Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор выше позволяет найти обратную матрицу с подробным решением двумя классическими методами — на выбор вкладками. Задайте размер квадратной матрицы (от 2×2 до 8×8), впишите элементы в сетку или вставьте матрицу целиком из буфера: понимаются целые числа, десятичные (1.5 или 1,5) и обыкновенные дроби вида 3/4. Считает точная дробная арифметика, поэтому в ответе будут аккуратные дроби, а не 0,66666 с ошибкой округления.
Метод Жордана—Гаусса показывает весь ход преобразований [A|E] шаг за шагом с подсветкой ведущего элемента; метод алгебраических дополнений — каждый минор с наглядным вычёркиванием строки и столбца, знаки, союзную матрицу и деление на определитель. В финале — обязательная проверка A·A⁻¹ = E и скачивание всего решения в Word одним кликом.
Обратная матрица A⁻¹ — та, что в произведении с исходной даёт единичную: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = E, где E — единичная матрица с единицами на главной диагонали и нулями вне её. Обратная существует только у квадратной невырожденной матрицы — то есть при det A ≠ 0. Если определитель равен нулю, обратной не существует, и честный калькулятор обязан сказать об этом прямо, а не выдать мусор из огромных чисел.
Основной способ для матриц 3×3 и больше: справа к A приписывается единичная матрица, и элементарными преобразованиями строк левая половина приводится к E. Те же преобразования, применённые к правой половине, автоматически превращают её в A⁻¹ — потому что каждая операция над строками эквивалентна умножению слева на некоторую матрицу, и их произведение как раз и есть искомая обратная. Приём восходит к учебнику геодезии Вильгельма Йордана 1888 года — отсюда и название.
Калькулятор ведёт журнал каждого шага: перестановки строк при нулевом ведущем, вычитания с дробными множителями вида R₂ → R₂ − 3·R₁, нормировки R₁ → R₁ : (−2). Определитель получается попутно — произведение ведущих элементов с учётом знака перестановок. Для матрицы [[1, 2], [3, 4]] итог: det = −2 и обратная с элементами −2, 1, 3/2, −1/2.
Классика для 2×2 и 3×3. Для каждого элемента вычисляется минор Mᵢⱼ — определитель матрицы, оставшейся после вычёркивания строки i и столбца j; калькулятор показывает это вычёркивание наглядно, серым по исходной матрице. Алгебраическое дополнение — минор со знаком по шахматному правилу: Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ; например, у матрицы [[1,2],[3,4]] дополнение A₁₂ = −3. Из дополнений собирается союзная матрица A* — её же называют присоединённой, это синонимы — транспонированием: для той же матрицы это [[4, −2], [−3, 1]]. Остаётся разделить на определитель: A⁻¹ = A*/det A.
На матрицах 4×4 метод уже громоздок — шестнадцать миноров третьего порядка, — поэтому калькулятор показывает для 4×4 компактную таблицу дополнений, а с 5×5 честно предлагает Жордана—Гаусса: обе кнопки останутся, но практичен только один путь.
Если преподаватель не задал метод явно: для 2×2 и 3×3 быстрее и нагляднее алгебраические дополнения, для всего, что больше, — Жордан—Гаусс. Ответ, разумеется, один и тот же: в нашей верификации оба метода прогнаны на сотне случайных матриц и совпали поэлементно до последней дроби. Хрестоматийный пример из методичек — матрица [[2, 5, 7], [6, 3, 4], [5, −2, −3]]: её обратная целочисленная, [[1, −1, 1], [−38, 41, −34], [27, −29, 24]], и калькулятор воспроизводит её любым из двух способов.
Типовая формулировка задания звучит как «найти обратную матрицу и сделать проверку» — поэтому проверка встроена: калькулятор перемножает A на найденную A⁻¹ точными дробями и убеждается, что получилась единичная матрица. Работает и обратное свойство: если обратить A⁻¹ ещё раз, вернётся исходная A. Для диагональной матрицы проверка особенно наглядна: [[2, 0], [0, 4]]⁻¹ = [[1/2, 0], [0, 1/4]] — каждый диагональный элемент просто переворачивается.
Если строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы — например, вторая строка вдвое больше первой, как у [[1, 2], [2, 4]], — определитель равен нулю, и обратной матрицы нет. В методе Жордана—Гаусса это видно по обнулившейся строке левой половины: приведение к E становится невозможным, и калькулятор показывает, где именно ход упёрся. В методе дополнений — по нулевому определителю: делить на ноль нельзя. Оба метода дают согласованный честный отказ вместо бессмысленного ответа.
Кнопка «Скачать Word» собирает документ по выбранному методу: условие, весь ход [A|E] с матрицами после каждого шага — либо определитель, таблица дополнений, союзная матрица и деление, — итоговая обратная и проверка умножением с показом единичной матрицы. Оформление повторяет рукописное решение из методички: удобно сдать или взять за образец. Рядом — выгрузка в Excel и копирование текстом.
Решатель выверен трижды. Печатный канон: обратная [[1,2],[3,4]] сошлась с ручным расчётом через союзную матрицу, знаменитая матрица методичек дала свою целочисленную обратную обоими способами, свойства (A⁻¹)⁻¹ = A и E⁻¹ = E подтверждены живьём. Задачный уровень: диагональные, дробные, вырожденные и перестановочные матрицы. Машинный кросс-контроль — самое сильное: обратная получена третьим, независимым путём — решением систем A·x = eⱼ столбец за столбцом через решатель СЛАУ — и совпала с методом Жордана—Гаусса на ста случайных матрицах из ста. Определитель параллельно пересчитан кофакторным разложением. Расхождений нет.
Ничем — это два названия одной и той же матрицы: транспонированной матрицы алгебраических дополнений. В учебниках встречаются оба термина, обозначение обычно A* или adj A.
Обратная матрица целочисленной матрицы почти всегда дробная: элементы делятся на определитель. Точная дробь 3/2 — это ровно 3/2, а 1,5 после цепочки округлений может накопить ошибку. Переключатель «показывать десятичными» есть, и бесконечные записи он честно помечает знаком ≈.
Умножить: A·A⁻¹ обязано дать единичную матрицу E. Калькулятор делает эту проверку автоматически точными дробями; тот же приём — стандартное требование в типовых заданиях.
Нет. Обратная существует тогда и только тогда, когда det A ≠ 0. При нулевом определителе матрица называется вырожденной, и калькулятор объясняет отказ: показывает нулевую строку хода или нулевой определитель.
Для 2×2 и 3×3 — через алгебраические дополнения: несколько миноров и одно деление. Начиная с 4×4 выгоднее Жордан—Гаусс: объём вычислений растёт медленнее, а ход остаётся обозримым.
Матричный метод x = A⁻¹·b действительно решает системы, но удобнее специализированный калькулятор метода Гаусса — он работает и с прямоугольными, и с вырожденными случаями, показывает три исхода и фундаментальную систему решений. Ссылка — ниже.
ООО «Иннер Инжиниринг»