Калькуляторы
Подшипники и подшипниковые узлы: научно-технический анализ
Подшипники и подшипниковые узлы: научно-технический анализ и практические рекомендации
Подшипниковые узлы являются критически важными компонентами современных машин и механизмов, обеспечивающими точность, надежность и долговечность работы вращающихся элементов. Данная статья представляет собой комплексный анализ ключевых принципов проектирования, расчета и эксплуатации подшипников с особым акцентом на научно обоснованные правила и формулы, определяющие их ресурс и эффективность работы.
- 1. Классификация подшипников
- 2. Правило минимального осевого зазора
- 3. Формула Лундберга-Палмгрена
- 4. Правило 5% смещения
- 5. Дополнительные эмпирические правила и принципы
- 5.1 Правило 2:1 для расстояния между подшипниками
- 5.2 Принцип N·dm (скоростной фактор)
- 5.3 Кривая Штрибека и режимы смазывания
- 5.4 Уравнение Даусона-Хиггинсона
- 5.5 Принципы предварительного натяга
- 5.6 Принципы расчета контактных напряжений по Герцу
- 5.7 Правило PV-значений для подшипников скольжения
- 5.8 Правило 15% для определения оптимальной длины подшипника скольжения
- 6. Заключение
- 7. Каталоги подшипников
- 8. Источники и литература
1. Классификация подшипников
Современная инженерная практика выделяет два основных типа подшипников: скольжения и качения. Каждый тип имеет свои подкатегории, определяемые конструкцией, материалами и областью применения.
| Критерий классификации | Типы подшипников | Особенности применения |
|---|---|---|
| По типу трения | Подшипники скольжения, подшипники качения | Выбор зависит от скорости, нагрузки и требований к трению |
| По воспринимаемой нагрузке | Радиальные, упорные, радиально-упорные | Определяется направлением действующих сил |
| По конструкции тел качения | Шариковые, роликовые, игольчатые, конические | Влияет на грузоподъемность и компактность |
| По количеству рядов | Однорядные, двухрядные, многорядные | Определяет распределение нагрузки и жесткость |
Радиальные подшипники, являющиеся наиболее распространенным типом, предназначены для восприятия нагрузок, действующих перпендикулярно оси вращения. Их долговечность и надежность в значительной степени зависят от соблюдения ряда инженерных правил, среди которых особое место занимают правило минимального осевого зазора и правило 5% смещения.
2. Правило минимального осевого зазора
Правило минимального осевого зазора является одним из фундаментальных принципов проектирования подшипниковых узлов и имеет критическое значение для обеспечения длительного срока службы радиальных подшипников.
Формулировка правила: Для предотвращения осевого смещения вала зазор в радиальных подшипниках должен быть не более 1/3 от радиального зазора.
Математически это выражается соотношением:
Sa ≤ (1/3) × Sr
где:
Sa — осевой зазор [мм]
Sr — радиальный зазор [мм]
2.1 Научное обоснование правила
Данное правило основано на исследованиях распределения нагрузок в подшипниковых узлах и анализе деформаций под действием комбинированных радиальных и осевых нагрузок. При превышении рекомендуемого соотношения возникает риск неравномерного распределения нагрузки между телами качения, что приводит к следующим негативным последствиям:
- Концентрация напряжений на отдельных элементах подшипника
- Нарушение условий смазывания
- Повышенное тепловыделение
- Ускоренный износ рабочих поверхностей
- Снижение жесткости узла
2.2 Практический расчет минимального осевого зазора
Пример расчета:
Рассмотрим шариковый радиальный подшипник 6205 со следующими параметрами:
- Радиальный зазор (группа нормального зазора CN): Sr = 0,020 мм
- Требуется определить максимально допустимый осевой зазор
Расчет:
Sa ≤ (1/3) × Sr = (1/3) × 0,020 = 0,0067 мм
Таким образом, для обеспечения надежной работы подшипника осевой зазор не должен превышать 0,0067 мм.
| Группа радиального зазора | Обозначение | Диапазон значений Sr [мм] | Макс. допустимый осевой зазор Sa [мм] |
|---|---|---|---|
| Особо малый | C2 | 0,003-0,011 | 0,001-0,0037 |
| Нормальный | CN | 0,010-0,020 | 0,0033-0,0067 |
| Увеличенный | C3 | 0,020-0,035 | 0,0067-0,0117 |
| Большой | C4 | 0,035-0,050 | 0,0117-0,0167 |
Важно! При проектировании подшипниковых узлов необходимо учитывать влияние температурных деформаций и упругих деформаций деталей на величину зазоров. В условиях высоких температур или значительных нагрузок рекомендуется использовать более жесткие ограничения на соотношение зазоров (например, Sa ≤ 1/4 × Sr).
3. Формула Лундберга-Палмгрена
Формула Лундберга-Палмгрена является фундаментальной расчетной моделью для определения номинального ресурса подшипников качения. Разработанная в 1947 году шведскими учеными Густавом Лундбергом и Арвидом Палмгреном, она стала основой международных стандартов ISO 281 и ГОСТ 18855.
3.1 Теоретические основы
Формула базируется на усталостной теории разрушения материалов и статистическом анализе результатов испытаний большого количества подшипников. Ключевой особенностью данной модели является учет вероятностного характера усталостных разрушений.
Классическая формула Лундберга-Палмгрена:
L10 = (C/P)p
где:
L10 — номинальный ресурс подшипника в миллионах оборотов (с 90% вероятностью безотказной работы)
C — базовая динамическая грузоподъемность подшипника [Н]
P — эквивалентная динамическая нагрузка [Н]
p — показатель степени, равный 3 для шариковых и 10/3 для роликовых подшипников
Для практических расчетов часто используется модифицированная формула, выражающая ресурс в часах работы:
L10h = (106/(60 × n)) × (C/P)p
где:
L10h — номинальный ресурс подшипника в часах
n — частота вращения [об/мин]
C, P и p — те же параметры, что и в классической формуле
3.2 Расчет эквивалентной динамической нагрузки
Эквивалентная динамическая нагрузка P представляет собой условную постоянную радиальную нагрузку, которая при приложении к подшипнику обеспечивает тот же ресурс, что и фактическая комбинация действующих нагрузок.
Для радиальных шариковых подшипников:
P = X × Fr + Y × Fa
где:
Fr — радиальная нагрузка [Н]
Fa — осевая нагрузка [Н]
X — коэффициент радиальной нагрузки
Y — коэффициент осевой нагрузки
Коэффициенты X и Y определяются конструкцией подшипника и соотношением Fa/(V × Fr), где V — коэффициент вращения (V = 1,0 для вращающегося внутреннего кольца, V = 1,2 для вращающегося наружного кольца).
| Тип подшипника | Условие | X | Y |
|---|---|---|---|
| Радиальный шариковый однорядный | Fa/V×Fr ≤ e | 1 | 0 |
| Fa/V×Fr > e | 0,56 | 1,8×cotα | |
| Радиальный роликовый | Fa/V×Fr ≤ e | 1 | 0 |
| Fa/V×Fr > e | 0,67 | cotα |
Параметр e и угол контакта α зависят от конструкции подшипника и указываются в каталогах производителей.
3.3 Практический пример расчета
Задача: Определить ожидаемый ресурс радиального шарикового подшипника 6308 при следующих условиях эксплуатации:
- Динамическая грузоподъемность C = 42,3 кН
- Радиальная нагрузка Fr = 5,2 кН
- Осевая нагрузка Fa = 1,8 кН
- Частота вращения n = 1500 об/мин
- Вращается внутреннее кольцо (V = 1,0)
Решение:
1. Определяем соотношение Fa/(V × Fr):
Fa/(V × Fr) = 1,8/(1,0 × 5,2) = 0,346
2. Для данного подшипника e = 0,22 (из каталога). Поскольку 0,346 > 0,22, применяем коэффициенты X = 0,56 и Y = 1,99 (для угла контакта α = 0°, cotα = 2,3).
3. Рассчитываем эквивалентную динамическую нагрузку:
P = X × Fr + Y × Fa = 0,56 × 5,2 + 1,99 × 1,8 = 2,91 + 3,58 = 6,49 кН
4. Вычисляем номинальный ресурс в миллионах оборотов:
L10 = (C/P)3 = (42,3/6,49)3 = 6,523 = 277,3 млн. оборотов
5. Переводим ресурс в часы работы:
L10h = (106/(60 × n)) × (C/P)3 = (106/(60 × 1500)) × 277,3 = 3074 часа
Таким образом, с вероятностью 90% подшипник проработает не менее 3074 часов при заданных условиях эксплуатации.
Важно! Формула Лундберга-Палмгрена дает достаточно точные результаты при следующих условиях:
- Хорошее качество смазывания
- Отсутствие загрязнений
- Нормальные условия работы (температура, вибрации)
- Правильный монтаж
При отклонении от этих условий необходимо вводить корректирующие коэффициенты согласно стандарту ISO 281:2007.
4. Правило 5% смещения
Правило 5% смещения является одним из ключевых критериев при оценке допустимых деформаций в подшипниковых узлах и служит важным индикатором для предотвращения преждевременных отказов.
Формулировка правила: Если вал смещается более чем на 5% от диаметра подшипника, ресурс подшипника резко падает.
Математически это выражается неравенством:
Δ ≤ 0,05 × d
где:
Δ — величина смещения вала [мм]
d — внутренний диаметр подшипника [мм]
4.1 Механизм влияния смещения на ресурс
Избыточное смещение вала относительно оси подшипника приводит к серьезным нарушениям работы узла по следующим причинам:
- Нарушение геометрии контактных поверхностей
- Неравномерное распределение нагрузки между телами качения
- Повышенные контактные напряжения на отдельных элементах
- Ухудшение условий смазывания
- Повышенное тепловыделение и ускоренное старение смазочного материала
- Возникновение краевых эффектов и концентраторов напряжений
Исследования показывают, что при превышении 5%-го порога смещения наблюдается экспоненциальное снижение ресурса подшипника. Это связано с переходом от нормального упругого контакта к контакту с перекосом и локальными пластическими деформациями.
Пример расчета допустимого смещения:
Для подшипника 6310 с внутренним диаметром d = 50 мм:
Δmax = 0,05 × d = 0,05 × 50 = 2,5 мм
При этом следует отметить, что современные прецизионные механизмы часто требуют гораздо более жестких ограничений — порядка 0,5-1% от диаметра подшипника.
4.2 Зависимость снижения ресурса от величины смещения
На основе экспериментальных данных установлена следующая зависимость коэффициента снижения ресурса KL от относительного смещения вала:
| Относительное смещение (Δ/d) | Коэффициент снижения ресурса (KL) | Остаточный ресурс |
|---|---|---|
| 0-1% | 1,0 | 100% |
| 1-2% | 0,8 | 80% |
| 2-3% | 0,6 | 60% |
| 3-4% | 0,4 | 40% |
| 4-5% | 0,2 | 20% |
| более 5% | 0,05-0,1 | 5-10% |
Фактический ресурс подшипника с учетом смещения можно определить по формуле:
Lфакт = KL × L10
где:
Lфакт — фактический ресурс с учетом смещения
L10 — номинальный ресурс, рассчитанный по формуле Лундберга-Палмгрена
KL — коэффициент снижения ресурса
4.3 Методы контроля и предотвращения избыточного смещения
Для обеспечения соблюдения правила 5% смещения в промышленной практике применяются следующие методы:
- Использование жестких валов с минимальными упругими деформациями
- Оптимальное расположение подшипников относительно нагрузок
- Применение предварительного натяга в подшипниках
- Использование подшипников с повышенной радиальной жесткостью
- Контроль и корректировка соосности элементов подшипникового узла
- Применение специальных конструкций корпусов с повышенной жесткостью
Практическая рекомендация: При проектировании ответственных узлов рекомендуется проводить расчет деформаций методом конечных элементов или использовать эмпирические формулы для определения прогиба вала с учетом всех действующих нагрузок.
5. Дополнительные эмпирические правила и принципы
Помимо рассмотренных выше фундаментальных принципов, в инженерной практике проектирования и эксплуатации подшипниковых узлов применяется ряд других важных эмпирических правил и закономерностей, обеспечивающих оптимальную работу и длительный срок службы подшипников.
5.1 Правило 2:1 для расстояния между подшипниками
Данное эмпирическое правило определяет оптимальное расположение подшипников на валу для обеспечения равномерного распределения нагрузки и минимизации изгибающих моментов.
Формулировка правила: Оптимальное расстояние между подшипниками на валу должно составлять примерно двойной диаметр вала.
Математически это выражается соотношением:
L ≈ 2 × dвал
где:
L — расстояние между подшипниками [мм]
dвал — диаметр вала в зоне установки подшипников [мм]
Пример: Для вала диаметром 40 мм оптимальное расстояние между опорными подшипниками составит:
L ≈ 2 × 40 = 80 мм
При значительном отклонении от этого правила возникают следующие негативные эффекты:
- При меньшем расстоянии — повышенные нагрузки на подшипники из-за концентрации напряжений
- При большем расстоянии — чрезмерные прогибы вала и неравномерное распределение нагрузки
5.2 Принцип N·dm (скоростной фактор)
Скоростной фактор N·dm является важным параметром при выборе типа подшипника и системы смазки. Он представляет собой произведение частоты вращения и среднего диаметра подшипника.
N·dm = n × ((D + d)/2)
где:
n — частота вращения [об/мин]
D — наружный диаметр подшипника [мм]
d — внутренний диаметр подшипника [мм]
dm — средний диаметр подшипника [мм], dm = (D + d)/2
| Тип подшипника | Предельное значение N·dm × 103 [мм·об/мин] | Рекомендуемый тип смазки |
|---|---|---|
| Шариковые радиальные | 500-600 | Консистентная/Масляная |
| Роликовые цилиндрические | 400-500 | Консистентная/Масляная |
| Конические роликовые | 300-350 | Масляная |
| Сферические роликовые | 250-300 | Масляная |
| Упорные шариковые | 150-200 | Масляная |
Важно! При превышении предельных значений N·dm требуется применение специальных подшипников (высокоскоростных, с керамическими телами качения) и особых систем смазки (циркуляционная, масляный туман, впрыск масла).
5.3 Кривая Штрибека и режимы смазывания
Кривая Штрибека является фундаментальной характеристикой, описывающей зависимость коэффициента трения от параметра смазки (произведения вязкости смазочного материала и скорости вращения, деленного на нагрузку).
Параметр смазки (число Герси):
S = (η × v) / P
где:
η — динамическая вязкость смазочного материала [Па·с]
v — скорость вращения [м/с]
P — удельная нагрузка [Па]
Кривая Штрибека выделяет три основных режима смазывания в подшипниках:
- Граничное смазывание (S << 1) — высокое трение, непосредственный контакт поверхностей
- Смешанное смазывание (S ≈ 1) — переходный режим с частичным контактом поверхностей
- Гидродинамическое смазывание (S >> 1) — полное разделение поверхностей слоем смазки
Для подшипников качения особое значение имеет режим эластогидродинамического смазывания (EHL), при котором формирование смазочной пленки происходит в условиях упругой деформации контактирующих поверхностей.
Практическая рекомендация: Для обеспечения оптимального режима смазывания в подшипниках качения необходимо поддерживать параметр λ (отношение толщины масляной пленки к суммарной шероховатости поверхностей) в диапазоне 3-4, что соответствует полному эластогидродинамическому режиму.
λ = hmin / √(Ra12 + Ra22)
где:
hmin — минимальная толщина масляной пленки [мкм]
Ra1, Ra2 — шероховатость контактирующих поверхностей [мкм]
5.4 Уравнение Даусона-Хиггинсона
Для расчета минимальной толщины эластогидродинамической смазочной пленки в подшипниках качения широко применяется эмпирическая формула Даусона-Хиггинсона, которая учитывает упругие свойства материалов, геометрию контакта, нагрузку и условия смазывания.
hmin = 2,65 × G0,54 × U0,7 × W-0,13 × Rx
где:
hmin — минимальная толщина пленки [м]
G — безразмерный параметр материала, G = α·E' (α — пьезовязкостный коэффициент, E' — приведенный модуль упругости)
U — безразмерный параметр скорости, U = (η·v)/(E'·Rx)
W — безразмерный параметр нагрузки, W = F/(E'·Rx2)
Rx — приведенный радиус кривизны в направлении качения [м]
Данная формула позволяет определить критические условия работы подшипника, при которых возможно нарушение сплошности смазочной пленки и переход к менее благоприятным режимам смазывания.
5.5 Принципы предварительного натяга
Предварительный натяг (преднатяг) является важным инструментом повышения жесткости и точности подшипниковых узлов, особенно в высокоточных механизмах и шпиндельных узлах станков.
Эмпирическое правило оптимального преднатяга: Для прецизионных узлов рекомендуемая величина преднатяга составляет 1-3% от динамической грузоподъемности подшипника.
Fпреднат = (0,01...0,03) × C
где:
Fпреднат — сила преднатяга [Н]
C — динамическая грузоподъемность подшипника [Н]
Существуют три основных метода создания преднатяга:
- Фиксированный преднатяг — создается путем подбора дистанционных колец или регулировочных гаек
- Постоянный преднатяг — обеспечивается пружинами или другими упругими элементами
- Тепловой преднатяг — создается за счет разницы в тепловом расширении деталей узла
| Тип применения | Рекомендуемая величина преднатяга | Эффект |
|---|---|---|
| Прецизионные шпиндели станков | Легкий (0,01-0,015 × C) | Повышение точности вращения |
| Высокоскоростные узлы | Легкий (0,01-0,015 × C) | Снижение вибраций и шума |
| Узлы с переменными нагрузками | Средний (0,015-0,02 × C) | Повышение жесткости |
| Узлы с высокими требованиями к жесткости | Тяжелый (0,02-0,03 × C) | Максимальная жесткость |
Внимание! Избыточный преднатяг приводит к повышенному тепловыделению, ускоренному износу и существенному снижению ресурса подшипника. При высоких скоростях допустимая величина преднатяга снижается.
5.6 Принципы расчета контактных напряжений по Герцу
Теория контактных напряжений Герца является фундаментальной основой для анализа нагруженности элементов подшипников качения и прогнозирования их усталостного разрушения.
Для линейного контакта (ролик-дорожка) максимальное контактное напряжение определяется формулой:
σmax = 0,418 × √(F·E'/(L·R'))
Для точечного контакта (шарик-дорожка):
σmax = 0,388 × ∛(F·E'2/R'2)
где:
σmax — максимальное контактное напряжение [МПа]
F — нагрузка [Н]
E' — приведенный модуль упругости [МПа]
L — длина линейного контакта [мм]
R' — приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей [мм]
Эмпирически установлено, что для обеспечения приемлемого ресурса подшипников максимальные контактные напряжения не должны превышать определенных пределов, зависящих от материала и условий работы.
| Материал подшипника | Максимально допустимое контактное напряжение [МПа] | Условия работы |
|---|---|---|
| Подшипниковая сталь ШХ15 | 1800-2000 | Нормальные условия |
| Подшипниковая сталь ШХ15 | 1500-1700 | Повышенные температуры |
| Цементируемые стали | 1600-1800 | Нормальные условия |
| Керамические материалы (Si₃N₄) | 2500-3000 | Гибридные подшипники |
5.7 Правило PV-значений для подшипников скольжения
Для подшипников скольжения одним из ключевых критериев работоспособности является произведение удельного давления на скорость скольжения (PV-фактор), которое определяет тепловую нагруженность трибосопряжения.
PV = p × v
где:
PV — произведение давления на скорость [МПа·м/с]
p — удельное давление [МПа]
v — скорость скольжения [м/с]
Каждый материал подшипников скольжения характеризуется предельно допустимым значением PV-фактора, превышение которого приводит к разрушению антифрикционного слоя из-за перегрева.
| Материал | Макс. PV-фактор [МПа·м/с] | Макс. давление [МПа] | Макс. скорость [м/с] |
|---|---|---|---|
| Баббит Б83 | 5-6 | 15 | 20 |
| Бронза БрОЦС | 10-12 | 25 | 10 |
| Бронзографит | 3-4 | 10 | 5 |
| Углепластик | 5-7 | 10 | 10 |
| ПТФЭ-композиты | 2-3 | 15 | 3 |
Пример расчета: Для подшипника скольжения с бронзовой втулкой, работающего при давлении p = 8 МПа и скорости v = 1,2 м/с:
PV = 8 × 1,2 = 9,6 МПа·м/с
Значение находится в пределах допустимого для бронзы (10-12 МПа·м/с), но близко к предельному. В данном случае рекомендуется обеспечить эффективное охлаждение подшипника.
5.8 Правило 15% для определения оптимальной длины подшипника скольжения
Для обеспечения оптимальных условий работы подшипников скольжения эмпирически установлено соотношение между диаметром вала и длиной подшипника.
Формулировка правила: Оптимальная длина подшипника скольжения составляет от 0,5 до 1,5 диаметра вала, при этом наилучшие результаты достигаются при отношении L/d ≈ 0,7.
L ≈ (0,5...1,5) × d
Оптимально: L ≈ 0,7 × d
где:
L — длина подшипника [мм]
d — диаметр вала [мм]
При L/d < 0,5 возникает повышенное удельное давление и риск контактного разрушения антифрикционного слоя. При L/d > 1,5 ухудшаются условия формирования гидродинамического клина смазки и возрастают потери на трение.
6. Заключение
Рассмотренные в статье принципы и эмпирические правила — от правила минимального осевого зазора и формулы Лундберга-Палмгрена до принципов предварительного натяга и PV-значений — составляют фундаментальную основу для проектирования и эксплуатации подшипниковых узлов. Их совместное применение позволяет обеспечить оптимальный ресурс и надежность работы подшипников в различных условиях эксплуатации.
Современные методы расчета и проектирования подшипниковых узлов базируются на комплексном учете всех факторов, влияющих на работоспособность. При этом особое внимание уделяется обеспечению оптимальных зазоров, предотвращению избыточных смещений, правильному выбору смазки и корректному расчету ожидаемого ресурса с учетом реальных условий эксплуатации.
7. Каталоги подшипников
Для выбора подходящих подшипников для различных применений рекомендуется обращаться к каталогам ведущих производителей. Ниже представлены ссылки на каталоги известных производителей подшипников, структурированные по типам и брендам.
Японский производитель высокоточных подшипников для промышленного оборудования
Премиальные подшипники от японской компании JTEKT Corporation
Высококачественные подшипники для автомобильной и промышленной техники
Европейский производитель стандартных и специальных подшипников
Один из мировых лидеров в производстве высокоточных подшипников
Премиальные шариковые подшипники от мирового лидера отрасли
Высококачественные шариковые подшипники от немецкого производителя
Широкий ассортимент роликовых подшипников различных типов
Специализированные роликовые подшипники от Schaeffler Group
Промышленные роликовые подшипники высокой надежности
Информация об использовании
Данная статья носит исключительно ознакомительный характер и предназначена для специалистов в области машиностроения и проектирования механизмов. Представленные расчеты и рекомендации требуют адаптации к конкретным условиям и должны применяться с учетом специфики решаемых инженерных задач.
Отказ от ответственности: Автор не несет ответственности за возможные последствия использования приведенной информации без дополнительной проверки и адаптации к конкретным условиям эксплуатации. Для ответственных применений рекомендуется проводить детальные расчеты с использованием специализированного программного обеспечения и консультироваться с экспертами.
Источники и литература
- ISO 281:2007 "Rolling bearings — Dynamic load ratings and rating life"
- Lundberg, G. and Palmgren, A. "Dynamic Capacity of Rolling Bearings", Acta Polytechnica, Mechanical Engineering Series, 1947
- Harris, T.A. and Kotzalas, M.N. "Rolling Bearing Analysis: Essential Concepts of Bearing Technology", CRC Press, 2006
- SKF Group, "SKF Bearing Manual", 2018
- ГОСТ 18855-2013 "Подшипники качения. Динамическая грузоподъемность и номинальный ресурс"
- NSK Technical Journal "Effect of Misalignment on Bearing Life", 2015
- Timken Engineering Manual, "Bearing Selection and Application", 2019
- FAG Schaeffler Group, "Bearings in Industrial Gearboxes", Technical Publication, 2017
- Dowson, D. and Higginson, G.R. "Elasto-hydrodynamic Lubrication", Pergamon Press, 1977
- Stribeck, R. "Die wesentlichen Eigenschaften der Gleit- und Rollenlager", Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, 1902
- Hertz, H. "Über die Berührung fester elastischer Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1882
- ГОСТ 520-2011 "Подшипники качения. Общие технические условия"
- Palmgren, A. "Ball and roller bearing engineering", Philadelphia: SKF Industries, 1959
- Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. "Основы расчетов на трение и износ", Москва: Машиностроение, 1977
- ANSI/ABMA Standard 9 "Load Ratings and Fatigue Life for Ball Bearings", 2015
