Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор выше выполняет решение систем линейных алгебраических уравнений — СЛАУ — методом Гаусса с подробным ходом: по шагам, как решение оформляют в тетради. Задайте размеры (до 8 уравнений и 8 неизвестных, прямоугольные системы m×n разрешены), впишите коэффициенты в сетку расширенной матрицы или нажмите «Вставить из буфера» и скопируйте матрицу целиком из методички — числа через пробел, уравнения с новой строки. Понимаются целые, десятичные (1.5 или 1,5) и обыкновенные дроби вида 3/4.
Решатель приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду, показывает каждое элементарное преобразование с подписью — какую строку, на что умножили и из какой вычли, — выполняет обратный ход и выдаёт один из трёх честных вердиктов: единственное решение с проверкой подстановкой, несовместность с показом противоречивой строки или бесконечное множество решений с частным решением, фундаментальной системой и общим решением. Готовое решение скачивается в Word одним кликом — с условием, всеми матрицами хода и ответом.
Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных: элементарными преобразованиями строк расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду, после чего неизвестные находятся снизу вверх. Карл Фридрих Гаусс систематически применял этот приём в астрономических вычислениях начала XIX века, хотя сам считал его общеизвестным — следы метода исключения встречаются ещё в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах». Вариант с приведением к единичной матрице описал геодезист Вильгельм Йордан в учебнике геодезии 1888 года — отсюда название «метод Жордана—Гаусса», которым в нашем калькуляторе считается обратная матрица.
Допустимых преобразований строк ровно три: перестановка двух строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление к строке другой строки, умноженной на число. Ни одно из них не меняет множества решений системы — поэтому ответ, прочитанный со ступенчатого вида, совпадает с ответом исходной системы.
Прямой ход — движение сверху вниз: в текущем столбце выбирается ведущий элемент, и все элементы под ним обнуляются вычитанием строк с подходящим множителем. В разных учебниках ведущий элемент называют главным или разрешающим — это синонимы, калькулятор напоминает об этом в подсказках и подсвечивает его жёлтым в каждом шаге. Если ведущий элемент оказался нулевым, строки переставляются — и это единственный случай, когда перестановка вообще нужна: при точной дробной арифметике «выбор главного элемента» ради устойчивости, обязательный в приближённых вычислениях, не требуется.
Строки в прямом ходе не нормируются — множители остаются дробями, как принято в вузовском оформлении: шаг записывается в виде R₂ → R₂ + 3/2·R₁. Обратный ход идёт снизу вверх: из последнего уравнения находится последняя неизвестная и подставляется в вышестоящие. Например, для классической системы 2x₁ + x₂ − x₃ = 8; −3x₁ − x₂ + 2x₃ = −11; −2x₁ + x₂ + 2x₃ = −3 калькулятор получает ответ x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = −1 и тут же проверяет его подстановкой в каждое уравнение.
Совместность системы определяется сравнением рангов: система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной, rang A = rang [A|b]. Оба ранга калькулятор считает попутно — это число ненулевых строк ступенчатого вида.
Когда решений бесконечно много, ответ записывается через свободные переменные. Базисные переменные — те, на чьих столбцах стоят ведущие элементы; остальные свободные, их ровно n − r. Калькулятор выражает базисные через свободные явно, например x₁ = 4 − x₃ − 2·x₄, находит частное решение (все свободные равны нулю) и строит ФСР. Фундаментальная система решений — это набор из n − r векторов, по одному на каждую свободную переменную. Общее решение собирается по формуле X = X₀ + C₁·v₁ + … + C_{n−r}·v_{n−r}, где C — произвольные константы. Для однородных систем, у которых правая часть нулевая, ФСР — главный результат: тривиальное решение есть всегда, а ФСР описывает все нетривиальные.
Калькулятор считает точной рациональной арифметикой: каждое число хранится как несократимая обыкновенная дробь с целыми числителем и знаменателем неограниченной длины. Ответ 1/3 остаётся ровно 1/3, а не 0,333333 с накопленной ошибкой округления — именно поэтому преподаватели требуют оформлять ход Гаусса с дробями, а не десятичными приближениями. Переключатель «показывать десятичными» переводит вывод в десятичную запись, честно помечая знаком ≈ те числа, у которых десятичная запись бесконечна. Точность проверена и на стресс-примерах: сумма дробей 1/p по всем простым числам до 97 — знаменатель у неё превышает квадриллион — вычитается обратно строго в ноль.
Для квадратной системы определитель получается бесплатно: это произведение ведущих элементов ступенчатого вида с учётом знака — каждая перестановка строк меняет знак определителя. Например, для матрицы [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] ход Гаусса даёт det = −3 — ровно столько же, сколько правило треугольника. Ранг выводится в каждой карточке результата: он равен числу ведущих элементов и не зависит от порядка преобразований.
Кнопка «Скачать Word» собирает полный документ решения: условие в строчной записи уравнений, расширенная матрица, каждый шаг прямого хода с матрицей после преобразования, обратный ход, ответ и проверка — либо вывод о несовместности с противоречивой строкой, либо частное решение с ФСР и общим решением. Документ открывается в Word и LibreOffice и оформлен так, как решение записывают от руки: его удобно взять за образец при оформлении домашней работы или контрольной. Рядом — выгрузка в Excel (матрица и решение отдельными листами) и копирование текстом.
Математика решателя выверена в три уровня. Печатный канон: классическая система с ответом (2, 3, −1), теорема Кронекера—Капелли на несовместном примере, определитель по правилу треугольника, свойства элементарных преобразований — всё воспроизведено дословно. Задачный уровень: циклические системы, недоопределённые с ФСР, однородные, переопределённые, случай нулевого ведущего элемента с обязательной перестановкой строк. Третий уровень — машинный кросс-контроль: двести случайных систем прогнаны с проверкой всех инвариантов (решение обязано подставляться, каждый вектор ФСР — решать однородную систему, а их произвольная комбинация — снова быть решением), определитель параллельно пересчитан независимым кофакторным разложением, обратная матрица — тремя разными путями. Расхождений нет.
Прямой ход движется сверху вниз и обнуляет элементы под ведущими, приводя матрицу к ступенчатому виду. Обратный ход движется снизу вверх и находит сами неизвестные подстановкой уже найденных. В калькуляторе оба этапа расписаны отдельными блоками.
Через свободные переменные: базисные выражаются формулами вида x₁ = 4 − x₃ − 2·x₄, свободные обозначаются константами C₁, C₂, …, и общее решение записывается как X = X₀ + C₁·v₁ + C₂·v₂. Частное решение и векторы v — в карточке результата, готовые для переписывания.
Это признак несовместности: слева от черты все коэффициенты обнулились, а свободный член — нет. Такое равенство невозможно ни при каких значениях неизвестных, значит, решений у системы нет. Формально это случай rang A < rang [A|b] из теоремы Кронекера—Капелли.
Да, калькулятор принимает любые размеры от 1×1 до 8×8 независимо друг от друга: недоопределённые системы обычно дают бесконечное множество решений, переопределённые — либо единственное, либо несовместны. Исход всегда определяется рангами, а не формой матрицы.
Выбор наибольшего по модулю ведущего элемента нужен в приближённых вычислениях с плавающей точкой, чтобы сдержать ошибки округления. Здесь арифметика точная — дробная, ошибок округления нет в принципе, поэтому перестановка выполняется только в одном случае: когда ведущий элемент равен нулю. Ход получается коротким и совпадает с тетрадным.
Эта страница — про метод Гаусса: он универсален, работает с любыми размерами и вырожденными случаями. Обратную матрицу — основу матричного метода — считает соседний калькулятор двумя способами: Жордана—Гаусса и через алгебраические дополнения.
ООО «Иннер Инжиниринг»