Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор выше выполняет численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Чтобы найти решение, введите правую часть уравнения y′ = f(x, y), начальное условие y(x₀) = y₀ и конец отрезка — и получите таблицу значений сразу тремя методами: Эйлера, Эйлера–Коши и Рунге–Кутты четвёртого порядка. Сетка задаётся числом шагов n или шагом h — второе поле пересчитывается само. Синтаксис привычный: x+y, 2/x*y+x, cos(x)-y; умножение можно опускать. Чипы под кнопкой подставляют готовые примеры из методичек — от эталонного y′ = y до задачи с точным решением x²·ln x.
Ход решения показывает первый шаг каждого метода с полной подстановкой чисел — как это оформляется в тетради. Готовую лабораторную можно скачать в Word, таблицы — в Excel.
Задача Коши — это дифференциальное уравнение вместе с начальным условием: y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀; в поисковых запросах её часто называют коротко — «уравнение Коши». Общее решение уравнения содержит произвольную постоянную, а начальное условие выделяет из семейства одну кривую — частное решение, проходящее через точку (x₀; y₀). Когда аналитическое решение находится (разделение переменных, линейное уравнение, Бернулли), его записывают формулой. Когда не находится или не нужно — применяют численные методы: они строят таблицу приближённых значений yᵢ в узлах сетки. Именно это и делает калькулятор, а если формула точного решения известна, он покажет её рядом с численным — с колонкой погрешности в каждом узле.
Простейший метод: следующее значение получается сдвигом вдоль касательной, проведённой в текущей точке:
yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)
Геометрически решение заменяется ломаной, поэтому у Калиткина метод так и называется — метод ломаных. Порядок точности первый: уменьшите шаг вдвое — глобальная погрешность упадёт примерно вдвое. Для ручного счёта метод незаменим своей прозрачностью: для y′ = x + y, y(0) = 1 при h = 0,1 первые шаги считаются в уме — y₁ = 1,1; y₂ = 1,22; y₃ = 1,362. Калькулятор выдаёт ровно эти числа, так что сверка с тетрадью занимает секунды.
Метод второго порядка устроен как прогноз и поправка: сначала эйлеров прогноз ỹ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ), затем усреднение наклонов в начале и конце шага:
yₙ₊₁ = yₙ + h/2·[f(xₙ, yₙ) + f(xₙ₊₁, ỹ)]
Главная беда этой темы — названия. Один и тот же метод в разных учебниках зовётся по-разному, и студенты регулярно решают «не тем» методом:
Оба варианта — двухстадийные методы Рунге–Кутты второго порядка, «единственно правильного» имени не существует. Калькулятор реализует первый вариант и прямо под чекбоксом напоминает все его синонимы — если в вашей методичке «модифицированный» означает среднюю точку, вы заметите разницу по формуле, а не после сдачи.
Классический РК4 — рабочая лошадка вычислительной практики. На каждом шаге вычисляются четыре пробных наклона:
k₁ = f(xₙ, yₙ); k₂ = f(xₙ+h/2, yₙ+h·k₁/2); k₃ = f(xₙ+h/2, yₙ+h·k₂/2); k₄ = f(xₙ+h, yₙ+h·k₃)
yₙ₊₁ = yₙ + h/6·(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Порядок точности четвёртый: половина шага — погрешность меньше примерно в шестнадцать раз. Все k₁…k₄ калькулятор показывает отдельной таблицей — лаборатории часто требуют выписать их для первых шагов, и переписывать есть откуда.
Поле «точное решение» необязательное, но если аналитическая формула известна — впишите её. Появятся колонка |Δ| в каждом узле, строка максимумов погрешности по методам и гладкая оранжевая кривая на графике поверх ломаных. Так иерархия точности видна глазами: для y′ = x + y с точным y = 2eˣ − x − 1 при десяти шагах максимум ошибки Эйлера около 0,25, Эйлера–Коши — восемь тысячных, РК4 — четыре миллионных. Это лучший способ понять, что означает «порядок метода», — и готовая проверка лабораторной.
Когда аналитической формулы нет, погрешность оценивают правилом Рунге: задача решается дважды — с шагом h и h/2, а разность результатов делится на 2ᵖ − 1, где p — порядок метода:
ε ≈ |yₚ − yₚ ∕ ₂| / (2ᵖ − 1)
Заодно получается уточнение по Ричардсону — почти бесплатное повышение точности; у Калиткина этот приём описан как сгущение сетки. В калькуляторе правило Рунге вынесено отдельной кнопкой: одно нажатие — и по каждому выбранному методу выводятся значения при n и 2n шагах, оценка ε и уточнённый результат. У онлайн-сервисов такой кнопки обычно нет, а в лабораторных её требуют почти всегда.
Практическое правило простое: возьмите разумное n (10–20 для учебной задачи), затем удвойте и посмотрите, как изменился ответ. Если изменение уже меньше требуемой точности — шаг достаточен; если нет — дробите дальше. Кнопка правила Рунге автоматизирует ровно этот приём. Лимит калькулятора — 1000 шагов; при попадании решения на бесконечность (например, y′ = y² взрывается за конечное время) счёт честно останавливается на последнем конечном значении с пометкой, а график обрезает хвост, чтобы масштаб оставался читаемым.
Таблица едина для всех выбранных методов: узел xᵢ, столбцы y по каждому методу, затем точное значение и |Δ|, если формула задана. График строит ломаные методов разными цветами и точную кривую; легенда под ним. Направление интегрирования любое: если конец отрезка левее x₀, шаг станет отрицательным и решение построится «назад» — полезно для задач, где условие задано на правом конце.
Кнопка Word собирает лабораторную под сдачу: постановка, формулы выбранных методов, таблица значений с погрешностями, коэффициенты k₁…k₄ и блок правила Рунге, если он был рассчитан. Excel отдаёт листы по каждому методу плюс сводный лист «Сравнение» — удобно строить собственные графики. Копирование в буфер переносит таблицу в любой отчёт табуляцией.
Математика калькулятора выверена трижды. Печатный уровень: порядки точности восстановлены из сгущения сетки — 0,94, 1,95 и 3,94 для Эйлера, Эйлера–Коши и РК4; правило Рунге асимптотически точно (отношение оценки к истинной ошибке — единица с точностью до процентов); ручные шаги Эйлера 1,1 → 1,22 → 1,362 совпали до последнего знака. Задачный уровень: классические постановки с известными решениями — от y′ = y до задачи методичек y′ = 2y/x + x с точным x²·ln x. Машинный уровень — самое сильное: РК4 сверен с интегратором другой природы, методом Тейлора второго порядка, и с двадцатью случайными линейными уравнениями, где точное решение строится аналитически, — порядки подтверждены на всех шестидесяти прогонах.
Формулой: усовершенствованный (он же Эйлера–Коши, он же Гюна) усредняет наклоны в начале и конце шага после эйлерова прогноза; модифицированный берёт наклон в середине шага. Оба второго порядка, но таблицы значений различаются. Сверьте формулу в вашей методичке с таблицей выше.
Что задано, то и выбирайте — чекбоксы позволяют считать все три сразу и сравнивать. Если выбор за вами: РК4 для точности, Эйлер для ручной проверки первых шагов.
Кнопкой правила Рунге: пересчёт с половинным шагом и оценка |yₚ − yₚ ∕ ₂|/(2ᵖ − 1). Если оценка меньше требуемой точности — ответ можно сдавать.
Это и есть порядок метода: глобальная погрешность ведёт себя как hₜ. У Эйлера p = 1, у Эйлера–Коши p = 2, у РК4 p = 4; 2⁴ = 16.
Пока нет — калькулятор работает с одним уравнением первого порядка. Уравнение второго порядка сводится к системе двух первого, поддержка систем планируется отдельной версией.
У некоторых уравнений решение существует лишь на части отрезка: классика — y′ = y², y(0) = 1 с полюсом в x = 1. Калькулятор останавливает счёт на последнем конечном значении и обрезает хвост графика, сохраняя масштаб.
ООО «Иннер Инжиниринг»