Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена — онлайн-калькулятор

Разложение в ряд Тейлора онлайн: калькулятор строит многочлен по степеням (x − a) для любой функции, показывает ход решения с производными и общим членом, определяет область сходимости и оценивает погрешность. При a = 0 получается ряд Маклорена — тот самый случай, с которого начинают все задачники. Каждый коэффициент выводится точной дробью, а не десятичной кашей, поэтому ответ можно переписать в тетрадь без пересчёта.

Что такое ряд Тейлора простыми словами

Идея одна и очень практичная: сложную функцию вблизи выбранной точки подменяют многочленом, который повторяет её значение, наклон, кривизну — столько характеристик, сколько взяли членов. Многочлен считается четырьмя действиями, поэтому именно так микрокалькуляторы и математические библиотеки вычисляют синусы и экспоненты. Коэффициенты определяются производными в точке разложения:

Ряд Тейлора функции f(x) в точке a = 0 называют рядом Маклорена — формула упрощается до степеней x. Возьмите на панели калькулятора чип sin x и подвиньте ползунок: частичная сумма прямо на графике обнимает синусоиду всё шире с каждым членом.

Как пользоваться калькулятором

Введите формулу — парсер понимает запись вида x·sin(2x), e^(−x²), десятичную запятую и русскую букву х — либо выберите готовый чип. Задайте точку a, затем управляйте числом членов ползунком или включите режим «k ненулевых»: он сам подберёт порядок так, чтобы отличных от нуля слагаемых оказалось ровно столько, сколько требует условие. Кнопка ▶ анимирует приближение, а блок «Ход решения» перестраивается под задачу: для табличных случаев показывает подстановку, для остальных — таблицу производных со значениями. Готовое решение уходит в Word или Excel одним нажатием.

Таблица разложений: стандартные ряды Маклорена

Восемь опорных рядов встроены со ссылками на первоисточники — их общий член и поведение на границах интервала выверены по справочникам. Эта таблица разложений всегда под рукой в правой колонке калькулятора.

Обратите внимание на дроби вроде −5x⁴/128 у корня и 17x⁷/315 у тангенса: члены ряда Тейлора здесь выводятся именно в таком точном виде, как напечатано у Бронштейна и в таблицах Градштейна — Рыжика, поэтому сверка с методичкой занимает секунды.

Разложение в точке a ≠ 0: по степеням (x − a)

Когда в задании написано «по степеням (x − 1)», работают два пути. Прямой — честно считать производные и подставлять их в формулу. Короткий — замена t = x − a, сводящая задачу к готовому табличному ряду: калькулятор показывает оба и помечает, какой быстрее. Классика Фихтенгольца, разложение функции ln x в окрестности единицы:

На правом конце интервала ряд сходится условно по признаку Лейбница, на левом расходится как гармонический — калькулятор выписывает оба вердикта отдельным шагом, потому что именно исследование концов чаще всего теряют на контрольных. А экспонента вокруг единицы собирается через замену в одну строку: e + e·(x − 1) + e/2·(x − 1)² + … — множитель e остаётся символом, без округлений.

Сколько членов брать: остаточный член Лагранжа

Типовая формулировка «вычислить с точностью 0,001» упирается в оценку хвоста ряда. Остаточный член в форме Лагранжа даёт гарантию сверху:

Калькулятор перебирает n, пока оценка не опустится ниже заданного ε, и показывает и гарантию, и фактическую ошибку. Пример из Пискунова: √e = e⁰ᵍ⁵ с точностью 0,001 — достаточно n = 4, частичная сумма даёт 1,64844 при истинном значении 1,64872, а гарантированная граница 0,000429354 честно перекрывает промах. Для синуса в точке 0,5 при том же ε тоже хватает четырёх членов: оценка 0,000260417 против фактических 0,000258872 — гарантия работает впритык, без лишних членов. Для ln 1,1 с точностью 0,0001 достаточно n = 3: сумма 0,0953333 при табличном 0,0953102.

Сходимость: радиус, интервал и что происходит на границе

Степенной ряд повторяет функцию только внутри своего радиуса. Радиус ищется по признаку Даламбера из общего члена, а концы интервала требуют отдельного разбора: у арктангенса ряд работает и в точках ±1, у геометрического — разваливается на обеих границах. График в калькуляторе делает это осязаемым: розовым пунктиром отмечены границы, и видно, как многочлен отклеивается от функции ровно за ними — сколько членов ни добавляй. Под сценой живёт кривая ошибки |f − Tₙ| в контрольной точке: внутри радиуса она падает с ростом n, снаружи растёт — наглядный тест на сходимость без единой формулы.

Проверка по задачникам

Машину производных мы прогнали через задачи, которых нет во встроенной таблице — ответы обязаны совпасть с печатными. Ряды Тейлора и Маклорена для sin²x калькулятор строит дифференцированием и выдаёт x² − x⁴/3 + 2·x⁶/45 — строка 415.02 из таблиц Двайта. Произведение eʰ·cos x даёт 1 + x − x³/3 − x⁴/6 − x⁵/30 — ответ Демидовича. Разложение в ряд Маклорена для x/(1+x) сходится с ответом и через производные, и через табличную подстановку — два независимых пути внутри одного инструмента страхуют друг друга.

Частые вопросы

Введите функцию и точку a — коэффициенты, график и ход решения появятся сразу, без регистрации. Порядок регулируется ползунком до x¹².

Ряд Маклорена — частный случай при a = 0: степени идут по x, а не по (x − a). Все табличные разложения записаны именно в этой форме.

Это формула сразу всех слагаемых через Σ — её обычно требуют в ответе. По общему члену ищется радиус сходимости и оценивается скорость убывания.

Потому что −1/6 — это ответ, а 0,1667 — его огрызок: преподаватель ждёт точную дробь. Внутри всё считается рациональной арифметикой без накопления округлений.

Задайте ε и точку x* в карточке «Точность» — калькулятор подберёт n по остаточному члену Лагранжа и покажет фактическую ошибку для контроля.

Ряд перестаёт представлять функцию: члены ряда Тейлора растут, и сумма уходит от графика. Границы отмечены на сцене пунктиром, кривая ошибки это подтверждает.

Да: кнопка Word собирает документ с формулой, таблицей производных, сходимостью и оценкой остатка; Excel выгружает коэффициенты и частичные суммы.