько массы среды втекло в контрольный объём за единицу времени — столько же должно вытечь, если плотность внутри объёма не меняется во времени.
Этот принцип универсален: он справедлив для жидкостей и газов, для ламинарных и турбулентных режимов, для дозвуковых и сверхзвуковых потоков. Различается только форма записи уравнения и набор допущений, при которых им удобно пользоваться в инженерной практике.
В механике сплошных сред уравнение неразрывности выводят, рассматривая контрольный объём — фиксированную в пространстве область, через границы которой проходит поток среды. Скорость изменения массы внутри объёма равна разности поступающего и уходящего массового потока через все участки его поверхности.
Если течение установившееся (стационарное), масса внутри контрольного объёма со временем не меняется, и баланс сводится к простому равенству: суммарный массовый приток равен суммарному оттоку. Именно эта запись лежит в основе всех инженерных формул расхода.
В общем виде уравнение неразрывности записывается как соотношение между плотностью среды и полем скоростей. Различают локальную (дифференциальную) и интегральную формы — каждая удобна в своём классе задач.
Для произвольной точки сплошной среды уравнение неразрывности имеет вид:
∂ρ/∂t + ∇·(ρ·v) = 0
где ρ — плотность среды, кг/м³; v — вектор скорости, м/с; t — время, с; ∇· — оператор дивергенции.
Физический смысл выражения: локальное изменение плотности во времени компенсируется потоком массы, уходящим из элементарного объёма (или приходящим в него). Для несжимаемой жидкости (ρ = const) уравнение упрощается до условия ∇·v = 0 — поле скоростей должно быть соленоидальным.
∇·v = 0
В инженерной гидравлике обычно используют интегральную форму, записанную для элементарной струйки тока или для всего сечения трубопровода. Для установившегося течения через два сечения 1 и 1, перпендикулярные оси потока:
ρ1·v1·A1 = ρ2·v2·A2 = ṁ = const
где A1, A2 — площади живых сечений, м²; v1, v2 — средние скорости в сечениях, м/с; ρ1, ρ2 — плотности, кг/м³; ṁ — массовый расход, кг/с.
Для несжимаемой жидкости (ρ1 = ρ2) уравнение принимает классический вид, который и используют чаще всего:
v1·A1 = v2·A2 = Q = const
Это и есть инженерная форма уравнения неразрывности: произведение средней скорости на площадь живого сечения постоянно вдоль потока. Из неё непосредственно следует, что скорость в узком сечении выше скорости в широком во столько раз, во сколько площадь узкого меньше.
Расходом потока называют количество среды, проходящее через сечение канала за единицу времени. В технике используют две основные величины — объёмный и массовый расход; реже применяется весовой расход.
Объёмный расход Q (или qV) — объём среды, проходящий через сечение за единицу времени. Единица СИ — кубический метр в секунду (м³/с); в практике трубопроводов часто используют м³/ч, л/с, л/мин. Для канала с равномерным распределением скорости:
Q = v·A, м³/с
v — средняя скорость потока в сечении, м/с; A — площадь живого сечения, м².
Для трубопровода круглого сечения с внутренним диаметром d площадь сечения A = π·d²/4, откуда:
A = π·d²/4
Q = v·π·d²/4
Массовый расход ṁ (или qm) — масса среды, проходящая через сечение за единицу времени. Единица СИ — килограмм в секунду (кг/с); в практике — кг/ч, т/ч.
ṁ = ρ·Q = ρ·v·A, кг/с
ρ — плотность среды в данном сечении при рабочих условиях, кг/м³.
Массовый расход — инвариант установившегося течения вдоль трубопровода: он одинаков во всех сечениях независимо от изменения плотности. Объёмный расход постоянен вдоль потока только для несжимаемой среды; для газа он меняется вместе с давлением и температурой.
Прямое следствие уравнения неразрывности для несжимаемой среды — обратная пропорциональность скорости и площади:
v2/v1 = A1/A2
Если поток переходит из широкого сечения в узкое (конфузор, сужение), скорость в узком сечении растёт. Если из узкого в широкое (диффузор, расширение) — падает. Это качественное правило используется при проектировании трубопроводов, насадков, форсунок, сопел, рабочих органов гидро- и пневмосистем.
Труба диаметром d1 = 100 мм переходит в трубу d2 = 50 мм. Отношение площадей A1/A2 = (d1/d2)² = 4. Значит, средняя скорость в узкой трубе в 4 раза выше, чем в широкой.
d1 = 100 мм
d2 = 50 мм
A1/A2 = (d1/d2)² = 4
В уравнении неразрывности Q = v·A под v понимают среднюю по сечению (расходную) скорость. Реальное распределение скоростей по сечению трубы неравномерно: у стенок скорость равна нулю (условие прилипания), в центре — максимальна. Форма профиля зависит от режима течения.
Q = v·A
При числах Рейнольдса Re < 2300 в круглой трубе устанавливается параболический профиль (течение Пуазейля). Максимальная скорость на оси трубы в этом случае ровно вдвое превышает среднюю расходную: vmax = 2·v.
Re < 2300
vmax = 2·v
При Re > 4000 профиль становится существенно более плоским за счёт перемешивания: основное падение скорости сосредоточено в тонком пристенном слое. Отношение максимальной скорости к средней зависит от числа Рейнольдса и шероховатости стенок и при технически значимых режимах в гладких трубах лежит в пределах примерно 1,15–1,25.
Re > 4000
В диапазоне 2300 < Re < 4000 течение неустойчиво: возможны как ламинарные, так и турбулентные участки, профиль скорости не имеет однозначной формы. В инженерных расчётах эту область, как правило, стараются избегать.
2300 < Re < 4000
Какой бы ни была форма профиля, уравнение неразрывности справедливо при использовании средней (расходной) скорости. Подстановка максимальной скорости на оси даст завышенный расход.
Различие в применимости упрощённой формы v·A = const определяется тем, насколько плотность среды меняется вдоль потока.
v·A = const
Жидкости (вода, масла, нефтепродукты, водные растворы) в обычных инженерных условиях считаются несжимаемыми: их плотность практически не зависит от давления и слабо — от температуры. Газы при малых скоростях (как правило, при числе Маха менее примерно 0,3) также допустимо рассматривать как несжимаемые с приемлемой погрешностью. В этих случаях уравнение неразрывности имеет вид v·A = const, и объёмный расход одинаков во всех сечениях.
При высоких скоростях газового потока, при значительных перепадах давления и в задачах теплоэнергетики, газовой динамики, расчёта сужающих устройств учитывают сжимаемость. Сохраняется массовый расход:
ṁ = ρ1·v1·A1 = ρ2·v2·A2 = const
Объёмный же расход меняется обратно пропорционально плотности: в сечении с меньшей плотностью газ занимает больший объём, скорость растёт сильнее, чем в несжимаемом случае. Для адиабатных течений идеального газа связь параметров описывается уравнениями газовой динамики совместно с уравнением состояния.
При течении смеси жидкости и газа (пара) единого понятия плотности нет; применяют осреднённые по сечению характеристики либо рассматривают каждую фазу отдельно с учётом обмена массой между ними. Это специальная область, в которой простой записи Q = v·A уже недостаточно.
Требуется передать по трубопроводу воду с объёмным расходом Q = 50 м³/ч при рекомендуемой средней скорости v = 1,5 м/с. Определить внутренний диаметр трубы.
Q = 50 м³/ч
v = 1,5 м/с
Переводим расход в СИ: Q = 50/3600 ≈ 0,01389 м³/с.
Q = 50/3600 ≈ 0,01389 м³/с
Из Q = v·π·d²/4 выражаем d = √(4·Q/(π·v)).
d = √(4·Q/(π·v))
Подставляем: d = √(4·0,01389/(π·1,5)) ≈ √(0,01179) ≈ 0,1086 м ≈ 108,6 мм.
d = √(4·0,01389/(π·1,5)) ≈ √(0,01179) ≈ 0,1086 м ≈ 108,6 мм
По полученной величине выбирают ближайший типоразмер трубы из действующего сортамента с уточнением скорости.
В магистрали с внутренним диаметром d1 = 200 мм вода движется со средней скоростью v1 = 1,2 м/с. Участок переходит в трубу d2 = 100 мм. Найти скорость в узком сечении.
d1 = 200 мм
v1 = 1,2 м/с
d2 = 100 мм
Отношение площадей: A1/A2 = (d1/d2)² = 4.
По уравнению неразрывности: v2 = v1·A1/A2 = 1,2·4 = 4,8 м/с.
v2 = v1·A1/A2 = 1,2·4 = 4,8 м/с
По трубопроводу d = 150 мм подаётся воздух со средней скоростью v = 12 м/с; плотность воздуха при рабочих условиях ρ = 1,2 кг/м³. Определить массовый расход.
d = 150 мм
v = 12 м/с
ρ = 1,2 кг/м³
Площадь сечения: A = π·0,15²/4 ≈ 0,01767 м².
A = π·0,15²/4 ≈ 0,01767 м²
Массовый расход: ṁ = ρ·v·A = 1,2·12·0,01767 ≈ 0,254 кг/с ≈ 916 кг/ч.
ṁ = ρ·v·A = 1,2·12·0,01767 ≈ 0,254 кг/с ≈ 916 кг/ч
A = Q/v
d = √(4·A/π)
∂ρ/∂t
Уравнение неразрывности — теоретическая основа всех приборных методов измерения расхода. Особенно явно оно используется в методе переменного перепада давления на стандартных сужающих устройствах (диафрагмах, соплах, трубах Вентури), где по разности давлений до и после сужения вычисляют расход среды.
Помимо метода переменного перепада, на уравнении неразрывности прямо или косвенно основаны и другие методы измерения: тахометрические (турбинные, крыльчатые), электромагнитные, ультразвуковые (время-импульсные и допплеровские), вихревые, кориолисовы массовые расходомеры. Каждый из методов имеет собственную область применения и регламентируется отдельными стандартами.
Это запись закона сохранения массы для движущейся среды. В трубопроводе с установившимся течением через любое сечение за единицу времени проходит одна и та же масса вещества. Для несжимаемой жидкости это сводится к равенству произведений скорости на площадь сечения в любых двух точках потока.
Объёмный расход равен произведению средней скорости на площадь живого сечения: Q = v·A. Для круглой трубы площадь A = π·d²/4, где d — внутренний диаметр. Массовый расход получают умножением объёмного на плотность среды: ṁ = ρ·Q.
Согласно уравнению неразрывности, при уменьшении площади сечения скорость потока увеличивается обратно пропорционально площади. Если диаметр уменьшается вдвое, площадь сокращается в четыре раза, а средняя скорость возрастает в четыре раза. Одновременно по уравнению Бернулли падает статическое давление.
Объёмный расход — это объём среды через сечение за единицу времени (м³/с). Массовый — масса вещества за единицу времени (кг/с). Они связаны через плотность: ṁ = ρ·Q. Для несжимаемой жидкости оба расхода постоянны вдоль потока. Для газа при значительных перепадах давления постоянен только массовый расход; объёмный меняется вместе с плотностью.
Да, но в общей форме: постоянен массовый расход ṁ = ρ·v·A. Упрощённая запись v·A = const справедлива лишь при малых скоростях, когда плотность газа практически не меняется (число Маха примерно до 0,3). При высоких скоростях и больших перепадах давления требуется учёт сжимаемости через уравнения газовой динамики и уравнение состояния.
Среднюю расходную скорость по сечению. Реальный профиль скорости в трубе неравномерен: на стенках скорость равна нулю, на оси — максимальна. Подстановка максимальной скорости даст завышенный расход. При ламинарном течении в круглой трубе максимальная скорость вдвое выше средней; при турбулентном — выше примерно на 15–25%.
Прямо. В методе переменного перепада давления (диафрагмы, сопла, трубы Вентури) поток искусственно сужается; по разности статических давлений до и после сужения, площадям сечений и свойствам среды на основании уравнений неразрывности и Бернулли вычисляется расход. Метод регламентирован ГОСТ 8.586.1-2005 — ГОСТ 8.586.5-2005 и ISO 5167:2022.
Живое сечение — площадь поперечного сечения, через которую фактически движется среда. В полностью заполненном напорном трубопроводе оно совпадает с внутренней геометрической площадью трубы. В безнапорных каналах и частично заполненных трубопроводах живое сечение определяется уровнем жидкости и формой поперечного сечения и меньше геометрической площади.
Потому что среда движется внутри трубы, а не по её наружной поверхности. Подстановка наружного диаметра систематически завышает площадь сечения и расход. Внутренний диаметр определяется как разность наружного диаметра и удвоенной толщины стенки и берётся из действующего сортамента или паспорта трубы.
Вы можете задать любой вопрос на тему нашей продукции или работы нашего сайта.