Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор выше выполняет полный расчёт статистики выборки: вставьте ряд чисел — через пробел, запятую, точку с запятой или столбиком из Excel — и получите сразу все выборочные характеристики с подробным ходом решения. Считаются среднее, обе дисперсии, СКО, стандартная ошибка, мода, медиана, размах, коэффициент вариации; строятся интервальный вариационный ряд и гистограмма частот с полигоном; вычисляется доверительный интервал для среднего по Стьюденту. Десятичные понимаются и с точкой, и с запятой: ряд «0,52 0,49 0,51» прочитается правильно, а бейдж под полем покажет, как именно разобран ввод. Лимит — 10 000 значений; типовая лаба на 20–100 значений считается мгновенно.
Ход решения оформлен как в тетради: ранжирование, размах, число интервалов с подстановкой в формулу Стёрджеса, таблица отклонений, подстановки в формулы дисперсий и доверительного интервала. Готовое решение скачивается в Word, а таблица с живыми формулами — в Excel.
Самый частый вопрос лабораторных — какая дисперсия нужна. Ответ зависит от постановки, поэтому калькулятор всегда показывает обе с явными подписями делителя:
Обратите внимание на коллизию имён: ту дисперсию, что Гмурман называет выборочной (деление на n), Excel называет генеральной — ДИСП.Г; а функция ДИСП.В считает исправленную, с делением на n − 1. Из-за этого расхождения студенты регулярно сдают не ту цифру. Правило простое: если по выборке оценивается генеральная совокупность — а это почти все задачи «оценить», «найти доверительный интервал», — нужна исправленная s². Если описывается сам имеющийся набор данных целиком, берётся деление на n. Связь между ними точная, а не приближённая: s² = n/(n − 1)·D — поправка Бесселя.
Среднее квадратическое отклонение — корень из дисперсии, поэтому их тоже два: σ = √D и s = √s². Стандартная ошибка среднего SE = s/√n показывает, насколько выборочное среднее «гуляет» вокруг истинного: чтобы уменьшить её вдвое, данных нужно вчетверо больше. Коэффициент вариации V = s/x̄·100% переводит разброс в проценты от среднего и позволяет сравнивать величины разного масштаба; порог однородности в методичках гуляет — чаще всего выборку считают однородной при V до 30–33%. При нулевом среднем коэффициент честно помечается как неопределённый.
Доверительный интервал строится по канонической формуле x̄ ± t·s/√n с числом степеней свободы ν = n − 1 — так, как это записано у Гмурмана в главе XVI §16. Квантиль Стьюдента t калькулятор вычисляет сам, без таблиц, для любой надёжности γ = 90%, 95% или 99%; по умолчанию берётся 0,95 — уровень, закреплённый ГОСТ Р 8.736-2011 для обработки прямых многократных измерений.
Важная честность: интервал считается по Стьюденту всегда, а не «по Лапласу при n > 30», как упрощают некоторые сервисы. Классический пример из учебника показывает цену упрощения: при n = 5 и γ = 0,99 квантиль Стьюдента равен 4,604, тогда как нормальное приближение дало бы 2,576 — интервал, суженный почти вдвое и не обеспечивающий заявленной надёжности. При больших n значение t само приближается к 1,96, так что корректный путь ничего не «портит».
Число интервалов по умолчанию подбирает правило Стёрджеса: k = 1 + 3,322·lg n — для n = 30 получается 6 интервалов. Забавный факт для любителей истории: формулу опубликовал в 1926 году в журнале JASA американский статистик Герберт Стёрджес из Washburn College — в рунете его упорно называют немецким математиком, но это ошибка. Альтернативы на выбор: правило корня k ≈ √n и ручной ввод от 2 до 30 интервалов.
Ширина интервала h = R/k, отсчёт от минимального значения. Интервалы полуоткрытые [a; b): значение, попавшее точно на границу, относится к правому интервалу; последний интервал закрыт с обеих сторон, чтобы максимум не выпал. В части методичек принята обратная конвенция (a; b] — тогда граничные значения лягут иначе, поэтому калькулятор проговаривает своё правило прямо в подписи. Интервальный вариационный ряд выводится канонической таблицей лабораторной: интервал, середина, частота, относительная частота, накопленная. Поверх столбцов гистограммы строится полигон частот по серединам интервалов; переключатель показывает относительные частоты wᵢ = nᵢ/n.
Мода определяется честно: если максимальную частоту делят несколько значений, называются все моды, а не первая попавшаяся; если все значения встречаются одинаково часто — моды нет. Медиана — центральный член вариационного ряда, при чётном n — среднее двух центральных. Её главное достоинство — устойчивость: в ряду времён отклика 120, 130, 125, 118, 122, 127, 500, 121, 124, 126 единственный выброс утаскивает среднее за 150, а медиана остаётся 124,5 и честно описывает типичное значение. Сравнение среднего с медианой — простейший способ заметить асимметрию данных.
Если решение нужно именно в Excel, соответствие функций такое:
Функция ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ возвращает ровно ту же полуширину δ = t·s/√n, что и формула Гмурмана — это удобная перекрёстная проверка. Но собирать формулы руками не обязательно: кнопка «Скачать Excel» отдаёт готовый файл с тремя листами — данные, результаты и интервальный ряд, — причём в колонке значений стоят живые формулы: поменяйте числа на листе «Данные», и весь расчёт пересчитается сам. МОДА.ОДН вернёт одну моду; при нескольких модах полный список даёт страница.
Кнопка «Скачать Word» собирает лабораторную под сдачу: исходный ряд, интервальный вариационный ряд таблицей, ход вычислений с подстановками — включая построчную таблицу отклонений при n ≤ 50, — итоговую таблицу всех характеристик и доверительный интервал с показанными ν, t и δ. Оформление повторяет рукописное решение из методички; документ открывается в Word и LibreOffice.
Математика калькулятора выверена трижды. Печатный канон: тройка квантилей Стьюдента из таблицы Б.1 ГОСТ Р 50779.21-2004 воспроизведена дословно, учебниковый пример «4,6 против 2,58» — числом, а оговорка Гмурмана о смещённости s подтверждена симуляцией на двадцати тысячах выборок. Задачный уровень: типовые лабораторные, школьные ряды, бимодальные случаи, оценка погрешности группировки. Машинный кросс-контроль — самое сильное: квантиль Стьюдента получен вторым, независимым путём — численным интегрированием плотности методом Симпсона — и совпал с рабочим алгоритмом во всех точках сетки; частотный смысл доверительного интервала проверен симуляцией: из трёх тысяч интервалов с γ = 90% истинное среднее накрыли ровно 90,0%. Расхождений нет.
Если задание звучит как «по выборке оценить дисперсию генеральной совокупности» или дальше строится доверительный интервал — исправленную s² с делением на n − 1. Если требуется описать разброс самих данных — выборочную D с делением на n. Калькулятор показывает обе с подписями, а в ходе решения видно, откуда берётся каждая.
Никак не искать — калькулятор вычисляет квантиль сам для ν = n − 1 и выбранной надёжности и показывает его в карточке доверительного интервала. Если преподаватель требует сверку с таблицей, помните о параметризации: в таблице Гмурмана то же число стоит в строке n, а не ν.
По умолчанию — по Стёрджесу: k = 1 + 3,322·lg n с округлением до целого; для 30 значений это 6, для 100 — 8. Если методичка требует иное число, задайте его вручную — от 2 до 30, частоты и ряд пересчитаются.
Обычно это след выбросов или асимметрии: среднее чувствительно к каждому значению, медиана — только к порядку. Посмотрите на гистограмму: длинный хвост в одну сторону объяснит расхождение.
Что при многократном повторении выборок 95% построенных таким способом интервалов накроют истинное среднее. Это свойство процедуры, а не конкретного интервала — именно его мы проверяли симуляцией на трёх тысячах выборок.
Да, до 10 000 значений — полный расчёт с гистограммой занимает миллисекунды. Подробная построчная таблица отклонений показывается при n ≤ 50, дальше ход сворачивается до итоговых сумм, чтобы страница оставалась быстрой.
ООО «Иннер Инжиниринг»