Устойчивость сжатых стержней

Устойчивость сжатых стержней — способность прямолинейного стержня сохранять исходную форму равновесия под действием осевой сжимающей нагрузки. При достижении определённой величины силы, называемой критической, прямолинейная форма перестаёт быть устойчивой, и стержень внезапно искривляется — происходит потеря устойчивости, или продольный изгиб. Это явление опасно тем, что наступает при напряжениях, которые могут быть значительно ниже предела прочности материала, поэтому расчёт сжатых стержней ведут не только на прочность, но и на устойчивость.

В статье разобраны продольный изгиб и потеря устойчивости, определение критической силы по формуле Эйлера, понятие гибкости стержня и влияние условий закрепления концов, границы применимости формулы Эйлера и эмпирическая формула Ясинского, а также проверка устойчивости и назначение запаса. Формулы даны в единицах СИ; расчётный аппарат опирается на классическую теорию сопротивления материалов, а проектирование стальных конструкций регламентирует действующий свод правил СП 16.13330.2017 действующий.

Продольный изгиб и потеря устойчивости

Пока осевая сила невелика, сжатый стержень остаётся прямым: случайное малое отклонение исчезает после снятия возмущения — равновесие устойчиво. С ростом силы наступает момент, когда стержень уже не возвращается к прямолинейной форме, а переходит к искривлённой. Критическая сила — это наименьшая осевая сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой.

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жёсткости, поэтому в расчёт всегда входит минимальный момент инерции поперечного сечения. Опасность продольного изгиба в том, что для длинных гибких стержней он наступает при сравнительно низкой нагрузке: подбор сечения только по условию прочности для таких стержней недостаточен и небезопасен.

Критическая сила по формуле Эйлера

Для стержня с шарнирно закреплёнными концами (основной случай) критическую силу определяет формула Эйлера, полученная интегрированием приближённого дифференциального уравнения изогнутой оси. Для других условий закрепления её обобщают введением коэффициента приведения длины.

Коэффициент приведения длины отражает, во сколько раз расчётная длина отличается от геометрической при данном способе закрепления концов.

Чем меньше μ, тем выше критическая сила: стержень с двумя защемлёнными концами устойчивее консольного в 16 раз и вчетверо устойчивее стержня с двумя шарнирами.

Соотношение следует прямо из формулы: критическая сила обратно пропорциональна квадрату приведённой длины, а значит квадрату коэффициента μ. Для консоли и двух заделок отношение составляет (2,0/0,5)² = 16, для двух шарниров и двух заделок — (1,0/0,5)² = 4.

Гибкость стержня и радиус инерции

Гибкость — безразмерная величина, характеризующая сопротивляемость стержня потере устойчивости. Она объединяет длину, условия закрепления и форму сечения; от материала не зависит.

Через гибкость критическое напряжение по Эйлеру записывается компактно:

Границы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Формула Эйлера выведена из закона Гука и справедлива только пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала. Отсюда — понятие предельной гибкости.

При меньшей гибкости критическое напряжение по Эйлеру превысило бы предел пропорциональности, и формула даёт завышенный, а потому опасный результат. Для стержней средней гибкости применяют эмпирическую формулу Ф. С. Ясинского с линейной зависимостью критического напряжения от гибкости.

Таким образом, для Ст3 расчёт делят на три области по гибкости.

Предельная гибкость у разных материалов различна: для чугуна она составляет около 80, для древесины (сосна) — около 110. На практике гибкость сжатых элементов дополнительно ограничивают сверху, поскольку чрезмерно гибкие стержни несут слишком малую нагрузку.

Проверка устойчивости и запас

Допускаемая сжимающая сила должна быть меньше критической в заданное число раз — это и есть коэффициент запаса устойчивости. Его принимают несколько большим, чем запас прочности, из-за повышенной чувствительности сжатых стержней к отклонениям формы, эксцентриситету нагрузки и неоднородности материала.

В инженерной практике расчёт на устойчивость часто сводят к расчёту на сжатие через коэффициент продольного изгиба φ — коэффициент снижения допускаемого напряжения. Он меняется от 1 (при нулевой гибкости) до малых значений при большой гибкости и зависит от материала и гибкости.

Приведённая таблица φ относится к классическому методу допускаемых напряжений и используется в учебных и предварительных расчётах. Проектирование стальных строительных конструкций ведётся по СП 16.13330.2017 методом предельных состояний: коэффициент устойчивости при центральном сжатии вычисляется по нормативным формулам через условную гибкость, а предельные гибкости сжатых элементов нормируются отдельно.

Порядок расчёта и рекомендации

Проверочный расчёт

1. Геометрия. Находят площадь A, минимальный момент инерции I_min и радиус инерции i_min сечения.
2. Гибкость. По закреплению концов определяют μ и вычисляют λ = μl/i_min.
3. Категория. Сравнивают λ с предельной гибкостью материала и выбирают метод: Эйлер, Ясинский или расчёт на прочность.
4. Критическая сила. Вычисляют σ_кр и F_кр.
5. Запас. Определяют фактический коэффициент запаса устойчивости и сравнивают его с допускаемым.

Типичные ошибки

1. Применение формулы Эйлера вне области. При λ < λ_пред она завышает критическую силу — результат опасен. Всегда проверяйте гибкость.
2. Момент инерции не тот. В расчёт идёт минимальный момент инерции: изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости.
3. Неверный коэффициент закрепления. Реальные опоры отличаются от идеальных шарнира и заделки; μ выбирают по фактической схеме, для строительных конструкций — по нормативным таблицам.
4. Расчёт только на прочность. Для гибких стержней устойчивость, а не прочность, определяет несущую способность.

Вопросы и ответы