Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Разложение в ряд Фурье онлайн: калькулятор считает коэффициенты a₀, aₙ, bₙ для готовых сигналов и любой своей функции, строит график частичной суммы и амплитудный спектр. Помимо тригонометрической и комплексной формы, инструмент показывает точную учебную запись, ход решения по шагам и долю энергии по равенству Парсеваля. Отдельная вкладка выполняет дискретное преобразование Фурье по отсчётам — с БПФ, фазами и шкалой в децибелах.
Любой периодический сигнал можно собрать из синусов и косинусов кратных частот — как аккорд из отдельных нот. Первая гармоника задаёт основной тон с периодом сигнала, вторая колеблется вдвое быстрее, третья — втрое, и вклад каждой описывает пара чисел aₙ и bₙ. Чем больше слагаемых берём, тем ближе сумма к исходной кривой.
Коэффициенты находятся по формулам Эйлера — Фурье: интеграл от функции, умноженной на косинус или синус нужной частоты, по периоду. Вручную это час работы с таблицей интегралов, здесь — мгновенно и с проверкой.
Выберите готовый сигнал или введите свою формулу — парсер понимает запись вида exp(-x)*sin(3x), десятичную запятую и неявное умножение. Задайте интервал, затем двигайте слайдер N и смотрите, как частичная сумма обрастает гармониками; кнопка ▶ анимирует этот процесс от 1 до 120. Клик по столбику спектра подсвечивает вклад отдельной гармоники на графике, тумблер переключает амплитуды и фазы. Результат уходит в Word или Excel одним нажатием — таблица коэффициентов, собранная формула и ход решения попадают прямо в курсовую.
Шесть сигналов встроены с точными формулами из справочников — их удобно сверять с задачником или использовать как эталон.
Числа в третьей колонке — ровно те, что выдаёт таблица коэффициентов при параметрах по умолчанию: например, для меандра первая гармоника 4/π ≈ 1,27324. Так удобно объяснять и проверять разложение Фурье на живом примере, а не на абстрактных буквах.
Коэффициенты Фурье подчиняются симметрии: у нечётной функции остаются только синусы (все aₙ = 0), у чётной — только косинусы. Калькулятор определяет чётность автоматически и пишет об этом в ходе решения — полезная страховка от арифметических ошибок. Для параболы x² постоянная составляющая a₀/2 = π²/3 ≈ 3,28987, дальше a₁ = −4, a₂ = 1, a₃ = −0,44444 — классический пример быстрого убывания как 1/n².
Рядом с тригонометрической выводится комплексная форма: cₙ = (aₙ − i·bₙ)/2, c₀ = a₀/2. Она короче в записи и служит мостом к спектральному анализу, где амплитуда Aₙ = √(aₙ² + bₙ²) и фаза φₙ читаются прямо из cₙ.
По условиям Дирихле ряд сходится к функции во всех точках непрерывности, а в точке разрыва — к полусумме левого и правого пределов: калькулятор рисует эти полусуммы кружками. У самого скачка частичная сумма всегда выбрасывает «рожки»: для меандра пик держится около 1,179 при любом N — это явление Гиббса, перелёт примерно 9 % от величины скачка, и добавление гармоник его не убирает, только сужает.
Честный самоконтроль даёт равенство Парсеваля: доля энергии, накопленная взятыми гармониками. Для меандра первая гармоника несёт 81,1 % энергии, три гармоники — 90,1 %, двенадцать — 96,63 %. Полоса под графиком показывает это в реальном времени: если при большом N доля не растёт к 100 %, стоит проверить период или формулу.
Когда сигнала-формулы нет, а есть измерения, работает вторая вкладка — дискретное преобразование Фурье. Вставьте отсчёты из осциллографа, логгера или CSV, укажите шаг дискретизации — и получите односторонний спектр амплитуд и фаз до частоты Найквиста. Для длин-степеней двойки автоматически включается быстрое преобразование Фурье по алгоритму Кули — Тьюки, для остальных длин честно считается прямое ДПФ: подойдёт любое N.
Контрольный пример: 64 отсчёта смеси синусов 125 и 250 Гц при частоте дискретизации 1000 Гц дают ровно два пика — A = 1,000 на 125 Гц и A = 0,500 на 250 Гц, с шагом сетки Δf = 15,625 Гц. Если частота сигнала не попадает в сетку, энергия растекается по соседним бинам — эту утечку удобно разглядывать в режиме дБ, где видна вся юбка до −80 дБ. Обратное преобразование восстанавливает отсчёты из спектра, а невязка контроля выводится в отчёт.
Ряд применяется к периодическим сигналам и даёт дискретный спектр — энергию на кратных частотах. Для непериодической функции период устремляют к бесконечности, сумма превращается в интеграл Фурье, а спектр становится непрерывным — это и есть преобразование Фурье в классическом смысле. ДПФ — его вычислимый родственник для конечного набора отсчётов; обратное преобразование в обоих мирах возвращает исходный сигнал. Учебники называют переход между этими формами «разложением функции рядом Фурье» и «спектральным представлением» — калькулятор покрывает обе стороны: аналитическую на первой вкладке и численную на второй.
Введите формулу или выберите пресет, задайте интервал — коэффициенты, график и спектр появятся сразу, без регистрации. Слайдер N покажет, как сумма приближается к функции.
Режим «Кусочная» принимает до нескольких участков со своими формулами и границами. Разрывы обрабатываются по Дирихле: в точке скачка ряд сходится к полусумме пределов.
Это явление Гиббса: перелёт около 9 % от величины скачка не исчезает с ростом числа гармоник. Он сужается по ширине, но пик остаётся — для меандра примерно 1,179.
Смотрите долю энергии по Парсевалю под графиком: она должна монотонно расти к 100 %. Для пресетов сверяйтесь с точной записью — она приведена над численным рядом.
Результат одинаковый: БПФ — лишь быстрый алгоритм вычисления ДПФ для длин-степеней двойки. Калькулятор сам выбирает метод и пишет его в отчёте.
Прямое преобразование — с exp(−i·2πkn/N), как в FFTW, MATLAB и NumPy. Амплитуды нормируются на N с удвоением односторонних бинов — постоянная составляющая и Найквист без удвоения.
Непрерывное преобразование как интеграл здесь не вычисляется — это отдельный инструмент. Практический обход: возьмите отсчёты функции на длинном окне и постройте спектр во вкладке ДПФ.
ООО «Иннер Инжиниринг»