Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Посчитать площадь круга онлайн можно по радиусу, диаметру или длине окружности, а ответ получить двумя способами: через π, как в школьной тетради, и десятичной дробью в мм², см² или м². Онлайн-калькулятор площади круга решает и обратную задачу: по известной площади находит радиус, диаметр и длину окружности. Здесь же сектор и сегмент, кольцо и сечение трубы, вписанный и описанный круг, большой круг шара.
Как вычислить площадь круга через радиус: возвести радиус в квадрат и умножить на число π ≈ 3,14159. Если известен диаметр, делить его пополам не обязательно — квадрат диаметра вчетверо больше квадрата радиуса, поэтому в формуле появляется 4. А по длине окружности ответ находят вовсе без радиуса.
Типичная школьная задача — «найдите площадь круга радиуса 3»: S = π · 3² = 9π ≈ 28,274. В ответе оставляют 9π или пишут 28,27 — смотря что требует задача.
Почему формула именно такая, видно, если нарезать круг узкими секторами и разложить их ёлочкой, остриями то вверх, то вниз. Выйдет фигура, похожая на прямоугольник: длинная сторона — половина окружности πr, короткая — радиус r. Чем тоньше нарезка, тем ровнее края и тем точнее S = πr · r = πr².
Строгий вывод дал Архимед: круг равновелик прямоугольному треугольнику, у которого один катет — радиус, а другой — длина окружности. В той же работе он зажал число π между 3 10/71 и 3 1/7 — отсюда школьное приближение 22/7.
Диаметр измерить легче, чем радиус: рулетку кладут поперёк крышки, трубы или клумбы. Расчёт по диаметру — S = πd²/4 ≈ 0,785 · d². Главная ошибка — подставить диаметр в πr² и получить результат вчетверо больше: площадь круга диаметром 10 см — не 100π, а 25π ≈ 78,540 см².
Площадь круга диаметром 14 см — 49π ≈ 153,938 см². Удобное число: с приближением π ≈ 22/7 ответ выходит ровно 154. Для любого другого размера площадь круга через диаметр найдёт онлайн-калькулятор.
Число π/4 ≈ 0,785 связывает площадь круга и квадрата: круг занимает около 78,5 % квадрата со стороной, равной его диаметру. Поэтому, когда круглую крышку вырезают из квадратного листа, больше пятой части уходит в обрезки.
C = 2πr и S = πr² зависят от одного радиуса, поэтому одно выражается через другое: S = C²/(4π). Окружность длиной 10 см ограничивает круг в 25/π ≈ 7,958 см². Нахождение площади круга по длине окружности выручает там, где поперёк не перехватить, — у ствола дерева, колонны, бочки: обхват 100 см даёт 2 500/π ≈ 795,775 см², или ≈ 0,07958 м².
Площадь и периметр круга растут по-разному. Периметром здесь называют длину окружности, и при удвоении радиуса она увеличивается вдвое, а круг по площади — вчетверо: площадь круга по радиусу 2 равна 4π, по радиусу 4 — уже 16π.
Квадратные единицы переводят через квадрат: 1 м² = 10 000 см² = 1 000 000 мм². Круглый стол диаметром 1 м занимает π/4 ≈ 0,785 м², а площадь круга 2 метра в диаметре — уже π ≈ 3,142 м², вчетверо больше. Бассейн диаметром 5 метров — 6,25π ≈ 19,635 м², площадь круга 10 м в диаметре — 25π ≈ 78,540 м².
Самый наглядный пример — пицца. Площадь круга 30 см в диаметре — 225π ≈ 706,858 см², а площадь круга 20 см в диаметре — 100π, так что две средние пиццы вместе дают лишь 200π ≈ 628,319 см². Одна большая на 12,5 % больше двух средних, хотя на глаз кажется наоборот.
Для мелких деталей удобнее миллиметры: площадь круга 100 мм в диаметре — 2 500π ≈ 7 853,982 мм², то есть ≈ 78,540 см².
Сектор вырезают двумя радиусами, как кусок торта. Он занимает ту же долю, что центральный угол от 360°: половина — πr²/2, четверть — πr²/4, а сектор 30° в круге площадью 180 см² — 180 · 30/360 = 15 см².
Площадь сегмента круга — это площадь части круга между хордой и дугой. Сектор радиусом 5 с углом 60° занимает 25π/6 ≈ 13,090, а сегмент внутри него — всего ≈ 2,265: остальные ≈ 10,825 приходятся на треугольник. Формула годится для любого угла до 360°: при угле больше 180° синус отрицательный, и треугольник не вычитается, а прибавляется.
У арки и свода известны пролёт и стрела подъёма — хорда и высота сегмента. По ним сначала находят радиус: r = (c² + 4h²)/(8h). Арка с пролётом 8 м и стрелой 2 м — дуга окружности радиусом 5 м, а сегмент под ней ≈ 11,182 м². Тот же сегмент по радиусу и уровню показывает, сколько жидкости в горизонтальной цистерне.
Площадь сечения круга — та же πd²/4: так считают вал, пруток или провод. Площадь поперечного сечения круга диаметром 20 мм — стального прутка по ГОСТ 2590 — 100π ≈ 314,159 мм². У цилиндра в основании круг, и площадь основания — круга радиуса r — находят по той же формуле, а объём цилиндра — это она, умноженная на высоту.
Сечение трубы — кольцо: площадь большего круга минус площадь меньшего. Для кольца с радиусами 10 и 8: 100π − 64π = 36π ≈ 113,097. У стальной трубы удобнее считать по наружному диаметру и стенке: S = π · s · (D − s). Для трубы 57 × 3,5 мм это 187,25π ≈ 588,263 мм², а теоретическая масса метра по ГОСТ 8732-78 — 4,62 кг.
Вписанная окружность касается всех сторон фигуры, описанная проходит через все её вершины. Площадь вписанного круга всегда меньше, чем у фигуры, площадь описанного круга — больше.
Площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 10, — 25π ≈ 78,540, описанного — 50π ≈ 157,080, ровно вдвое больше. Площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 13, 14 и 15, — 16π ≈ 50,265: по Герону треугольник занимает 84, полупериметр 21, радиус 84/21 = 4.
В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вписан круг радиусом r = (3 + 4 − 5)/2 = 1, то есть площадью π ≈ 3,142, а описанный у него — радиусом 2,5. В ромб с диагоналями 6 и 8 вписывается круг площадью 5,76π ≈ 18,096. Правильный треугольник, вписанный в круг радиуса R, занимает 3√3 · R²/4: при R = 2 это 3√3 ≈ 5,196.
Большой круг — сечение шара плоскостью через центр. Его радиус равен радиусу шара, поэтому формула та же, что у обычного: S = πR². Поверхность шара ровно в четыре раза больше — 4πR², и это тоже доказал Архимед.
Отсюда типовая задача ЕГЭ: площадь большого круга шара равна 3 — найдите площадь поверхности шара. Ответ 12. Если площадь большого круга шара равна 24, поверхность — 96, а радиус шара — √(24/π) ≈ 2,764.
Произведению числа π на квадрат радиуса: S = πr² ≈ 3,14159 · r². Через диаметр — πd²/4, через длину окружности — C²/(4π).
Возвести радиус в квадрат и умножить на π. Радиус 5 см — 25π ≈ 78,540 см², радиус 7 см — 49π ≈ 153,938 см².
Смотря что дано. Радиус 5 см даёт 25π ≈ 78,540 см², диаметр 5 см — 6,25π ≈ 19,635 см², в четыре раза меньше. Поэтому в условии важно, о каком размере речь.
9π ≈ 28,274 см². Если 3 см — диаметр, ответ вчетверо меньше: 2,25π ≈ 7,069 см².
4π ≈ 12,566 см². При радиусе 4 см — 16π ≈ 50,265 см²: радиус вдвое больше, а результат вчетверо.
Разделить квадрат длины окружности на 4π: при C = 10 см выходит 25/π ≈ 7,958 см². Радиус при этом равен C/(2π).
См² делят на 10 000, мм² — на 1 000 000: пицца диаметром 30 см занимает ≈ 706,858 см², или ≈ 0,07069 м². Для 1 м² нужен диаметр d = 2√(S/π) ≈ 1,128 м и радиус ≈ 0,564 м.
Обе формулы — длины окружности и площади — вводят в 6 классе на математике, вместе с числом π. В 9 классе их выводят строго на геометрии — в учебнике Атанасяна этому посвящена отдельная глава.