Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор выше строит таблицу истинности логического выражения по шагам: введите формулу в любой привычной записи — математической (A ∧ B) ∨ ¬C, программистской !(a && b) || c, словами A and B or not C или по-русски A и B или не C. Решатель сам определит нотацию, расставит скобки по приоритету операций и покажет строку «как мы поняли» — вы всегда видите, что именно посчитано. Дальше он заполняет таблицу со всеми промежуточными столбцами, строит СДНФ и СКНФ с числовыми формами, полином Жегалкина методом треугольника, определяет классы Поста, минимизирует функцию по Квайну—Мак-Класки и рисует карту Карно с цветными группами. Отдельные вкладки — проверка эквивалентности двух выражений и решатель задания 2 ЕГЭ по информатике.
Готовое решение можно скачать в Word — с полной таблицей, всеми формами и ходом решения, как принято оформлять для сдачи преподавателю, — выгрузить в Excel или скопировать текстом. Поддерживаются выражения до 6 переменных.
Таблица истинности — это полный перечень значений логического выражения на всех комбинациях значений переменных. Для n переменных таких комбинаций 2ⁿ: два аргумента дают 4 строки, три — 8, четыре — 16. Наборы принято записывать в порядке возрастания двоичного кода — от 00…0 до 11…1, где первая переменная соответствует старшему разряду: именно такой порядок используется в школьных учебниках и заданиях ЕГЭ.
Столбцов в таблице n + m, где m — число логических операций: каждое составное подвыражение получает собственный столбец и вычисляется «изнутри наружу». Например, для выражения (x ∧ y) ∨ ¬z таблица содержит 6 столбцов — три переменные плюс столбцы x ∧ y, ¬z и итоговый F — и 8 строк. Калькулятор показывает промежуточные столбцы по умолчанию (их можно скрыть переключателем), а при наведении на любой член СДНФ подсвечивает его строку в таблице.
По итоговому столбцу функция классифицируется: тождественно истинная (тавтология) — единицы на всех наборах, тождественно ложная (противоречие) — все нули, выполнимая — истинна хотя бы на одном наборе. Отдельно решатель находит фиктивные переменные — те, от которых значение функции на самом деле не зависит.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма собирается по строкам с F = 1: для каждой такой строки записывается конъюнкция всех переменных — без отрицания там, где стоит 1, с отрицанием там, где 0, — и полученные минтермы соединяются знаком ∨. Совершенная конъюнктивная форма строится зеркально по нулям: переменная берётся без отрицания при значении 0 и с отрицанием при 1, дизъюнкции соединяются знаком ∧.
Например, для дизъюнкции A ∨ B СДНФ состоит из трёх минтермов — (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B), числовая запись Σ(1, 2, 3), — а СКНФ из единственного макстерма (A ∨ B), то есть Π(0). Для импликации x → y, которая ложна только на наборе 1→0 (вектор значений 1101), СКНФ — один макстерм (¬x ∨ y), числовая форма Π(2). Калькулятор выводит обе формы с номерами наборов и честно сообщает, когда формы не существует: у тавтологии нет СКНФ, у противоречия — СДНФ.
Полином Жегалкина представляет функцию через сложение по модулю два и конъюнкцию. Метод треугольника — самый наглядный способ его построить: первая строка треугольника — вектор значений функции, каждая следующая — поразрядное ⊕ соседних элементов предыдущей, а левый столбец даёт коэффициенты полинома. Калькулятор показывает треугольник целиком, как его записывают в тетради.
Классический пример: для импликации x → y получается 1 ⊕ x ⊕ x∧y — полином второй степени, то есть функция нелинейна. А эквиваленция A ↔ B даёт линейный полином 1 ⊕ A ⊕ B. Дизъюнкция раскладывается как A ∨ B = A ⊕ B ⊕ A∧B. Степень полинома сразу отвечает на вопрос о линейности функции — это пригодится в следующем разделе.
Для каждой функции калькулятор проверяет принадлежность пяти замкнутым классам Поста: сохранение нуля T₀, сохранение единицы T₁, самодвойственность S, монотонность M и линейность L — и к каждому вердикту прикладывает обоснование: конкретную пару наборов, нарушающую монотонность, или нелинейный моном полинома. По критерию Поста система из одной функции полна тогда и только тогда, когда функция не принадлежит ни одному из пяти классов.
Живой пример полноты — штрих Шеффера A ↑ B: он не сохраняет ни ноль, ни единицу, не самодвойствен, не монотонен и не линеен, поэтому через одну эту операцию выражается любая логическая функция. А мажоритарная функция x∧y ∨ x∧z ∨ y∧z («голосование двух из трёх») — классический пример функции одновременно самодвойственной и монотонной.
Минимальную ДНФ калькулятор строит методом Квайна—Мак-Класки: соседние наборы, отличающиеся одним разрядом, склеиваются, переменная на этом месте выпадает; несклеившиеся термы становятся простыми импликантами, из которых таблица покрытия отбирает существенные и добирает точный минимум. Для 2–4 переменных результат дублируется картой Карно: та же таблица истинности, свёрнутая кодом Грея так, что соседние клетки отличаются одним битом, — прямоугольные группы единиц из 2, 4 или 8 клеток дают члены минимальной формы, причём края карты соседствуют, и группы «заворачиваются».
Хрестоматийный случай заворота — функция с единицами на наборах Σ(0, 2, 8, 10) от четырёх переменных: четыре угла карты складываются в одну группу, и вся функция схлопывается до ¬B ∧ ¬D. Калькулятор красит каждую группу своим цветом и подписывает в легенде, какой импликанте она соответствует. Минимальная КНФ строится тем же движком по нулям функции. На 5–6 переменных, где карта уже не рисуется, минимизация выполняется алгоритмически; для особо плотных функций решатель честно помечает, когда переходит от точного перебора к жадному подбору покрытия.
Отдельная вкладка калькулятора решает обратную задачу в формате задания 2 ЕГЭ по информатике: дан частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки, — нужно определить, какому столбцу соответствует каждая переменная. Вы вводите выражение, заполняете фрагмент кликами по клеткам (0 → 1 → пусто) и получаете ответ в требуемом формате — буквы в порядке столбцов.
Решатель перебирает все варианты соответствия — для четырёх переменных их 4! = 24 — и показывает ход исключения: какая строка фрагмента отсекла сколько вариантов и сколько отпало из-за требования неповторяющихся строк. Если данных недостаточно, он не угадывает, а честно перечисляет все подходящие варианты и подсказывает добавить строку или заполнить пустую клетку; если фрагмент противоречив — сообщает об этом. Тема задания по кодификатору ФИПИ — элемент 1.5.1 «Высказывания, логические операции, истинность высказывания»; задание базового уровня, оценивается в 1 первичный балл и рассчитано на несколько минут работы. Все примеры в калькуляторе и в этой статье составлены нами и не воспроизводят материалы контрольно-измерительных вариантов.
Вкладка «Эквивалентность» сравнивает два выражения по таблицам: если значения совпали на всех наборах объединённого множества переменных — формулы равносильны; если нет — калькулятор предъявляет контрпример: конкретный набор значений, на котором F и G расходятся. Так удобно проверять законы де Моргана, контрапозицию A → B ≡ ¬B → ¬A, раскрытие импликации A → B ≡ ¬A ∨ B — и собственные преобразования в домашних работах: одна расходящаяся строка сразу покажет, где потерян минус или перепутан знак.
Математика калькулятора выверена по печатным источникам в три уровня. Векторы всех восьми операций, законы алгебры логики и три функционально полных базиса — Шеффера, Пирса и импликативный — сверены формула за формулой со справочником логических обозначений inner.su и классическими учебниками. Задачный уровень закрыт эталонами Яблонского и Гаврилова—Сапоженко: полином Жегалкина импликации, таблица классов Поста для элементарных функций, силлогизм как тавтология. Третьим уровнем шёл машинный кросс-контроль: на 400 случайных функциях от 2 до 6 переменных СДНФ, СКНФ, полином Жегалкина и обе минимальные формы пересобирались обратно и совпадали с исходной функцией на каждом наборе, а коэффициенты Жегалкина дополнительно пересчитывались независимым вторым алгоритмом — преобразованием Мёбиуса.
2ⁿ, где n — число переменных: 4 строки для двух переменных, 8 для трёх, 16 для четырёх, 32 для пяти, 64 для шести. Прибавьте строку заголовка, если считаете строки на листе.
По возрастанию двоичного кода: 000, 001, 010, … 111. Первая переменная — старший разряд. Калькулятор умеет и обратный порядок — переключателем над таблицей, — при этом номера наборов в Σ- и Π-формах не меняются: номер привязан к набору, а не к строке.
СДНФ — каноническая форма, в которой каждый член содержит все переменные; она строится напрямую по таблице и однозначна. Минимальная ДНФ — самая короткая равная функции сумма произведений: она получается из СДНФ склейками и обычно заметно короче. Сравните на примере поглощения: у x ∨ (x ∧ y) СДНФ трёхчленная, а минимальная форма — просто x.
Когда его степень не превышает единицы, то есть в нём нет конъюнкций переменных. Линейность — один из пяти классов Поста; калькулятор определяет её автоматически и называет нелинейный моном, если он есть.
Если функция симметрична относительно части переменных или фрагмент слишком мал, разные соответствия столбцов дают одинаково согласованную картину. Настоящие варианты экзамена составляются так, чтобы ответ был единственным; калькулятор в спорной ситуации перечисляет все подходящие варианты и подсказывает, чего не хватает для единственности.
Вводить как есть: !(a && b) || c, x and not y, операторы →, ↔, ⊕ доступны на экранной клавиатуре. Парсер понимает математическую, программистскую, словесную и русскую записи и показывает, как он прочитал формулу.
ООО «Иннер Инжиниринг»