Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Экстраполяция — это продолжение известной зависимости за пределы данных. Есть замеры за полгода — экстраполяция подсказывает, что будет в седьмом месяце. Есть справочная таблица до 40 °C — экстраполяция оценивает значение при 50 °C. Внутри данных недостающее значение находят интерполяцией, за их краем — экстраполяцией.
Определение экстраполяции в Словаре русского языка под редакцией А. П. Евгеньевой двойное. В общем смысле это «распространение выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления, на другую часть его». В математике — «использование функциональной зависимости за пределами области, где она определена». В толковом словаре Ушакова сказано по-статистически: вычисление по нескольким членам ряда таких значений, которые лежат вне пределов этого ряда.
Что значит само слово, видно по его устройству: оно собрано по образцу «интерполяции», только вместо латинского inter — «между» стоит extra — «вне, снаружи». Корень восходит к polio — «выравниваю, приглаживаю». По смыслу близки слова «продолжение», «распространение», «перенос выводов», «пролонгация». В статистике экстраполяция данных чаще всего означает прогноз по тренду.
Не путайте. «Экстраполяции» (Extrapolations, 2023) — сериал Apple TV+ Скотта З. Бёрнса: восемь связанных историй о ближайшем будущем, где последствия изменения климата стали частью быта. Название по смыслу то же самое: сегодняшние тенденции, продолженные вперёд. А «экстирпация» — медицинский термин, полное удаление органа; с экстраполяцией её путают только по созвучию.
Интерполяция и экстраполяция пользуются одними формулами, но доверие к ним разное. Между известными точками функция «зажата» с двух сторон, и ошибка невелика. За краем данных её ничто не держит: кривая может загнуться, выйти на насыщение или смениться другим законом. Аппроксимация решает третью задачу — проводит кривую рядом с точками, сглаживая разброс измерений. Прогноз по тренду объединяет две последние: сначала аппроксимация по всем точкам, потом её продолжение вперёд.
Через две известные точки (x1; y1) и (x2; y2) проводят прямую и продолжают её. Формула экстраполяции по прямой та же, что у интерполяции:
Отличие одно — значение коэффициента экстраполяции. При t от 0 до 1 точка лежит между узлами, и это интерполяция. При t > 1 прямая продолжается вперёд, за вторую точку, при t < 0 — назад, перед первой.
Пример. Давление насыщенного водяного пара при 20 °C — 2,339 кПа, при 30 °C — 4,247 кПа. Нужно давление при 50 °C.
Экстраполяция назад устроена так же. При 10 °C коэффициент t = −1, и прямая даёт 0,431 кПа вместо справочных 1,228 кПа. Давление пара растёт с температурой по крутой кривой, а прямая через две точки этого не знает.
Зато там, где закон действительно линейный, линейная экстраполяция работает отлично. Давление идеального газа в закрытом сосуде при нагреве от 0 до 100 °C растёт со 100 до 136,61 кПа. Продолжим прямую вниз до нулевого давления — обратная задача, ищем x по y: x = 0 + (0 − 100) · (100 − 0) / (136,61 − 100) ≈ −273,15 °C. Это абсолютный нуль температуры.
Через две точки можно провести не только прямую. Экспонента y = y1 · (y2 / y1)t означает, что на каждом таком же шаге величина умножается на одно и то же число. Через три точки проходит парабола — это уже полиномиальная экстраполяция второй степени. Возьмём давление пара при 20, 30 и 40 °C и продолжим его до 50 °C. Прямую и экспоненту, как и положено, ведём через две ближайшие точки — 30 и 40 °C:
Разброс между формами — честная мера того, насколько ответ зависит от выбора кривой. Выбирают её по физике процесса, а не по красоте графика. Давление насыщенного пара растёт почти экспоненциально — так следует из уравнения Клапейрона — Клаузиуса, — поэтому экспонента здесь ближе всех. Небольшой перебор объясняется тем, что темп роста с температурой понемногу падает. Парабола занижает на 4,8 %, а прямая ошибается почти вчетверо сильнее экспоненты. Графическая экстраполяция — продлить кривую на графике по линейке или лекалу — даёт тот же результат, только на глаз.
Многочлен высокой степени для экстраполяции почти бесполезен: он послушно проходит через все точки, но за последней быстро уходит вверх или вниз. Для прогноза обычно хватает прямой, экспоненты или параболы.
Метод экстраполяции в прогнозировании опирается на инерцию: если причины, которые формировали ряд в прошлом, продолжают действовать, тенденцию можно продлить. Так прогнозируют износ, выработку, спрос на устойчивом рынке, тарифы. На переломах — смене технологии, правил, условий работы — метод бессилен. Экстраполяция динамических рядов — в анализе данных их чаще называют временными — в учебниках статистики строится тремя способами.
Пример. Уровни ряда за шесть периодов: 7, 9, 12, 13, 14, 17. Нужен прогноз на седьмой.
Средний прирост и средний темп роста опираются только на первый и последний уровни. Если последний случайно выскочил вверх, прогноз уедет вместе с ним. Тренд по МНК учитывает все точки, и его качество можно измерить: стандартная ошибка S у прямой здесь 0,665, у параболы — 0,745, у экспоненты — 0,924. Меньше S — точнее описано прошлое. Это ещё не гарантия точного будущего, но хороший повод начать именно с прямой.
Одно число прогноза мало что говорит без оценки его точности. Для линейного тренда интервал прогноза с доверительной вероятностью γ считают так:
Последнее слагаемое под корнем объясняет, как меняется дисперсия ошибки при экстраполяции: она растёт с квадратом удаления от середины ряда. Небольшая неточность наклона на дальнем шаге превращается в большую ошибку уровня. В примере S = 0,665, а квантиль Стьюдента для 95 % и четырёх степеней свободы tγ = 2,776. На седьмой период прогноз 18,6 ± 2,52, то есть от 16,08 до 21,12. На девятый — 22,37 ± 3,14.
В задачниках встречается и упрощённая запись ŷ ± tγ · S. Она даёт одинаковую ширину на любом шаге и для дальних шагов занижает неопределённость. У экспоненциального тренда интервал строят для логарифмов и потом возводят в степень, поэтому вверх он шире, чем вниз. В учебной литературе по статистике встречается практическое правило: заглядывать вперёд не дальше чем на треть длины ряда.
Часто нужен не уровень на дату, а дата, когда величина дойдёт до порога. Возьмём вибрацию подшипникового узла: восемь ежемесячных замеров СКЗ виброскорости — от 1,62 до 2,24 мм/с. Ряд растёт примерно на 4,7 % в месяц, поэтому разумно взять экспоненциальный тренд: ŷ = 1,5415 · 1,0473t. Когда он дойдёт до 2,8 мм/с? В приложении Б ГОСТ ИСО 10816-1-97 это граница зон B и C для машин класса II.
Решаем 1,5415 · 1,0473t = 2,8 и получаем t ≈ 12,9, то есть примерно через пять месяцев после последнего замера. Пять месяцев — это больше половины длины ряда, поэтому ремонт стоит планировать с запасом и уточнять прогноз по каждому новому замеру.
Так же решают задачи по износу. Износ 0,12 мм через 1000 ч работы и 0,20 мм через 2000 ч; если он идёт линейно, предельные 0,5 мм наберутся к 5750 ч.
Лучшую карикатуру на экстраполяцию нарисовал Марк Твен в 1883 году в книге «Жизнь на Миссисипи». За 176 лет Нижняя Миссисипи, спрямляя излучины, укоротилась на 242 мили — в среднем чуть больше чем на 1⅓ мили в год. Значит, рассуждает Твен, миллион лет назад река была длиннее 1,3 миллиона миль и торчала над Мексиканским заливом, как удочка. А через 742 года она сократится до 1¾ мили, и Каир с Новым Орлеаном срастутся в один город с одним мэром. Вывод Твена: наука увлекательна — такой оптовый урожай догадок за такое ничтожное вложение фактов.
Чтобы экстраполяция давала прогноз, а не анекдот, держите в голове пять правил:
Есть экстраполяция, которая не прогнозирует, а уточняет. Многие численные методы ошибаются пропорционально шагу в некоторой степени: у метода трапеций ошибка порядка h², у метода Эйлера — порядка h. Если посчитать одно и то же с двумя шагами, результат можно продолжить к нулевому шагу:
Пример. Интеграл eˣ от 0 до 1 методом трапеций.
Льюис Фрай Ричардсон применил этот приём в 1911 году к расчёту напряжений в каменной плотине, а в 1927-м вместе с Дж. Гаунтом описал его как «отложенный переход к пределу». Повторённая экстраполяция Ричардсона для формулы трапеций — метод Ромберга (1955). Оценка погрешности по двум шагам в отечественных учебниках известна как правило Рунге — с ним контролируют шаг и при решении ОДУ, например в задаче Коши методами Эйлера и Рунге—Кутты.
В расчётах на сетках — гидродинамике, теплообмене, прочности — по трём сеткам находят и сам порядок p, и индекс сходимости сетки GCI. Методику предложил П. Роуч в 1994 году, а процедура Celik и соавторов 2008 года стала стандартом отчёта в журнале Journal of Fluids Engineering. В их учебном примере значение при h → 0 равно 6,1685, а GCI мелкой сетки — 2,2 %.
Для экстраполяции в экселе есть четыре инструмента — от «протянуть мышкой» до функций.
Формула экстраполяции в эксель для линейного тренда: пусть периоды стоят в A2:A7, уровни — в B2:B7, а момент прогноза — в D2.
В версиях до Excel 2016 функция называлась ПРЕДСКАЗ. То же число даёт =ТЕНДЕНЦИЯ(B2:B7;A2:A7;D2). Для экспоненциального тренда:
Половина ширины интервала прогноза 95 % для линейного тренда:
Для ряда из примера при D2 = 7 эти формулы дают 18,6, 20,66 и 2,52. Линейная экстраполяция по двум точкам, если они в A2:B3, — обычная формула: =B2+(D2-A2)*(B3-B2)/(A3-A2).
Частая ошибка — полиномиальная линия тренда 5–6 степени. Она красиво проходит почти через все точки, и R² близок к 1, но за последней точкой кривая обычно улетает. Для прогноза берите прямую, экспоненту или параболу и смотрите на интервал.
Это t = (x − x1) / (x2 − x1) — положение искомой точки в долях отрезка между двумя известными. При t = 3 точка стоит на два отрезка дальше второй. Чем больше t по модулю, тем осторожнее надо относиться к ответу. В учебниках численных методов ту же долю шага обычно обозначают q: x = x0 + qh.
Да. Экстраполяцию в будущее называют перспективной, в прошлое — ретроспективной. Формулы те же, меняется только знак шага. Ограничения тоже те же: в прошлом закон мог быть другим, как в истории Твена с Миссисипи.
Для прямой хватит двух, для параболы — трёх. Для тренда с интервалом прогноза точек должно быть больше, чем параметров: у прямой их два, значит, нужно минимум три уровня, а для осмысленного интервала — шесть–восемь и больше.
Темп роста предполагает умножение на одно и то же число на каждом шаге, а прирост — прибавление одной и той же величины. При растущем ряде умножение быстро обгоняет сложение, и разница увеличивается с горизонтом.
Начните с вопроса, как устроен процесс: растёт на одну величину — прямая или средний прирост, в одно число раз — экспонента или средний темп, с ускорением или замедлением — парабола. Затем сравните ошибку S на известных данных и посмотрите, насколько расходятся прогнозы разных форм.
Экстраполяция — один из способов прогнозировать: продолжить сложившуюся тенденцию. Другие методы учитывают причины, сезонность, экспертные оценки. На коротком горизонте и для инерционных процессов экстраполяция обычно не уступает сложным моделям, на переломах — проигрывает любой из них.
Другие инструменты для расчётов собраны в разделе калькуляторы inner.su.
Результат экстраполяции — оценка за пределами известных данных. Она верна, пока сохраняется закон изменения величины, поэтому в ответственных решениях сверяйте прогноз с новыми измерениями и нормативными требованиями.
ООО «Иннер Инжиниринг»