Скидка на подшипники из наличия!
Новое поступление товара в 2026 году!
Калькулятор выше выполняет численное решение нелинейных уравнений вида f(x) = 0 четырьмя классическими методами: Ньютона, половинного деления, хорд и простой итерации. Введите функцию — синтаксис привычный: x^3+x-5, cos(x)-x, 5^x-6x-3, — задайте отрезок [a; b] и точность ε, выберите вкладку метода и нажмите «Рассчитать». Получите таблицу итераций в каноническом виде лабораторной, график с геометрией метода и ответ с проверкой подстановкой: рядом с корнем всегда напечатано значение f(x) — видно, насколько оно близко к нулю. Чипы подставляют разобранные примеры: от уравнения cos x = x до типовой задачи 5ˣ − 6x − 3 = 0.
Любой численный метод ищет один корень, поэтому сначала корни отделяют — находят отрезки, где корень ровно один. Калькулятор делает это автоматически: строит таблицу знаков функции на сетке из 50 узлов и показывает каждый отрезок со сменой знака отдельной кнопкой. По теореме Больцано–Коши непрерывная функция, меняющая знак на концах отрезка, обязана обратиться в ноль внутри — так что корень там гарантирован. Клик по кнопке подставляет границы в активный метод: для Ньютона и итераций — стартовую точку, для дихотомии и хорд — сам отрезок. Если функция попала в ноль прямо в узле сетки, калькулятор честно сообщит: корень найден точно.
Самый быстрый из классических методов. Из текущей точки проводится касательная к графику, и её пересечение с осью абсцисс становится следующим приближением:
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Производная нужна на каждом шаге — и это главная боль ручного счёта. Калькулятор находит её сам, символьным дифференцированием введённого выражения, и показывает формулу f′(x) в отдельной карточке: можно сверить со своей тетрадью. Вторая производная f″(x) вычисляется тоже — она нужна для выбора стартовой точки.
Начальное приближение x₀ выбирают по классическому правилу из методичек: из того конца отрезка, где f(x₀)·f″(x₀) > 0 — тогда при знакопостоянных производных приближения идут к корню монотонно, не перескакивая его. Калькулятор проверяет оба конца и подсвечивает подходящий. Сходимость метода квадратичная: число верных цифр примерно удваивается на каждом шаге — 1, потом 2, потом 5, потом 10. Критерий остановки выбирается переключателем: по изменению аргумента |xₙ₊₁ − xₙ| < ε, по невязке |f(xₙ)| < ε или по обоим сразу; дополнительная апостериорная оценка |xₙ − ξ| ≤ |f(xₙ)|/m₁, где m₁ — минимум |f′| на отрезке.
Самый надёжный метод: если на концах отрезка функция имеет разные знаки, корень будет найден гарантированно. Отрезок делится пополам, из двух половин остаётся та, где знак меняется, — и так до нужной точности. Число шагов известно заранее:
n ≥ log₂((b − a)/ε)
Калькулятор печатает этот прогноз до начала счёта — и на таблице видно, что факт совпадает с ним в точности. За 10 делений отрезок сжимается в 2¹⁰ = 1024 раза. График рисует сжатие ярусной диаграммой: каждый отрезок [aₙ; bₙ] — своим ярусом сверху вниз, с номером и серединой; гарантированное схлопывание к корню видно глазами.
Родственник дихотомии, но точка деления берётся не посередине, а в пересечении хорды — прямой через концы дуги графика — с осью абсцисс:
c = a − f(a)·(b − a)/(f(b) − f(a))
При знакопостоянной второй производной один конец закрепляется — тот, где f·f″ > 0. Калькулятор вычисляет f″ символьно, проверяет её знак на отрезке и объявляет закреплённый конец с объяснением; если f″ меняет знак, честно переключается на подвижные хорды (метод ложного положения). Первые хорды рисуются на графике.
Уравнение f(x) = 0 переписывается в равносильном виде x = φ(x), и дальше всё сводится к повторению одной операции: xₙ₊₁ = φ(xₙ). Вся хитрость — в выборе φ: удачная сходится, неудачная разлетается. Достаточное условие сходимости — сжимающее отображение:
|φ′(x)| ≤ q < 1
Калькулятор дифференцирует введённую φ символьно и проверяет условие в стартовой точке: зелёная плашка — условие выполнено, оранжевое предупреждение — нарушено, итерации могут разойтись. Кнопка-построитель предлагает универсальную замену φ(x) = x − λ·f(x) с λ ≈ 1/f′(x₀) — при таком λ итерация ведёт себя почти как метод Ньютона. График показывает знаменитую лесенку: кривую φ, прямую y = x и путь итераций между ними. Красивейший пример — уравнение cos x = x: его единственный корень называется числом Дотти, 0,7390851332…, и простая итерация x = cos x сходится к нему из любого начального приближения — редкий пример глобального аттрактора.
Численные методы имеют честные пределы, и калькулятор сообщает о них человеческим языком, а не молчаливым зависанием. Производная обратилась в ноль — «касательная горизонтальна, шаг Ньютона невозможен, попробуйте другое x₀». Приближения уходят на бесконечность — «метод расходится, смените начальное приближение по правилу f·f″ > 0 или метод». Классика второго случая — f(x) = arctg x со стартом x₀ = 2: касательные пологого хвоста забрасывают точку всё дальше от корня. Достигнут лимит итераций — точность не гарантирована, и об этом тоже сказано прямо. Лимиты: 50 итераций Ньютона, 100 — хорд и простой итерации, порог разлёта 10¹².
Таблица оформлена как в лабораторных: у Ньютона — колонки n, xₙ, f(xₙ), f′(xₙ), xₙ₊₁, |Δ|; у дихотомии и хорд — границы a, b, точка c и f(c); у итераций — xₙ, φ(xₙ) и приращение. График подстраивается под метод: касательные первых шагов у Ньютона, ярусы сжатия у дихотомии, хорды у хорд, лесенка у итераций. Ход решения разворачивается отдельной карточкой — формула метода и первая итерация с полной подстановкой чисел, как это пишут в тетради.
Кнопка Word собирает документ по активному методу: постановка, формула, производные у Ньютона, прогноз делений у дихотомии, закрепление у хорд, φ у итераций, строка отделения корней, таблица и ответ с проверкой. Excel отдаёт лист «Итерации» и лист «Скан» с таблицей знаков на всех 51 узлах. Копирование переносит таблицу табуляцией в любой отчёт.
Математика калькулятора выверена трижды. Печатный уровень: последовательность Герона для √2 воспроизведена дословно — 1,5 → 1,41667 → 1,4142157 → 1,414213562; число верных цифр по шагам — 1, 2, 5, 11, как и обещает теория квадратичной сходимости; прогноз числа делений дихотомии совпадает с фактом; скорость простой итерации сошлась к теоретическому коэффициенту q = |φ′| в корне с точностью до сотых. Задачный уровень: типовые 5ˣ − 6x − 3 = 0 и x³ + x − 5 = 0, частотное уравнение колебаний tg x = x со справочным корнем 4,49340946. Машинный уровень: число Дотти взято всеми четырьмя методами до десятого знака; тридцать случайных кубических уравнений с заранее известными корнями восстановлены сканом и дихотомией без единого промаха; символьная производная сверена с численной в сотнях случайных точек.
По правилу f(x₀)·f″(x₀) > 0: из двух концов отрезка берите тот, где знак функции совпадает со знаком второй производной. Калькулятор считает f″ сам и подсвечивает нужный конец; если правило не выполняется ни на одном конце — следите за статусом и при расходимости пробуйте другой старт или дихотомию.
Нет. Производная находится автоматически символьным дифференцированием и показывается формулой — её можно переписать в тетрадь. Если выражение содержит |x|, калькулятор предупредит, что в нуле аргумента производная не определена.
Сменить начальное приближение по правилу выше, сузить отрезок по таблице знаков или взять гарантированный метод — половинное деление: ему достаточно смены знака на концах.
Ровно столько, сколько даёт формула log₂((b − a)/ε), с округлением вверх: для отрезка длины 1 и ε = 0,001 — десять делений. Калькулятор печатает прогноз заранее.
Точкой деления: дихотомия режет посередине и сходится с гарантированной, но постоянной скоростью; хорды режут по секущей и на гладких функциях обычно быстрее, хотя закреплённый конец делает сходимость односторонней.
Универсальный приём — φ(x) = x − λ·f(x): подберите λ так, чтобы |φ′| стала меньше единицы у корня; λ ≈ 1/f′(x₀) почти всегда работает. В калькуляторе это делает одна кнопка, а условие |φ′(x₀)| < 1 проверяется автоматически.
ООО «Иннер Инжиниринг»